高中數學 第二章 推理與證明 3 數學歸納法 （2）課件 新人教B版選修2-2.ppt

2 3數學歸納法 2 內容 應用 1 用數學歸納法證明等式與不等式 2 用數學歸納法證明整除性與幾何問題 數學歸納法 重點 用數學歸納法證明一些簡單的數學問題 難點 數學歸納法證明不等式時第二步的放縮 1 掌握數學歸納法證題的兩個步驟 2 初步會用 數學歸納法 證明簡單的與自然數有關的命題 如恒等式 不等式及整除問題等 3 用數學歸納法歸納 猜想 證明 本課主要學習數學歸納法 以兩個小問題引入新課 對數學歸納法的步驟分析準確 詳細 精心選擇三道例題 分別是用數學歸納法證明等式與不等式 用數學歸納法證明整除性與幾何問題 歸納 猜想 證明在實際問題中的應用 題目新穎 難度由淺入深 與數列 解析幾何 導數 方程等知識融合交匯 體現證明等式 不等式等高考?？純热?計算量不大 答案詳細 分析準確 在講述數學歸納法的應用時 采用例題與變式結合的方法 通過例1和變式1鞏固掌握用數學歸納法證明等式與不等式 通過例2和變式2掌握用數學歸納法證明整除性與幾何問題 通過例3用數學歸納法歸納 猜想 證明 采用一講一練針對性講解的方式 重點理解數學歸納法的應用 問題1 請回顧數學歸納法的步驟 證明一個與正整數n有關的命題 可按下列步驟進行 2 使用數學歸納法證明不等式的難點在第二個步驟上 這時除了一定要用到歸納假設外 還要較多的運用不等式證明的方法 對所要證明的不等式加以變形 尋求其與歸納假設的聯系是問題的突破口 注意 在用數學歸納法證題時注意以下三句話 遞推基礎不可少 歸納假設要用到 結論寫明莫忘掉 用數學歸納法證明等式與不等式 典例1 1 已知n為正偶數 用數學歸納法證明時 若已假設n k k 2 且為偶數 時命題為真 則還需要用歸納假設再證n 時等式成立 A k 1B k 2C 2k 2D 2 k 2 2 等比數列 an 的前n項和為Sn 已知對任意的n N 點 n Sn 均在函數y bx r b 0且b 1 b r均為常數 的圖象上 求r的值 當b 2時 記bn 2 log2an 1 n N 證明 對任意的n N 不等式成立 規(guī)范解答 1 選B 因為n k為偶數 所以下一個與之相鄰的偶數為n k 2 2 由題意 Sn bn r 當n 2時 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2時 an 是以b為公比的等比數列 又a1 b r a2 b b 1 所以 由 及b 2知an 2n 1 因此bn 2n n N 所證不等式為 當n 1時 左式 左式 右式 所以結論成立 假設n k k 1 k N 時結論成立 即則當n k 1時 要證當n k 1時結論成立 只需證即證 由基本不等式得成立 故成立 所以 當n k 1時 結論成立 由 可知 n N 時 不等式成立 規(guī)律方法 運用數學歸納法證明問題時應注意的四個問題 1 由假設n k成立證n k 1時 要推導詳實 并且一定要運用n k成立的結論 2 要注意n k到n k 1時增加的項數 3 n n0時成立 要弄清楚命題的含義 4 對于不等式在證明由n k變化到n k 1時 除了應用綜合法外還可用分析法 反證法 求差 求商比較法及放縮法等加以證明 若本例 1 中將n改為正奇數 若已知n 2k 1 k N 時命題為真 則下一步證明 n 時等式成立 解析 由題意可知n為正奇數 取n 2k 1的下一個奇數為n 2k 1 答案 2k 1 用數學歸納法證明整除性與幾何問題 典例2 1 用數學歸納法證明34n 1 52n 1 n N 能被8整除時 當n k 1時 對于34 k 1 1 52 k 1 1可變形為 A 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 B 34 34k 1 52 52kC 34k 1 52k 1D 25 34k 1 52k 1 2 用數學歸納法證明 凸n邊形的對角線的條數為f n n n 3 n N n 3 規(guī)范解答 1 選A n k 1時 34 k 1 1 52 k 1 1 25 34k 1 52k 1 56 34k 1 由n k時 能被8整除 即 34k 1 52k 1 能被8整除 而56 34k 1也能被8整除 故n k 1時成立 2 因為三角形沒有對角線 所以n 3時 f 3 0 命題成立 假設n k k 3 時 命題成立 即f k k k 3 則當n k 1時 凸k邊形由原來的k個頂點變?yōu)閗 1個頂點 對角線條數增加k 1條 所以f k 1 f k k 1 k k 3 k 1 k 1 k 1 3 所以當n k 1時命題成立 由 可知對任何n N且n 