高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 13.1 合情推理與演繹推理課件 理.ppt

第十三章推理與證明 算法 復(fù)數(shù) 13 1合情推理與演繹推理 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 高頻小考點(diǎn) 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 合情推理 1 歸納推理 定義 從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論 稱為歸納推理 簡稱歸納法 特點(diǎn) 歸納推理是由到整體 由到一般的推理 2 類比推理 定義 根據(jù)兩個(gè) 或兩類 對(duì)象之間在某些方面的相似或相同 推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?像這樣的推理通常稱為類比推理 簡稱類比法 特點(diǎn) 類比推理是由到的推理 部分 個(gè)別 特殊 特殊 知識(shí)梳理 1 答案 3 合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實(shí) 正確的結(jié)論 實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果 以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程 歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理 2 演繹推理 1 演繹推理一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理 簡言之 演繹推理是由到的推理 一般 特殊 答案 2 三段論 是演繹推理的一般模式 大前提 已知的 小前提 所研究的 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對(duì)做出的判斷 一般原理 特殊情況 特殊情況 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 歸納推理得到的結(jié)論不一定正確 類比推理得到的結(jié)論一定正確 2 由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì) 這是一種合情推理 3 在類比時(shí) 平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適 4 所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù) 某數(shù)m是3的倍數(shù) 則m一定是9的倍數(shù) 這是三段論推理 但其結(jié)論是錯(cuò)誤的 5 一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1 2 3 那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an n n N 6 在演繹推理中 只要符合演繹推理的形式 結(jié)論就一定正確 思考辨析 答案 1 觀察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 則a10 b10 解析從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知 等式右端的值 從第三項(xiàng)開始 后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和 依據(jù)此規(guī)律 a10 b10 123 123 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 命題 有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù) 整數(shù)是有理數(shù) 所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù) 是假命題 推理錯(cuò)誤的原因是 使用了歸納推理 使用了類比推理 使用了 三段論 但推理形式錯(cuò)誤 使用了 三段論 但小前提錯(cuò)誤 解析由 三段論 的推理方式可知 該推理的錯(cuò)誤原因是推理形式錯(cuò)誤 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 福建 已知集合 a b c 0 1 2 且下列三個(gè)關(guān)系 a 2 b 2 c 0有且只有一個(gè)正確 則100a 10b c 解析答案 1 2 3 4 5 解析因?yàn)槿齻€(gè)關(guān)系中只有一個(gè)正確 分三種情況討論 所以解得a b 1 c 0 或a 1 b c 0 或b 1 a c 0 與互異性矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 所以100a 10b c 201 答案201 1 2 3 4 5 4 類比平面內(nèi) 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 的性質(zhì) 可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行 則正確的結(jié)論是 解析顯然 正確 對(duì)于 在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行 也可以異面或相交 對(duì)于 在空間中垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以平行 也可以相交 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 在等差數(shù)列 an 中 若a10 0 則有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 類比上述性質(zhì) 在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則b1b2b3b4 bn b1b2b3b4 b17 n n 17 n N 1 2 3 4 5 答案 返回 題型分類深度剖析 命題點(diǎn)1與數(shù)字有關(guān)的等式的推理 例1 2015 陜西 觀察下列等式 據(jù)此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 題型一歸納推理 解析答案 解析等式左邊的特征 第1個(gè)等式有2項(xiàng) 第2個(gè)有4項(xiàng) 第3個(gè)有6項(xiàng) 且正負(fù)交錯(cuò) 故第n個(gè)等式左邊有2n項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò) 等式右邊的特征 第1個(gè)有1項(xiàng) 第2個(gè)有2項(xiàng) 第3個(gè)有3項(xiàng) 命題點(diǎn)2與不等式有關(guān)的推理 解析第一個(gè)式子是n 1的情況 此時(shí)a 11 1 第二個(gè)式子是n 2的情況 此時(shí)a 22 4 第三個(gè)式子是n 3的情況 此時(shí)a 33 27 歸納可知a nn nn 解析答案 命題點(diǎn)3與數(shù)列有關(guān)的推理 正方形數(shù)N n 4 n2 六邊形數(shù)N n 6 2n2 n 可以推測(cè)N n k 的表達(dá)式 由此計(jì)算N 10 24 解析答案 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推測(cè) 答案1000 命題點(diǎn)4與圖形變化有關(guān)的推理 例4某種平面分形圖如下圖所示 一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段 長度均為1 兩兩夾角為120 二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段 且這兩條線段與原線段兩夾角為120 依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖 1 n級(jí)分形圖中共有 條線段 解析分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段 由題圖知 一級(jí)分形圖中有3 3 2 3 條線段 二級(jí)分形圖中有9 3 22 3 條線段 三級(jí)分形圖中有21 3 23 3 條線段 按此規(guī)律n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an 3 2n 3 n N 3 2n 3 解析答案 2 n級(jí)分形圖中所有線段長度之和為 解析答案 思維升華 歸納推理問題的常見類型及解題策略 1 與數(shù)字有關(guān)的等式的推理 觀察數(shù)字特點(diǎn) 找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解 2 與不等式有關(guān)的推理 觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn) 注意是縱向看 找到規(guī)律后可解 3 與數(shù)列有關(guān)的推理 通常是先求出幾個(gè)特殊現(xiàn)象 采用不完全歸納法 找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系 列出即可 4 與圖形變化有關(guān)的推理 合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論 并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?