高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 課時(shí)3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 文.ppt

3 2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 課時(shí)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題 內(nèi)容索引 題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題 題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題 題型三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 審題路線圖系列 練出高分 思想方法感悟提高 題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題 題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題 命題點(diǎn)1解不等式 又 2 0 當(dāng)且僅當(dāng)00 此時(shí)x2f x 0 又f x 為奇函數(shù) h x x2f x 也為奇函數(shù) 故x2f x 0的解集為 2 0 2 2 0 2 解析答案 命題點(diǎn)2證明不等式 解析答案 又F 0 0 F 1 0 所以當(dāng)x 0 1 時(shí) F x 0 解析答案 記H x sinx x 則當(dāng)x 0 1 時(shí) H x cosx 1 0 所以H x 在 0 1 上是減函數(shù) 則H x H 0 0 即sinx x 命題點(diǎn)3不等式恒成立問題 解析答案 思維升華 又x 0 a xlnx x3 令g x xlnx x3 則h x g x 1 lnx 3x2 當(dāng)x 1 時(shí) h x 0 h x 在 1 上是減函數(shù) h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是減函數(shù) g x g 1 1 當(dāng)a 1時(shí) f x x2在 1 上恒成立 思維升華 思維升華 1 利用導(dǎo)數(shù)解不等式 一般可構(gòu)造函數(shù) 利用已知條件確定函數(shù)單調(diào)性解不等式 2 證明不等式f x g x 可構(gòu)造函數(shù)F x f x g x 利用導(dǎo)數(shù)求F x 的值域 得到F x 0即可 3 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 首先要構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求出最值 進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式 從而求出參數(shù)的取值范圍 也可分離變量 構(gòu)造函數(shù) 直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 設(shè)a R 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 當(dāng)a 1時(shí) 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解當(dāng)a 1時(shí) f x x3 3x2 則f x 3x2 6x 由f x 0 得x2 由f x 0 得0 x 2 所以f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 2 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 2 2 若對(duì)任意的x 1 3 有f x f x 0恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析答案 返回 返回 解依題意 對(duì) x 1 3 ax3 3x2 3ax2 6x 0恒成立 所以h x 在區(qū)間 1 3 上是減函數(shù) 題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題 題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題 例4 2014 課標(biāo)全國 已知函數(shù)f x x3 3x2 ax 2 曲線y f x 在點(diǎn) 0 2 處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2 1 求a 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲線y f x 在點(diǎn) 0 2 處的切線方程為y ax 2 解析答案 2 證明 當(dāng)k 1時(shí) 曲線y f x 與直線y kx 2只有一個(gè)交點(diǎn) 解析答案 思維升華 證明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 設(shè)g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由題設(shè)知1 k 0 當(dāng)x 0時(shí) g x 3x2 6x 1 k 0 g x 單調(diào)遞增 g 1 k 10時(shí) 令h x x3 3x2 4 則g x h x 1 k x h x 解析答案 思維升華 h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 單調(diào)遞減 在 2 單調(diào)遞增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 沒有實(shí)根 綜上 g x 0在R有唯一實(shí)根 即曲線y f x 與直線y kx 2只有一個(gè)交點(diǎn) 思維升華 思維升華 研究方程根的情況 可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 最大值 最小值 變化趨勢等 根據(jù)題目要求 畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律 標(biāo)明函數(shù)極 最 值的位置 通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題 可以使問題的求解有一個(gè)清晰 直觀的整體展現(xiàn) 已知函數(shù)f x x2 xsinx cosx的圖象與直線y b有兩個(gè)不同交點(diǎn) 求b的取值范圍 解f x x 2 cosx 令f x 0 得x 0 當(dāng)x 0時(shí) f x 0 f x 在 0 上遞增 當(dāng)x1時(shí) 曲線y f x 與直線y b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn) 綜上可知 b的取值范圍是 1 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 返回 題型三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 題型三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 1 求a的值 解因?yàn)閤 5時(shí) y 11 解析答案 2 若該商品的成本為3元 千克 試確定銷售價(jià)格x的值 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 解析答案 思維升華 解由 1 可知 該商品每日的銷售量為 從而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 解析答案 思維升華 由上表可得 x 4時(shí) 函數(shù)f x 取得極大值 也是最大值 所以 當(dāng)x 4時(shí) 函數(shù)f x 取得最大值 且最大值等于42 