陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 反證法課件 北師大版選修22

一、命題的有關(guān)概念一、命題的有關(guān)概念1.命題命題 可以判斷真假的語句可以判斷真假的語句.2.邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞“或或”、“且且”、“非非”.3.簡單命題簡單命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.4.復(fù)合命題復(fù)合命題含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.一、命題的有關(guān)概念一、命題的有關(guān)概念 “非非 p”形式的復(fù)合形式的復(fù)合命題與命題與 p 的的真假相反真假相反; 5.復(fù)合命題真值表復(fù)合命題真值表 “p 或或 q”形式形式的復(fù)合命題當(dāng)?shù)膹?fù)合命題當(dāng) p 與與 q 同時為假時同時為假時為假為假, 其它情形其它情形為真為真; “p 且且 q”形形式的復(fù)合命題式的復(fù)合命題當(dāng)當(dāng)p 與與q同時為同時為真時為真真時為真, 其其它情形為假它情形為假.p非非 p真真假假假假真真pqp 或或 q真真 真真真真真真 假假真真假假 真真真真假假 假假假假pqp 且且 q真真 真真真真真真 假假假假假假 真真假假假假 假假假假二、命題的四種形式二、命題的四種形式逆否命題逆否命題: 若若 q, 則則 p.原命題原命題: 若若 p, 則則 q; 逆命題逆命題: 若若 q, 則則 p; 否命題否命題: 若若 p, 則則 q; 互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否 否命題否命題 若若 p 則則 q 逆否命題逆否命題若若 q 則則 p 原命題原命題若若 p 則則 q 逆命題逆命題若若 q 則則 p互互 為為 逆逆 否否 否否 逆逆 為為 互互注注: 互為逆否命題的兩個命題同真假互為逆否命題的兩個命題同真假. 三、反證法三、反證法1.一般步驟一般步驟反設(shè)反設(shè): 假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立, 即假設(shè)結(jié)論的反面成立即假設(shè)結(jié)論的反面成立; 歸謬歸謬: 從假設(shè)出發(fā)從假設(shè)出發(fā), 經(jīng)過推理論證經(jīng)過推理論證, 得出矛盾得出矛盾; 結(jié)論結(jié)論: 由矛盾判定假設(shè)不正確由矛盾判定假設(shè)不正確, 從而肯定命題的結(jié)論正確從而肯定命題的結(jié)論正確. 2.命題特點命題特點結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn);結(jié)論是結(jié)論是“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”、“都是都是”等形式等形式; 結(jié)論涉及結(jié)論涉及“存在或不存在存在或不存在”，“有限或無限有限或無限”等形式等形式; 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明.3.特殊結(jié)論的反設(shè)特殊結(jié)論的反設(shè)原結(jié)論詞原結(jié)論詞大于大于()小于小于()都是都是都不是都不是至少至少 n 個個至多至多 n 個個反設(shè)詞反設(shè)詞不大于不大于()不小于不小于()不都是不都是至少有一個是至少有一個是至多至多 n- -1 個個至少至少 n+1 個個原結(jié)論詞原結(jié)論詞有無窮多個有無窮多個存在唯一的存在唯一的對任意對任意 x, 使使恒成立恒成立反設(shè)詞反設(shè)詞只有有限多個只有有限多個不存在或至少存在兩個不存在或至少存在兩個至少有一個至少有一個 x, 使使不成立不成立4.引出矛盾的形式引出矛盾的形式由假設(shè)結(jié)論由假設(shè)結(jié)論 q 不成立不成立, 得到條件得到條件 p 不成立不成立; 由假設(shè)結(jié)論由假設(shè)結(jié)論 q 不成立不成立, 得到結(jié)論得到結(jié)論 q 成立成立; 由假設(shè)結(jié)論由假設(shè)結(jié)論 q 不成立不成立, 得到一個恒假命題得到一個恒假命題; 分別由假設(shè)與條件推得的兩個結(jié)論矛盾分別由假設(shè)與條件推得的兩個結(jié)論矛盾. 典型例題典型例題用反證法證明下列各題用反證法證明下列各題: 1.某班有某班有 49 位學(xué)生位學(xué)生, 證明證明: 至少有至少有 5 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月. 3.設(shè)設(shè) f(x)=x2+ax+b, 求證求證: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個不中至少有一個不小于小于 .12 4.設(shè)三個正數(shù)設(shè)三個正數(shù) a, b, c 滿足條件滿足條件 + + =2, 求證求證: a, b, c 中至中至少有兩個不小于少有兩個不小于 1.b1a1c1 2.若若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于證明關(guān)于 x 的方程的方程 x2+p1x+q1=0 與與 x2+p2x+ q2=0 中中, 至少有一個方程有實根至少有一個方程有實根.證證: 假設(shè)至多有假設(shè)至多有 4 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月, 即即:生日在生日在 1, 2, , 12 月的學(xué)生人數(shù)都不超過月的學(xué)生人數(shù)都不超過 4 人人.則該班學(xué)生總數(shù)則該班學(xué)生總數(shù) m4 12=48人人,與該班有與該班有 49 位學(xué)生的條件矛盾位學(xué)生的條件矛盾,假設(shè)不成立假設(shè)不成立.至少有至少有 5 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月.1.某班有某班有 49 位學(xué)生位學(xué)生, 證明證明: 至少有至少有 5 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月. 