3 命題恒成立 易錯警示 關于幾何問題的變化情況本例 2 中由n k變換到n k 1時 對角線條數不會求 或根本看不清其變化情況導致錯解 規(guī)律方法 證明整除性與幾何問題的關鍵 1 證明整除問題的關鍵 湊項 證明整除問題的關鍵是 湊項 即采用增項 減項 拆項和因式分解等手段 將n k 1時的式子湊出n k時的情形 從而利用歸納假設使問題獲證 2 證明幾何問題的關鍵 找項 用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是 找項 即幾何元素從k個變成k 1個時 所證的幾何量將增加多少 這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析 事實上 將n k 1和n k分別代入所證的式子 然后作差 即可求出增加量 這也是用數學歸納法證明幾何問題的一大技巧 典例3 是否存在常數a b 使得等式 對一切正整數n都成立 并證明你的結論 點撥 對這種類型的題目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系數 然后用數學歸納法證明它對一切正整數n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用數學歸納法證明 歸納 猜想 證明 2 假設當n k時結論正確 即 則當n k 1時 故當n k 1時 結論也正確 根據 1 2 知 對一切正整數n 結論正確 1 當n 1時 由上面解法知結論正確 已知函數f x rx xr 1 r x 0 其中r為有理數 且0 r 1 求f x 的最小值 試用 的結果證明如下命題 設a1 0 a2 0 b1 b2為正有理數 若b1 b2 1 則 a1b1 a2b2 請將 中的命題推廣到一般形式 并用數學歸納法證明你所推廣的命題 注 當 為正有理數時 有求導公式 x x 1 解答 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 當01時 f x 0 所以f x 在 1 內是增函數 故函數f x 在x 1處取得最小值f 1 0 由 知 當x 0 時 有f x f 1 0 即xr rx 1 r 若a1 a2中至少有一個為0 則 a1b1 a2b2成立 若a1 a2均不為0 又b1 b2 1 可得b2 1 b1 于是在 i 中令x r b1 可得 b1 1 b1 即 a1b1 a2 1 b1 亦即 a1b1 a2b2 綜上 對a1 0 a2 0 b1 b2為正有理數且b1 b2 1 總有 a1b1 a2b2 中命題的推廣形式為 設a1 a2 an為非負實數 b1 b2 bn為正有理數 若b1 b2 bn 1 則 a1b1 a2b2 anbn 用數學歸納法證明如下 1 當n 1時 b1 1 有a1 a1 成立 2 假設當n k k 1 且k N 時 成立 即若a1 a2 ak為非負實數 b1 b2 bk為正有理數 且b1 b2 bk 1 則 a1b1 a2b2 akbk 當n k 1時 已知a1 a2 ak ak 1為非負實數 b1 b2 bk bk 1為正有理數 且b1 b2 bk bk 1 1 此時00 于是因由歸納假設可得 從而又因 1 bk 1 bk 1 1 由 得從而 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故當n k 1時 成立 由 1 2 可知 對一切正整數n 所推廣的命題成立 正確運用數學歸納法用數學歸納法證明的關鍵在于兩個步驟 要做到 遞推基礎不可少 歸納假設要用到 結論寫明莫忘掉 因此必須注意以下三點 1 驗證是基礎 數學歸納法的原理表明 第一個步驟是要找一個數n0 這個n0就是要證明的命題對象的最小自然數 這個自然數并不一定都是 1 因此 找準起點 奠基要穩(wěn) 是正確運用數學歸納法第一個要注意的問題 2 遞推乃關鍵 數學歸納法的實質在于遞推 所以從 k 到 k 1 的過程 必須把歸納假設 n k 作為條件來導出 n k 1 時的命題 在推導過程中 要把歸納假設用上一次或幾次 3 尋找遞推關系的方法 在第一步驗證時 不妨多計算幾項 并爭取正確寫出來 這樣對發(fā)現遞推關系是有幫助的 探求數列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律 觀察n處在哪個位置 在書寫f k 1 時 一定要把包含f k 的式子寫出來 尤其是f k 中的最后一項 除此之外 多了哪些項 少了哪些項都要分析清楚 提醒 在求由 k 到 k 1 時函數f x 變化的項時 一般把n k n k 1分別代入 將兩式作差求得