高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.4 二次函數與冪函數課件 文.ppt

第二章函數概念與基本初等函數I 2 4二次函數與冪函數 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 二次函數 1 二次函數解析式的三種形式 一般式 f x 頂點式 f x 零點式 f x 2 二次函數的圖象和性質 ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 知識梳理 1 答案 答案 2 冪函數 1 定義 形如的函數稱為冪函數 其中x是自變量 是常數 2 冪函數的圖象比較 y x 答案 3 冪函數的性質 冪函數在 0 上都有定義 冪函數的圖象過定點 1 1 當 0時 冪函數的圖象都過點 1 1 和 0 0 且在 0 上單調遞增 當 0時 冪函數的圖象都過點 1 1 且在 0 上單調遞減 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 二次函數y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函數y ax2 bx c x R 不可能是偶函數 3 在y ax2 bx c a 0 中 a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小 4 函數是冪函數 5 如果冪函數的圖象與坐標軸相交 則交點一定是原點 6 當n 0時 冪函數y xn是定義域上的減函數 答案 思考辨析 即m2 1 解得m1 1 1 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知函數f x ax2 x 5的圖象在x軸上方 則a的取值范圍是 解析答案 1 2 3 4 5 3 函數的圖象是 填序號 解析顯然f x f x 說明函數是奇函數 同時由當0 x 1時 當x 1時 故只有 符合 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知函數y x2 2x 3在閉區(qū)間 0 m 上有最大值3 最小值2 則m的取值范圍為 解析如圖 由圖象可知m的取值范圍是 1 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 0 答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一求二次函數的解析式 例1已知二次函數f x 滿足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 試確定此二次函數的解析式 解析答案 思維升華 解方法一 利用一般式 設f x ax2 bx c a 0 所求二次函數為f x 4x2 4x 7 解析答案 思維升華 方法二 利用頂點式 設f x a x m 2 n f 2 f 1 n 8 解析答案 f 2 1 思維升華 方法三 利用零點式 由已知f x 1 0的兩根為x1 2 x2 1 故可設f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 解得a 4 所求函數的解析式為f x 4x2 4x 7 思維升華 思維升華 求二次函數的解析式 關鍵是靈活選取二次函數解析式的形式 所用所給出的條件 根據二次函數的性質進行求解 1 二次函數的圖象過點 0 1 對稱軸為x 2 最小值為 1 則它的解析式是 解析依題意可設f x a x 2 2 1 又其圖象過點 0 1 4a 1 1 跟蹤訓練1 解析答案 2 若函數f x x a bx 2a 常數a b R 是偶函數 且它的值域為 4 則該函數的解析式f x 解析由f x 是偶函數知f x 圖象關于y軸對稱 b 2 f x 2x2 2a2 又f x 的值域為 4 2a2 4 故f x 2x2 4 2x2 4 解析答案 題型二二次函數的圖象與性質 命題點1二次函數的單調性 例2已知函數f x x2 2ax 3 x 4 6 1 求實數a的取值范圍 使y f x 在區(qū)間 4 6 上是單調函數 要使f x 在 4 6 上為單調函數 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 故a的取值范圍是 6 4 解析答案 2 當a 1時 求f x 的單調區(qū)間 其圖象如圖所示 又 x 4 6 f x 在區(qū)間 4 1 和 0 1 上為減函數 在區(qū)間 1 0 和 1 6 上為增函數 解析答案 命題點2二次函數的最值 例3已知函數f x x2 2x 若x 2 3 則函數f x 的最大值為 解析f x x 1 2 1 2 x 3 如圖 f x max f 2 8 8 解析答案 已知函數f x x2 2x 若x 2 a 求f x 的最小值 引申探究 解析答案 解 函數y x2 2x x 1 2 1 對稱軸為直線x 1 x 1不一定在區(qū)間 2 a 內 應進行討論 當 21時 函數在 2 1 上單調遞減 在 1 a 上單調遞增 則當x 1時 y取得最小值 即ymin 1 綜上 當 21時 ymin 1 命題點3二次函數中的恒成立問題 例4 1 設函數f x ax2 2x 2 對于滿足10 則實數a的取值范圍為 解析答案 2 已知a是實數 函數f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 則實數a的取值范圍為 解析2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 