高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件.ppt

第七章立體幾何與空間向量 第7節(jié)立體幾何中的向量方法 1 理解直線的方向向量與平面的法向量 2 能用向量語(yǔ)言表述直線與直線 直線與平面 平面與平面的垂直 平行關(guān)系 3 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理 包括三垂線定理 4 能用向量方法解決直線與直線 直線與平面 平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題 了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用 5 能用向量法解決空間的距離問(wèn)題 要點(diǎn)梳理 1 用向量證明空間中的平行或垂直 1 直線的方向向量 直線的方向向量就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量 或共線 的向量 顯然一條直線的方向向量有 個(gè) 2 若直線l 取直線l的方向向量a 則向量a叫做平面 的法向量 顯然一個(gè)平面的法向量也有 個(gè) 它們是 向量 平行 無(wú)數(shù) 無(wú)數(shù) 共線 質(zhì)疑探究 在求平面法向量時(shí) 所列方程組中有三個(gè)變量 但只有兩個(gè)方程 如何處理 提示 給其中某一變量恰當(dāng)賦值 求出該方程組的一組非零解 即可以作為平面法向量的坐標(biāo) 3 用向量證明空間中的平行關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 或l1與l2重合 v1 v2 設(shè)直線l的方向向量為v 與平面 共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2 則l 或l 存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x y使v xv1 yv2 設(shè)直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l 或l v u 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1 u2 則 u1 u2 4 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 設(shè)直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l v u 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1和u2 則 u1 u2 u1 u2 0 2 用向量計(jì)算空間角和距離空間向量與空間角的關(guān)系 1 設(shè)異面直線l1 l2的方向向量分別為m1 m2 則l1與l2所成的角 滿足cos cos m1 m2 2 設(shè)直線l的方向向量和平面 的法向量分別為m n 則直線l與平面 所成角 滿足sin cos m1 m2 b 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 c 點(diǎn)面距的求法 基礎(chǔ)自測(cè) 1 2015 西安模擬 若直線l的方向向量為a 1 1 2 平面 的法向量為u 2 2 4 則 A l B l C l D l與 斜交 解析 因?yàn)橹本€l的方向向量a 1 1 2 與平面 的法向量u 2 2 4 共線 則說(shuō)明了直線與平面垂直 答案 B 2 設(shè)平面 的法向量為 1 2 2 平面 的法向量為 2 4 k 若 則k等于 A 2B 4C 4D 2 3 如圖所示 在正方體ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中點(diǎn) N是A1B1的中點(diǎn) 則直線NO AM的位置關(guān)系是 A 平行B 相交C 異面垂直D 異面不垂直 答案 C 4 在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC AA1 1 則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為 5 在四面體P ABC中 PA PB PC兩兩垂直 設(shè)PA PB PC a 則點(diǎn)P到平面ABC的距離為 解析 根據(jù)題意 可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P xyz 則P 0 0 0 A a 0 0 B 0 a 0 C 0 0 a 過(guò)點(diǎn)P作PH 平面ABC 交平面ABC于點(diǎn)H 則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離 典例透析 考向一用向量證明垂直或求異面直線所成的角例1 2015 湖北省八校聯(lián)考 如圖 直三棱柱ABC A B C 的側(cè)棱長(zhǎng)為3 AB BC 且AB BC 3 點(diǎn)E F分別是棱AB BC上的動(dòng)點(diǎn) 且AE BF 1 求證 無(wú)論E在何處 總有B C C E 2 當(dāng)三棱錐B EB F的體積取得最大值時(shí) 求異面直線A F與AC所成角的余弦值 思路點(diǎn)撥 1 借助于線面關(guān)系證明B C 面ABC 從而可證B C C E 當(dāng)VB EB F為最大值確定E F 的位置 解三角形求角的余弦值 2 以B為原點(diǎn)建系 用向量求解 法一 1 證明 由題意知 四邊形BB C C是正方形 連接AC BC 則B C BC 又AB BC BB AB AB 平面BB C C B C AB B C 平面ABC 又C E 平面ABC B C C E 活學(xué)活用1 2015 鄭州第一次質(zhì)檢 如圖 正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直 已知BC 2AD 4 ABC 60 BF AC 1 求證 AC 平面ABF 2 求異面直線BE與AC所成的角的余弦值 1 證明 因?yàn)槠矫鍭DEF 平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD AF AD AF 平面ADEF 所以AF 平面ABCD 故AF AC 又BF AC AF BF F 所以AC 平面ABF 2 解 由 1 得AF AB AC兩兩垂直 則以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 思路點(diǎn)撥立體幾何題目一般有兩種思路 傳統(tǒng)法和向量法 傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義 定理 通過(guò)邏輯推理證明來(lái)完成 1 要證明線面平行 根據(jù)判定定理可通過(guò)證明線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn) 2 求二面角要先找到或作出二面角的平面角 再通過(guò)解三角形求解 向量法則是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系 求出相關(guān)的坐標(biāo) 利用向量的計(jì)算完成證明或求解 直線一般求其方向向量 平面一般求其法向量 