中考數(shù)學第三單元 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

欄目索引第第1414講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用欄目索引夯基礎(chǔ)學易考點一考點一 二次函數(shù)中的線段問題二次函數(shù)中的線段問題(5(5年年2 2考考) )與動點結(jié)合,用含有變量的關(guān)系式表示線段的長,也可以結(jié)合自變量的取值范圍,確定線段的最值.夯基礎(chǔ)學易欄目索引夯基礎(chǔ)學易1.(2018貴港)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸相交于點C(0,-3).(1)求這個二次函數(shù)的表達式;(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點,PHx軸于點H,與BC交于點M,連接PC.求線段PM的長的最大值;當PCM是以PM為一腰的等腰三角形時,求點P的坐標.欄目索引夯基礎(chǔ)學易解析解析(1)將A,B,C三點坐標代入函數(shù)解析式,得解得這個二次函數(shù)的表達式為y=x2-2x-3.(2)設(shè)BC的解析式為y=kx+b(k0),將B,C的坐標代入函數(shù)解析式,得解得BC的解析式為y=x-3,設(shè)M(n,n-3)(0n3),P(n,n2-2n-3),0,930,3,abcabcc 1,2,3,abc 30,3,kbb 1,3,kb 欄目索引夯基礎(chǔ)學易PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-+,當n=時,PM最大=.當PM=PC時,(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,解得n1=0(不符合題意,舍去),n2=2,n3=3-,n2-2n-3=-3,P(2,-3);當PM=MC時,(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,解得n1=0(不符合題意,舍去),n2=3-,n2-2n-3=2-4,P(3-2,2-4).綜上所述:P(2,-3)或(3-,2-4).232n9432942222222欄目索引夯基礎(chǔ)學易學法提點學法提點本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用,解(1)問的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;解(2)問的關(guān)鍵是利用平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標得出二次函數(shù),又利用了二次函數(shù)的性質(zhì);解(2)問的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于n的方程,要分類討論,以防遺漏.欄目索引夯基礎(chǔ)學易考點二考點二 二次函數(shù)中的分類討論問題二次函數(shù)中的分類討論問題(5(5年年5 5考考) )與動點結(jié)合,考查綜合解決問題的能力,同時滲透分類討論的思想.欄目索引夯基礎(chǔ)學易2.(2018湖南衡陽,25,10分)如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點A、B,拋物線經(jīng)過A、B兩點,點P是線段AB上一動點,過點P作PCx軸于點C,交拋物線于點D.(1)若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點為M,其對稱軸交AB于點N.求點M、N的坐標;是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;欄目索引夯基礎(chǔ)學易(2)當點P的橫坐標為1時,是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點的三角形與AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.欄目索引夯基礎(chǔ)學易解析解析(1)如圖1,圖1欄目索引夯基礎(chǔ)學易y=-2x2+2x+4=-2+,頂點M的坐標為,將x=代入y=-2x+4,得y=-2+4=3,則點N的坐標為.不存在.理由如下:MN=-3=,假設(shè)存在滿足題意的點P,設(shè)P點坐標為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4),PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,PDMN,當PD=MN時,四邊形MNPD為平行四邊形,即-2m2+4m=,212x921 9,2 212121,32923232欄目索引夯基礎(chǔ)學易解得m1=(舍去),m2=,此時P點的坐標為,PN=,PNMN,平行四邊形MNPD不是菱形,不存在點P,使四邊形MNPD為菱形.(2)存在.