當x 0時 適合 解析答案 思維升華 思維升華 1 二次函數最值問題解法 抓住 三點一軸 數形結合 三點是指區(qū)間兩個端點和中點 一軸指的是對稱軸 結合配方法 根據函數的單調性及分類討論的思想即可完成 2 由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵 1 一般有兩個解題思路 一是分離參數 二是不分離參數 2 兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值 至于用哪種方法 關鍵是看參數是否已分離 這兩個思路的依據是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 若二次函數f x ax2 bx c a 0 滿足f x 2 f x 16x且f 0 2 1 求函數f x 的解析式 解由f 0 2 得c 2 所以f x ax2 bx 2 a 0 f x 2 f x a x 2 2 b x 2 2 ax2 bx 2 4ax 4a 2b 因為f x 2 f x 16x 所以4ax 4a 2b 16x 解得a 4 b 8 所以f x 4x2 8x 2 跟蹤訓練2 解析答案 2 若存在x 1 2 使不等式f x 2x m成立 求實數m的取值范圍 解由f x 2x m 可得m f x 2x 4x2 10 x 2 設g x 4x2 10 x 2 x 1 2 則g x max g 2 2 m 2 故實數m的取值范圍是 2 解析答案 題型三冪函數的圖象和性質 解析由冪函數的定義知k 1 解析答案 2 若則實數m的取值范圍是 解析答案 思維升華 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 解析因為函數的定義域為 0 且在定義域內為增函數 思維升華 思維升華 1 冪函數的形式是y x R 其中只有一個參數 因此只需一個條件即可確定其解析式 2 在區(qū)間 0 1 上 冪函數中指數越大 函數圖象越靠近x軸 簡記為 指大圖低 在區(qū)間 1 上 冪函數中指數越大 函數圖象越遠離x軸 1 已知冪函數f x 的圖象經過 9 3 則f 2 f 1 解析設冪函數為f x x 則f 9 9 3 即32 3 所以2 1 即f x 跟蹤訓練3 解析答案 2 若則實數a的取值范圍是 解析易知函數的定義域為 0 在定義域內為增函數 解析答案 返回 思想與方法系列 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思維點撥參數a的值確定f x 圖象的形狀 a 0時 函數f x 的圖象為拋物線 還要考慮開口方向和對稱軸與所給范圍的關系 思想與方法系列 3 分類討論思想在二次函數最值中的應用 思維點撥 解析答案 返回 溫馨提醒 規(guī)范解答解 1 當a 0時 f x 2x在 0 1 上遞減 f x min f 1 2 3分 解析答案 溫馨提醒 2 當a 0時 f x ax2 2x圖象的開口方向向上 f x 在 0 1 上遞減 f x min f 1 a 2 10分 解析答案 溫馨提醒 3 當a 0時 f x ax2 2x的圖象的開口方向向下 f x ax2 2x在 0 1 上遞減 f x min f 1 a 2 13分 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 本題在求二次函數最值時 用到了分類討論思想 求解中既對系數a的符號進行討論 又對對稱軸進行討論 在分類討論時要遵循分類的原則 一是分類的標準要一致 二是分類時要做到不重不漏 三是能不分類的要盡量避免分類 絕不無原則的分類討論 2 在有關二次函數最值的求解中 若軸定區(qū)間動 仍應對區(qū)間進行分類討論 思想方法感悟提高 1 二次函數的三種形式 1 已知三個點的坐標時 宜用一般式 2 已知二次函數的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大 小 值有關的量時 常使用頂點式 3 已知二次函數與x軸有兩個交點 且橫坐標已知時 選用零點式求f x 更方便 2 研究二次函數的性質要注意 1 結合圖象分析 2 含參數的二次函數 要進行分類討論 方法與技巧 3 利用冪函數的單調性比較冪值大小的技巧在比較冪值的大小時 必須結合冪值的特點 轉化為同指數冪 再選擇適當的函數 借助其單調性進行比較 方法與技巧 1 對于函數y ax2 bx c 要認為它是二次函數 就必須滿足a 0 當題目條件中未說明a 0時 就要討論a 0和a 0兩種情況 2 冪函數的圖象一定會出現在第一象限內 一定不會出現在第四象限 至于是否出現在第二 三象限內 要看函數的奇偶性 冪函數的圖象最多能同時出現在兩個象限內 如果冪函數圖象與坐標軸相交 則交點一定是原點 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 如果函數f x x2 ax 3在區(qū)間 4 上單調遞減 則實數a的范圍是 8 解析答案 2 函數f x m2 m 1 xm是冪函數 且在x 0 上為增函數 則實數m的值是 解析f x m2 m 1 xm是冪函數 m2 m 1 1 m 1或m 2 又在x 0 上是增函數 所以m 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 設函數f x x2 x a a 0 且f m 0 則f m 1 0 判斷大小關系 f x 的大致圖象如圖所示 由f m 0 f m 1 f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若函數f x x2 ax