證證: 假設(shè)這兩個方程都沒有實根假設(shè)這兩個方程都沒有實根, 則則 10 且且 20, 從而有從而有:1+20. 又又1+2=(p12- -4q1)+(p22- -4q2)=p12+p22- -4(q1+q2) =p12+p22- -2p1p2=(p1- -p2)20, 與與 1+20 矛盾矛盾. 即即 1+20,假設(shè)不成立假設(shè)不成立. 故這兩個方程至少有一個有實根故這兩個方程至少有一個有實根. 2.若若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于證明關(guān)于 x 的方程的方程 x2+p1x+q1=0 與與 x2+p2x+ q2=0 中中, 至少有一個方程有實根至少有一個方程有實根.證證: 假設(shè)假設(shè) |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 全小于全小于 , 即即:12- - 1+a+b 1212- - 4+2a+b 1212- - 9+3a+b 1212- - a+b- - 3212- - 2a+b- - 9272- - 3a+b- - 2192173212由式得由式得- -a- -b , 與與式相加得式相加得 - -4a- -2 與式相加得與式相加得 - -6a- -4 9272由式得由式得- -2a- -b , 顯然與矛盾顯然與矛盾, 假設(shè)不成立假設(shè)不成立.故故 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個不小于中至少有一個不小于 .12 3.設(shè)設(shè) f(x)=x2+ax+b, 求證求證: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個不中至少有一個不小于小于 .12 4.設(shè)三個正數(shù)設(shè)三個正數(shù) a, b, c 滿足條件滿足條件 + + =2, 求證求證: a, b, c 中至中至少有兩個不小于少有兩個不小于 1.b1a1c1a, b, c 三數(shù)均小于三數(shù)均小于 1, 證證: 假設(shè)假設(shè) a, b, c 中至多有一個數(shù)不小于中至多有一個數(shù)不小于 1, 這包含兩種情況這包含兩種情況:即即 0a1, 0b1, 0c1, 1, 1, b1a1c1 + + 3,b1a1c1也與已知條件矛盾也與已知條件矛盾.a, b, c 中恰有兩數(shù)小于中恰有兩數(shù)小于 1, 不妨設(shè)不妨設(shè) 0a1, 0b1, 1, b1a1c1 + + 2+ 2, b1a1c1假設(shè)不成立假設(shè)不成立.a, b, c 中至少有兩個不小于中至少有兩個不小于 1.課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1.已知已知 abc 0, 求證求證: 三個方程三個方程 ax2+bx+ =0、bx2+cx+ =0 與與a4c4cx2+ax+ =0 中至少有一個方程有實數(shù)根中至少有一個方程有實數(shù)根. b4 2.對于函數(shù)對于函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a, b R), 當(dāng)當(dāng) x - -1, 1 時時, |f(x)| 的最的最大值為大值為 M, 求證求證: M . 123.方程方程 x2 - -mx+4=0 在在 - -1, 1 上有解上有解, 求實數(shù)求實數(shù) m 的取值范圍的取值范圍. 1.已知已知 abc 0, 求證求證: 三個方程三個方程 ax2+bx+ =0、bx2+cx+ =0 與與a4c4cx2+ax+ =0 中至少有一個方程有實數(shù)根中至少有一個方程有實數(shù)根. b41.證證: 設(shè)三個方程的判別式分別為設(shè)三個方程的判別式分別為1, 2, 3,由由 1+2+3=b2 - -ac+c2 - -ba+a2 - -cb = (a- -b)2+(b- -c)2+(c- -a)20 12即即 1+2+3 0. 故所述三個方程中至少有一個方程有實數(shù)根故所述三個方程中至少有一個方程有實數(shù)根. 1, 2, 3 中至少有一個非負中至少有一個非負. 2.對于函數(shù)對于函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a, b R), 當(dāng)當(dāng) x - -1, 1 時時, |f(x)| 的最的最大值為大值為 M, 求證求證: M . 12|f(- -1)|=|1- -a+b| . 12證證: 假設(shè)假設(shè) M, 則則 |f(1)|=|1+a+b| , |f(0)|=|b| ,121212121212|1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b| +2 + =2, 即即 |1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b|2. 又又|1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b|(1+a+b)- -2b+(1- -a+b)|=2, 即即 |1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b|2,與與式式矛盾矛盾. 假設(shè)不成立假設(shè)不成立. 12 M.3.方程方程 x2 - -mx+4=0 在在 - -1, 1 上有解上有解, 求實數(shù)求實數(shù) m 的取值范圍的取值范圍.解解: 先考慮先考慮 x2 - -mx+4=0 在在 - -1, 1 上無解時上無解時 m 的取值范圍的取值范圍.包含兩種情況包含兩種情況: 方程方程 x2 - -mx+4=0 無實數(shù)解無實數(shù)解;方程有實數(shù)解方程有實數(shù)解, 但解不在但解不在 - -1, 1 上上.設(shè)設(shè) f(x)=x2 - -mx+4, 則等價于則等價于 =m2 - -160;等價于等價于: 0; 0. 0; 1;2mf(1)0. 或或 - -1 1;0; 2mf(- -1)0; f(1)0. 或或 解得實數(shù)解得實數(shù) m 取值的集合取值的集合 A=(- -5, 5).故所求實數(shù)故所求實數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是:CRA=(- -, - -55, +).