如圖2,OB=4,OA=2,則AB=2,12323,122213(3 1)22522245圖2當x=1時,y=-2x+4=2,則P(1,2),PB=,221(24)5欄目索引夯基礎(chǔ)學易設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4(a0),把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,拋物線的解析式為y=ax2-2(a+1)x+4,當x=1時,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a),PD=2-a-2=-a,DCOB,DPB=OBA,當=時,PDBBOA,即=,解得a=-2,此時拋物線解析式為y=-2x2+2x+4;PDBOPBBA4a52 5欄目索引夯基礎(chǔ)學易當=時,PDBBAO,即=,解得a=-,此時拋物線解析式為y=-x2+3x+4.綜上所述,滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4.PDBAPBBO2 5a54525252欄目索引夯基礎(chǔ)學易學法提點學法提點此題看似是相似三角形的分類,其本質(zhì)是直角三角形的分類,即BPD為直角三角的分類討論,結(jié)合圖形可知BPD不可能為直角,因此PBD,BDP為直角為此題的突破口.欄目索引夯基礎(chǔ)學易考點三考點三 二次函數(shù)中的面積問題二次函數(shù)中的面積問題(5(5年年2 2考考) )二次函數(shù)與動點結(jié)合,用含變量的關(guān)系式表示圖形的面積,進而確定圖形面積的最值.欄目索引夯基礎(chǔ)學易3.(2018遂寧)如圖,已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A,B兩點(B點在A點右側(cè)),與y軸交于C點.(1)求拋物線的解折式和A、B兩點的坐標;32(2)若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點(不與B、C重合),則是否存在一點P,使PBC的面積最大?若存在,請求出PBC的最大面積;若不存在,試說明理由.欄目索引夯基礎(chǔ)學易解析解析(1)拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,-=3,解得a=-,拋物線的解析式為y=-x2+x+4.當y=0時,-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8,點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(8,0).(2)當x=0時,y=-x2+x+4=4,點C的坐標為(0,4).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k0).32322a14143214321432欄目索引夯基礎(chǔ)學易將B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,得解得直線BC的解析式為y=-x+4.假設(shè)存在,設(shè)點P的坐標為,過點P作PDy軸,交直線BC于點D,則點D的坐標為,如圖所示.80,4,kbb1,24,kb 12213,442xxx1,42xx欄目索引夯基礎(chǔ)學易PD=-x2+x+4-=-x2+2x,SPBC=PDOB=8=-x2+8x=-(x-4)2+16.1432142x1412122124xx-10,當x=4時,PBC的面積最大,最大面積是16.0 x8,存在點P,使PBC的面積最大,最大面積是16.欄目索引夯基礎(chǔ)學易學法提點學法提點本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積,解題的關(guān)鍵:(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的值;(2)根據(jù)三角形的面積公式找出SPBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.欄目索引研真題優(yōu)易類型一類型一 二次函數(shù)中的線段問題二次函數(shù)中的線段問題研真題優(yōu)易例例1(2018山西,23,13分)綜合與探究如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,連接AC,BC.點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點,點P的橫坐標為m,過點P作PMx軸,垂足為點M,PM交BC于點Q,過點P作PEAC交x軸于點E,交BC于點F.1313欄目索引研真題優(yōu)易(1)求A,B,C三點的坐標;(2)試探究在點P運動的過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請寫出此時點Q的坐標;若不存在,請說明理由;直接(3)請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長,并求出m為何值時QF有最大值.欄目索引研真題優(yōu)易命題亮點命題亮點本題考查學生的推理能力,運算能力,幾何直觀能力等,試題開放且綜合性強.解題思路解題思路用含變量的式子表示點的坐標,線段的長度,結(jié)合變量的取值范圍,確定線段的最值.欄目索引研真題優(yōu)易開放解答開放解答答案答案(1)由y=0,得x2-x-4=0,解得x1=-3,x2=4.點A,B的坐標分別為(-3,0),(4,0).1313由x=0,得y=-4,點C的坐標為(0,-4).(2)點Q的坐標為或(1,-3).詳解:當CA=CQ時,如圖1,5 2 5 2,422圖1欄目索引研真題優(yōu)易AC=5,BC=4,BQ=4-5.OB=OC,OCB=OBC=45.MQ=MB=4-,OM=OB-MB=,點Q的坐標為.