a在區(qū)間 0 2 上的最大值為1 則實數a 解析 函數f x x2 ax a的圖象為開口向上的拋物線 函數的最大值在區(qū)間的端點取得 f 0 a f 2 4 3a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 冪函數y x 1 y xm與y xn在第一象限內的圖象如圖所示 則m與n的取值范圍分別為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析可作直線x 2 觀察直線x 2和各圖象交點的縱坐標可知2 1 2n 20 2m 21 1 n 0 m 1 答案 1 n 0 0 m 1 6 已知函數f x x2 2x g x ax 2 a 0 若 x1 1 2 x2 1 2 使得f x1 g x2 則實數a的取值范圍是 解析由函數f x x2 2x x 1 2 1 當x 1 2 時 f x min f 1 1 f x max f 1 3 即函數f x 的值域為 1 3 當x 1 2 時 函數g x min g 1 a 2 g x max g 2 2a 2 3 解得a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 當0g x f x h x g x f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 已知函數f x x2 2ax 2a 4的定義域為R 值域為 1 則a的值為 解析由于函數f x 的值域為 1 所以f x min 1 又f x x a 2 a2 2a 4 當x R時 f x min f a a2 2a 4 1 即a2 2a 3 0 解得a 3或a 1 1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 已知函數f x ax2 bx 1 a b為實數 a 0 x R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 若函數f x 的圖象過點 2 1 且方程f x 0有且只有一個根 求f x 的表達式 解因為f 2 1 即4a 2b 1 1 所以b 2a 因為方程f x 0有且只有一個根 所以 b2 4a 0 所以4a2 4a 0 所以a 1 所以b 2 所以f x x2 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 在 1 的條件下 當x 1 2 時 g x f x kx是單調函數 求實數k的取值范圍 所以所求實數k的取值范圍為 0 6 由g x 的圖象知 要滿足題意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函數f x x2 ax 3 a 若x 2 2 時 f x 0恒成立 求a的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解要使f x 0恒成立 則函數在區(qū)間 2 2 上的最小值不小于0 設f x 的最小值為g a 故此時a不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 得a 7 又a 4 故 7 a 4 綜上得 7 a 2 又 4 a 4 故 4 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知函數f x x2 m是定義在區(qū)間 3 m m2 m 上的奇函數 則f m 解析由已知 必有m2 m 3 m 即m2 2m 3 0 m 3或m 1 當m 3時 函數即f x x 1 x 6 6 f x 在x 0處無意義 故舍去 當m 1時 函數即f x x3 此時x 2 2 符合題意 f m f 1 f 1 3 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 已知冪函數f x x 當x 1時 恒有f x 1時 恒有f x 1時 函數f x x 的圖象在y x的圖象的下方 作出冪函數f x x 在第一象限的圖象 由圖象可知 1時滿足題意 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 則f x 的最小值為1 因此a 1 如果a 1 則a f x b的解集由兩個區(qū)域構成 于是有f a f b b 而函數y f x 圖象的對稱軸為x 2 故b 4 則f a 4 解得a 0 a 4舍去 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 設0 不等式8x2 8sin x cos2 0對x R恒成立 則 的取值范圍為 解析由8x2 8sin x cos2 0對x R恒成立 得 8sin 2 4 8cos2 0 15 已知函數f x ax2 bx c a 0 b R c R 1 若函數f x 的最小值是f 1 0 且c 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 F 2 F 2 2 1 2 2 1 2 8 解得a 1 b 2 f x x 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若a 1 c 0 且 f x 1在區(qū)間 0 1 上恒成立 試求b的取值范圍 解f x x2 bx 原命題等價于 1 x2 bx 1在 0 1 上恒成立 2 b 0 故b的取值范圍是 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解析答案