答當(dāng)銷售價(jià)格為4元 千克時(shí) 商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 思維升華 思維升華 在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí) 一般先設(shè)自變量 因變量 建立函數(shù)關(guān)系式 并確定其定義域 利用求函數(shù)最值的方法求解 注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合 用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題中的最大 小 值 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn) 那么根據(jù)實(shí)際意義可知該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn) 解析由y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于040時(shí) y 0 所以當(dāng)x 40時(shí) y有最小值 40 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 審題路線圖系列 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M成立 求滿足上述條件的最大整數(shù)M 審題路線圖系列 一審條件挖隱含 審題路線圖 解析答案 返回 溫馨提醒 審題路線圖 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M 正確理解 存在 的含義 g x1 g x2 max M 挖掘 g x1 g x2 max的隱含實(shí)質(zhì)g x max g x min M 求得M的最大整數(shù)值 審題路線圖 解析答案 溫馨提醒 2 對(duì)任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含義 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 分離參數(shù)aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值a h x max h 1 1 a 1 解析答案 溫馨提醒 規(guī)范解答解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M成立 等價(jià)于 g x1 g x2 max M 2分 g x max g 2 1 又x 0 2 解析答案 溫馨提醒 則滿足條件的最大整數(shù)M 4 6分 解析答案 溫馨提醒 所以h x max h 1 1 13分 所以a 1 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 14分 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 恒成立 存在性 問題一定要正確理解問題實(shí)質(zhì) 深刻挖掘條件內(nèi)含 進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化 2 構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法 解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題 思想方法感悟提高 1 用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f x g x 時(shí) 找到函數(shù)h x f x g x 的零點(diǎn)是解題的突破口 2 在討論方程的根的個(gè)數(shù) 研究函數(shù)圖象與x軸 或某直線 的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 不等式恒成立等問題時(shí) 常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍 這類問題的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極 最 值的應(yīng)用 3 在實(shí)際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn) 那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可 不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較 方法與技巧 1 利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題時(shí) 若分離參數(shù)后得到 a f x 恒成立 要根據(jù)f x 的值確定a的范圍中端點(diǎn)能否取到 2 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題 要注意問題的實(shí)際意義 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 1 得x x 2 ax在區(qū)間 0 上恒成立 當(dāng)x 0時(shí) a R 當(dāng)x 0時(shí) 有x 2 a恒成立 所以a 2 故a 2 由 2 得ln x 1 ax 0在區(qū)間 0 上恒成立 設(shè)h x ln x 1 ax x 0 解析答案 當(dāng)a 0時(shí) h x 0 故h x 為增函數(shù) 所以h x h 0 0恒成立 故h x 為減函數(shù) 所以h x h 0 0恒成立 顯然不符合題意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 當(dāng)00 滿足h x0 ln x0 1 ax0 0成立 則h x0 ln5 2 0成立 可知0 a 1時(shí) 不符合題意 故a 0 由 可知a的取值范圍是 2 0 答案 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析構(gòu)造函數(shù)h x xf x 則h x f x x f x y f x 是定義在R上的奇函數(shù) h x 是定義在R上的偶函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) h x f x x f x 0 此時(shí)函數(shù)h x 單調(diào)遞增 3 若商品的年利潤y 萬元 與年產(chǎn)量x 百萬件 的函數(shù)關(guān)系式 y x3 27x 123 x 0 則獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為 百萬件 解析y 3x2 27 3 x 3 x 3 當(dāng)00 當(dāng)x 3時(shí) y 0 故當(dāng)x 3時(shí) 該商品的年利潤最大 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若a 0 b 0 且函數(shù)f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1處有極值 則ab的最大值為 解析由題意得f x 12x2 2ax 2b f x 在x 1處有極值 f 1 12 2a 2b 0 a b 6 a 0 b 0 9 當(dāng)且僅當(dāng)a b 3時(shí)取等號(hào) 易知此時(shí)f x 在x 1處有極小值 滿足題意 ab的最大值為9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以2x 2b 0 于x2 2a 0在x a b 上恒成立 x2 2a 0的解集為 解析由題意知f x x2 2a g x 2x 2b 函數(shù)f x 與g x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)性相反 則有 x2 2a 2x 2b 0在x a b 上恒成立 