思維升華 1 觀察下圖 可推斷出 x 處應(yīng)該填的數(shù)字是 解析由前兩個(gè)圖形發(fā)現(xiàn) 中間數(shù)等于四周四個(gè)數(shù)的平方和 x 處應(yīng)填的數(shù)字是32 52 72 102 183 183 解析答案 跟蹤訓(xùn)練1 2 如圖 有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣 它的中心是1個(gè)點(diǎn) 算第1層 第2層每邊有2個(gè)點(diǎn) 第3層每邊有3個(gè)點(diǎn) 依此類推 如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn) 那么它的層數(shù)為 解析由題意知 第1層的點(diǎn)數(shù)為1 第2層的點(diǎn)數(shù)為6 第3層的點(diǎn)數(shù)為2 6 第4層的點(diǎn)數(shù)為3 6 第5層的點(diǎn)數(shù)為4 6 第n n 2 n N 層的點(diǎn)數(shù)為6 n 1 設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n n 2 n N 層 由題意得3n2 3n 1 169 即 n 7 n 8 0 所以n 8 故共有8層 8 解析答案 例5已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列 若am a an b n m 1 m n N 則am n 類比等差數(shù)列 an 的上述結(jié)論 對(duì)于等比數(shù)列 bn bn 0 n N 若bm c bn d n m 2 m n N 則可以得到bm n 解析設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 數(shù)列 bn 的公比為q 題型二類比推理 解析答案 思維升華 1 進(jìn)行類比推理 應(yīng)從具體問題出發(fā) 通過觀察 分析 聯(lián)想進(jìn)行類比 提出猜想 其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵 2 類比推理常見的情形有平面與空間類比 低維的與高維的類比 等差數(shù)列與等比數(shù)列類比 數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比 圓錐曲線間的類比等 思維升華 解析設(shè)ha hb hc hd分別是三棱錐A BCD四個(gè)面上的高 P為三棱錐A BCD內(nèi)任一點(diǎn) P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa Pb Pc Pd 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn 大前提是等比數(shù)列的定義 這里省略了 題型三演繹推理 解析答案 2 Sn 1 4an 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 對(duì)于任意正整數(shù)n 都有Sn 1 4an 結(jié)論 第 2 問的大前提是第 1 問的結(jié)論以及題中的已知條件 解析答案 思維升華 演繹推理是由一般到特殊的推理 常用的一般模式為三段論 演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系 解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提 一般地 若大前提不明確時(shí) 可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提 思維升華 某國家流傳這樣的一個(gè)政治笑話 鵝吃白菜 參議員先生也吃白菜 所以參議員先生是鵝 結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的 是因?yàn)?大前提錯(cuò)誤 小前提錯(cuò)誤 推理形式錯(cuò)誤 非以上錯(cuò)誤 解析因?yàn)榇笄疤岬男问?鵝吃白菜 不是全稱命題 大前提本身正確 小前提 參議員先生也吃白菜 本身也正確 但不是大前提下的特殊情況 鵝與人不能類比 所以不符合三段論推理形式 所以推理形式錯(cuò)誤 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 高頻小考點(diǎn) 典例1 1 傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù) 他們研究過如圖所示的三角形數(shù) 將三角形數(shù)1 3 6 10 記為數(shù)列 an 將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列 bn 可以推測(cè) b2014是數(shù)列 an 的第 項(xiàng) b2k 1 用k表示 高頻小考點(diǎn) 10 高考中的合情推理問題 解析答案 解析答案 答案 5035 2 設(shè)S T是R的兩個(gè)非空子集 如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y f x 滿足 1 T f x x S 2 對(duì)任意x1 x2 S 當(dāng)x1 x2時(shí) 恒有f x1 f x2 那么稱這兩個(gè)集合 保序同構(gòu) 以下集合對(duì)不是 保序同構(gòu) 的是 A N B N A x 1 x 3 B x x 8或0 x 10 A x 0 x 1 B R A Z B Q 解析答案 溫馨提醒 返回 解析對(duì)于 取f x x 1 x N 所以A N B N是 保序同構(gòu) 的 故 是 不符合 不是保序同構(gòu) 答案 溫馨提醒 1 解決歸納推理問題 常因條件不足 了解不全面而致誤 應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進(jìn)行歸納 2 解決類比問題 應(yīng)先弄清所給問題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由 再去類比另一類問題 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 合情推理的過程概括為 2 演繹推理是從一般的原理出發(fā) 推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段論 數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行 方法與技巧 1 合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論 發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明 2 演繹推理是由一般到特殊的證明 它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題 注意推理過程的嚴(yán)密性 書寫格式的規(guī)范性 3 合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象 要有猜想或拓展依據(jù) 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 下列推理是歸納推理的是 A B為定點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)P滿足PA PB 2a AB 