1 只要說(shuō)明直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的法向量垂直即可 2 二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角 圖 1 圖 2 拓展提高本題法一采用了傳統(tǒng)法 在第二問(wèn)中要作出C BM D的平面角 這里采用了棱BM的垂面 面CGH 法 作 證 算于一體 二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn) 不如建系用向量方法求簡(jiǎn)單 如方法二 活學(xué)活用2 2014 四川高考 三棱錐A BCD及其側(cè)視圖 俯視圖如圖所示 設(shè)M N分別為線段AD AB的中點(diǎn) P為線段BC上的點(diǎn) 且MN NP 1 證明 P是線段BC的中點(diǎn) 2 求二面角A NP M的余弦值 1 證明 如圖所示 取BD的中點(diǎn)O 連接AO CO 由側(cè)視圖及俯視圖知 ABD BCD為正三角形 所以AO BD OC BD 因?yàn)锳O OC 平面AOC 且AO OC O 所以BD 平面AOC 考向三用向量求線面角例3 2014 福建高考 在平面四邊形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 將 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如圖所示 1 求證 AB CD 2 若M為AD中點(diǎn) 求直線AD與平面MBC所成角的正弦值 思路點(diǎn)撥 1 轉(zhuǎn)化為證明AB 平面BCD 2 利用坐標(biāo)法 1 證明 平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD AB 平面ABD AB BD AB 平面BCD 又CD 平面BCD AB CD 2 解 過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE BD 活學(xué)活用3 2015 東北三校模擬 如圖 四棱錐P ABCD中 PD 平面ABCD PD DC 2AD AD DC BCD 45 1 設(shè)PD中點(diǎn)為M 求證 AM 平面PBC 2 求PA與平面PBC所成角的正弦值 活學(xué)活用4 2015 天津南開(kāi)調(diào)研 在直三棱柱中 AA1 AB BC 3 AC 2 D是AC的中點(diǎn) 1 求證 B1C 平面A1BD 2 求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離 規(guī)范答題7向量法求空間角典例 本小題滿分12分 如圖 已知在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 1 直線BD與平面AA1B1B所成的角為30 AE垂直BD于點(diǎn)E F為A1B1的中點(diǎn) 1 求異面直線AE與BF所成角的余弦值 2 求平面BDF與平面AA1B所成二面角 銳角 的余弦值 審題視角 1 研究的幾何體為長(zhǎng)方體 AB 2 AA1 1 2 所求的是異面直線所成的角和二面角 3 可考慮用空間向量法求解 滿分展示 解 1 以A為坐標(biāo)原點(diǎn) 以AB AD AA1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 2分 答題模板 利用向量求空間角的步驟 第一步 建立空間直角坐標(biāo)系 第二步 確定點(diǎn)的坐標(biāo) 第三步 求向量 直線的方向向量 平面的法向量 坐標(biāo) 第四步 計(jì)算向量的夾角 或函數(shù)值 第五步 將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角 第六步 反思回顧 查看關(guān)鍵點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范 提醒 1 利用向量求角是高考的熱點(diǎn) 幾乎每年必考 主要是突出向量的工具性作用 2 本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸 導(dǎo)致建系不規(guī)范 3 將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí) 要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化 否則易錯(cuò) 思維升華 方法與技巧 1 用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題有兩種基本思路 一種是用向量表示幾何量 利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷 另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量 共分三步 1 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 用空間向量 或坐標(biāo) 表示問(wèn)題中所涉及的點(diǎn) 線 面 把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題 2 通過(guò)向量運(yùn)算 研究點(diǎn) 線 面之間的位置關(guān)系 3 根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題 2 利用向量求角 各類(lèi)角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來(lái)運(yùn)算 1 求兩異面直線a b的夾角 須求出它們的方向向量a b的夾角 則cos cos a b 2 求直線l與平面 所成的角 可先求出平面 的法向量n與直線l的方向向量a的夾角 則sin cos n a 3 求二面角 l 的大小 可先求出兩個(gè)平面的法向量n1 n2所成的角 則 n1 n2 或 n1 n2 3 求點(diǎn)到平面的距離 若用向量知識(shí) 則離不開(kāi)以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段 失誤與防范 1 用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題 仍然離不開(kāi)立體幾何中的定理 如要證明線面平行 只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行 即化歸為證明線線平行 用向量方法證明直線a b 只需證明向量a b R 即可 若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行 仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外 2 利用向量求角 一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角 因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義 范圍不同 3 求點(diǎn)到平面的距離 有時(shí)利用等積法求解可能更方便 4 求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角