當AC=AQ時,如圖2,AQC=ACQ,22OAOC22OBOC224 2525 225 225 2 5 2,422欄目索引研真題優(yōu)易圖2ACO+OCB=QAB+QBA.OB=OC,OCB=OBC,ACO=QAM.欄目索引研真題優(yōu)易又AOC=QMA,AOC QMA,OC=AM=4,OA=QM=3,OM=1,點Q的坐標為(1,-3).綜上所述,點Q的坐標為或(1,-3).(3)解法一:如圖3,過點F作FGPQ于點G,5 2 5 2,422 圖3則FGx軸.由B(4,0),C(0,-4),得OBC為等腰直角三角形.欄目索引研真題優(yōu)易OBC=QFG=45.GQ=FG=FQ.PEAC,1=2.FGx軸,2=3.1=3.FGP=AOC=90,FGPAOC.=,即=.GP=FG=FQ=FQ.22FGAOGPOC3FG4GP4343222 23欄目索引研真題優(yōu)易QP=GQ+GP=FQ+FQ=FQ.FQ=QP.PMx軸,點P的橫坐標為m,MBQ=45,QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4.QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m.QF=QP=-m2+m.-0,QF有最大值.222 237 263 271313131313433 273 2721433mm274 2727欄目索引研真題優(yōu)易當m=-=2時,QF有最大值.解法二:如圖4,點P的橫坐標為m,點P的坐標為,BM=4-m.4 27227 211,433mmm欄目索引研真題優(yōu)易圖4BMQ是等腰直角三角形,BQ=BM=4-m.222欄目索引研真題優(yōu)易PEAC,2=1.又PME=AOC=90,EMPAOC,=,=,即EM=-m2+m+3.EMOAMPOC3EM2114334mm1414欄目索引研真題優(yōu)易BE=EM+MB=-m2-m+7.PEAC,BEFBAC,=,=,即BF=-m2-m+4.QF=BF-BQ=-m2+m=-(m-2)2+.1434BEABBFBC2137447mm4 2BF273 272274 27274 27欄目索引研真題優(yōu)易-0).392 333欄目索引試真題練易(1)求直線BC的函數(shù)表達式;(2)直接寫出P,D兩點的坐標(用含t的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡);在點P,Q運動的過程中,當PQ=PD時,求t的值;(3)試探究在點P,Q運動的過程中,是否存在某一時刻,使得點F為PD的中點.若存在,請直接寫出此時t的值與點F的坐標;若不存在,請說明理由.欄目索引試真題練易解析解析(1)令y=0,得-x2+x+3=0.解得x1=-3,x2=9,點B的坐標為(9,0).令x=0,得y=3,點C的坐標為(0,3).設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+b(k0),由B,C兩點的坐標得解得直線BC的函數(shù)表達式為y=-x+3.392 3333390,3 3,kbb3,33 3,kb 333欄目索引試真題練易(2)P,D.過點P作PGx軸于點G,PHQD于點H.33,22tt24 38 392 ,93ttt欄目索引試真題練易QDx軸,四邊形PGQH是矩形,HQ=PG.PQ=PD,PHQD,DQ=2HQ=2PG.P,D兩點的坐標分別為-3,t,9-2t,-t2+t,-t2+t=2t,解得t1=0(舍去),t2=,當PQ=PD時,t的值為.(3)存在.t=3,F.2t324 398 334 398 33321541543 11 3,44欄目索引試真題練易命題點二 二次函數(shù)中的分類討論與圖形面積問題2.(2014山西,24,13分)綜合與探究如圖,在平面直角坐標系xOy中,四邊形OABC是平行四邊形,A,C兩點的坐標分別為(4,0),(-2,3),拋物線W經(jīng)過O,A,C三點,D是拋物線W的頂點.(1)求拋物線W的解析式及頂點D的坐標;(2)將拋物線W和 OABC一起先向右平移4個單位后,再向下平移m(0m3)個單位,得到拋物線W和 OABC.在向下平移的過程中,設(shè) OABC與OABC的重疊部分的面積為S,試探究:當m為何值時S有最大值,并求出S的最大值;欄目索引試真題練易(3)在(2)的條件下,當S取最大值時,設(shè)此時拋物線W的頂點為F,若點M是x軸上的動點,點N是拋物線W上的動點,試判斷是否存在這樣的點M和點N,使得以D,F,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.欄目索引試真題練易解析解析(1)拋物線W過原點O(0,0),設(shè)拋物線W的解析式為y=ax2+bx(a0).拋物線W經(jīng)過A(4,0),C(-2,3)兩點,解得拋物線W的解析式為y=x2-x.y=x2-x=(x-2)2-1,頂點D的坐標為(2,-1).(2)由 OABC得,CBOA,CB=OA=4.又C點的坐標為(-2,3),B點的坐標為(2,3).1640,423,abab1,41.ab 141414欄目索引試真題練易如圖,過點B作BEx軸于點E,由平移可知,點C在BE上,且BC=m.BE=3,OE=2,EA=OA-OE=2.設(shè)CB與BA交于點G,CO與x軸交于點H,欄目索引試真題練易CBx軸,BCGBEA.=,即=,CG=BC=m.由平移知, OABC與 OABC的重疊部分的四邊形CHAG是平行四邊形.S=CGCE=m(3-m)=-m2+2m=-+.-0,且0m3,當m=時,S有最大值為.(3)存在.點M的坐標分別為M1(0,0),M2(4,0),M3(6,0),M4(14,0).BCBEC GEA3BC2C G2323232323232m32233232