則P點(diǎn)的軌跡為橢圓 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析從S1 S2 S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 是從特殊到一般的推理 所以 是歸納推理 解析答案 2 正弦函數(shù)是奇函數(shù) f x sin x2 1 是正弦函數(shù) 因此f x sin x2 1 是奇函數(shù) 以上推理 結(jié)論正確 大前提不正確 小前提不正確 全不正確 解析f x sin x2 1 不是正弦函數(shù) 所以小前提錯(cuò)誤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 平面內(nèi)有n條直線 最多可將平面分成f n 個(gè)區(qū)域 則f n 的表達(dá)式為f n 解析1條直線將平面分成1 1個(gè)區(qū)域 2條直線最多可將平面分成1 1 2 4個(gè)區(qū)域 3條直線最多可將平面分成1 1 2 3 7個(gè)區(qū)域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 給出下列三個(gè)類比結(jié)論 ab n anbn與 a b n類比 則有 a b n an bn loga xy logax logay與sin 類比 則有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2與 a b 2類比 則有 a b 2 a2 2a b b2 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 解析 a b n an bn n 1 a b 0 故 錯(cuò)誤 sin sin sin 不恒成立 由向量的運(yùn)算公式知 正確 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若 cn 是等比數(shù)列 即 dn 為等比數(shù)列 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 觀察下列不等式 照此規(guī)律 第五個(gè)不等式為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析觀察每行不等式的特點(diǎn) 每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端值的分母相等 且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析設(shè)P1 x1 y1 P2 x2 y2 因?yàn)镻0 x0 y0 在這兩條切線上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30 b2b29 b11b20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 并注意到在這三個(gè)特殊式子中 自變量之和均等于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 歸納猜想得 當(dāng)x1 x2 1時(shí) 解析答案 證明 設(shè)x1 x2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解如圖所示 由射影定理得AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又BC2 AB2 AC2 猜想 四面體A BCD中 AB AC AD兩兩垂直 AE 平面BCD 解析答案 證明 如圖 連結(jié)BE并延長交CD于F 連結(jié)AF AB AC AB AD AC AD D AC 平面ACD AD 平面ACD AB 平面ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 AF 平面ACD AB AF 11 已知 正方形的對(duì)角線相等 矩形的對(duì)角線相等 正方形是矩形 根據(jù) 三段論 推理出一個(gè)結(jié)論 則這個(gè)結(jié)論是 填序號(hào) 解析根據(jù)演繹推理的特點(diǎn) 正方形與矩形是特殊與一般的關(guān)系 所以結(jié)論是正方形的對(duì)角線相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 如圖 我們知道 圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形 又圓環(huán)的面積S R2 r2 R r 2 所以 圓環(huán)的面積等于以線段AB R r為寬 以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2 為長的矩形面積 請(qǐng)你將上述想法拓展到空間 并解決下列問題 若將平面區(qū)域M x y x d 2 y2 r2 其中0 r d 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周 則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析平面區(qū)域M的面積為 r2 由類比知識(shí)可知 平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為實(shí)心的車輪內(nèi)胎 旋轉(zhuǎn)體的體積等于以圓 面積為 r2 為底 以O(shè)為圓心 d為半徑的圓的周長2 d為高的圓柱的體積 所以旋轉(zhuǎn)體的體積V r2 2 d 2 2r2d 答案2 2r2d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 如圖 1 若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM ON上分別有點(diǎn)M1 M2與點(diǎn)N1 N2 則三角形面積之比 如圖 2 若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP OQ和OR上分別有點(diǎn)P1 P2 點(diǎn)Q1 Q2和點(diǎn)R1 R2 則類似的結(jié)論為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故體積之比為 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn) 以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù) sin213 cos217 sin13 cos17 sin215 cos215 sin15 cos15 sin218 cos212 sin18 cos12 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè) 求出這個(gè)常數(shù) 解 1 選擇 式 計(jì)算如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 根據(jù) 1 的計(jì)算結(jié)果 將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式 并證明你的結(jié)論 解三角恒等式為 證明如下 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin2 cos30 cos sin30 sin 2 sin cos30 cos sin30 sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 對(duì)于三次函數(shù)f x ax3 bx2 cx d a 0 給出定義 設(shè)f x 是函數(shù)y f x 的導(dǎo)數(shù) f x 是f x 的導(dǎo)數(shù) 若方程f x 0有實(shí)數(shù)解x0 則稱點(diǎn) x0 f x0 為函數(shù)y f x 的 拐點(diǎn) 某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn) 任何一個(gè)三次函數(shù)都有 拐點(diǎn) 任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心 且 拐點(diǎn) 就是對(duì)稱中心 若請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求函數(shù)f x 的對(duì)稱中心 解f x x2 x 3 f x 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回