又0 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x 2ax b f 0 b 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 設(shè)函數(shù)f x 是定義在 0 上的可導(dǎo)函數(shù) 其導(dǎo)函數(shù)為f x 且有2f x xf x x2 則不等式 x 2014 2f x 2014 4f 2 0的解集為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由2f x xf x x2 x0 即為F x 2014 F 2 0 即F x 2014 F 2 又因?yàn)镕 x 在 0 上是減函數(shù) 所以x 2014 2 所以x 2016 答案 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 0 函數(shù)f x ex ax恒大于零 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 當(dāng)x 0時(shí) f x ex ax 0恒成立 若x 0 a為任意實(shí)數(shù) f x ex ax 0恒成立 若x 0 f x ex ax 0恒成立 當(dāng)x 0 1 時(shí) Q x 0 則Q x 在 0 1 上單調(diào)遞增 當(dāng)x 1 時(shí) Q x 0恒成立 a的取值范圍為 e 答案 e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 設(shè)a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由f x ex 2x 2a x R 知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 故f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ln2 單調(diào)遞增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求證 當(dāng)a ln2 1且x 0時(shí) ex x2 2ax 1 證明設(shè)g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當(dāng)a ln2 1時(shí) g x 取最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對(duì)任意x R 都有g(shù) x 0 所以g x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當(dāng)a ln2 1時(shí) 對(duì)任意x 0 都有g(shù) x g 0 而g 0 0 從而對(duì)任意x 0 都有g(shù) x 0 即ex x2 2ax 1 0 故當(dāng)a ln2 1且x 0時(shí) ex x2 2ax 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池 不計(jì)厚度 設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān) 側(cè)面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數(shù)V r 并求該函數(shù)的定義域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100 2 rh 200 rh元 底面的總成本為160 r2元 所以蓄水池的總成本為 200 rh 160 r2 元 又根據(jù)題意200 rh 160 r2 12000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 討論函數(shù)V r 的單調(diào)性 并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大 令V r 0 解得r 5或 5 因?yàn)閞 5不在定義域內(nèi) 舍去 當(dāng)r 0 5 時(shí) V r 0 故V r 在 0 5 上為增函數(shù) 由此可知 V r 在r 5處取得最大值 此時(shí)h 8 即當(dāng)r 5 h 8時(shí) 該蓄水池的體積最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 設(shè)函數(shù)f x ax2 bx c a b c R 若x 1為函數(shù)g x f x ex的一個(gè)極值點(diǎn) 則下列圖象不可能為y f x 的圖象的是 填序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 c a 0 c a f x ax2 bx a 若方程ax2 bx a 0有兩根x1 x2 答案 解析設(shè)h x f x ex 則h x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 2ax bx b c ex 由x 1為函數(shù)f x ex的一個(gè)極值點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知函數(shù)f x ax3 3x 1對(duì)x 0 1 總有f x 0成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 g x 與g x 隨x的變化情況如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 因此g x 的最大值為4 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 4 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零點(diǎn)x0 且x0 0 則a的取值范圍是 解析a 0時(shí) 不符合題意 a 0時(shí) f x 3ax2 6x 若a 0 則由圖象知f x 有負(fù)數(shù)零點(diǎn) 不符合題意 則a0知 化簡得a2 4 又a 0 所以a 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 設(shè)函數(shù)f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 解因?yàn)閒 x a2lnx x2 ax 其中x 0 由于a 0 所以f x 的增區(qū)間為 0 a 減區(qū)間為 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求所有的實(shí)數(shù)a 使e 1 f x e2對(duì)x 1 e 恒成立 解由題意得f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知f x 在 1 e 內(nèi)單調(diào)遞增 要使e 1 f x e2對(duì)x 1 e 恒成立 解得a e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令f x 0 得x 1 因此函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 令f x 0 得0 x 1 因此函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 綜上 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 1 單調(diào)減區(qū)間為 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 2 設(shè)m R 對(duì)任意的a 1 1 總存在x0 1 e 使得不等式ma f x0 0成立 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解依題意 ma f x max 由 1 知 f x 在x 1 e 上是增函數(shù) 返回