高考數學一輪總復習 第六章 第3節(jié) 一元二次不等式及其解法課件.ppt

第六章不等式 第3節(jié)一元二次不等式及其解法 1 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數 一元二次方程的關系 3 會解一元二次不等式 對給定的一元二次不等式 會設計求解的程度框圖 要點梳理 1 一元二次不等式及標準形式只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是2的整式不等式叫做一元二次不等式 其標準形式為ax2 bx c 0 ax2 bx c0 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解過程用程序框圖表示為 3 一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表 質疑探究 以上解法是按照a 0進行的 若a 0情況應該如何處理 提示 若a 0 則可以先進行轉化 使x2的系數為正 但是一定要注意在轉化過程中不等號的變化 解析 原不等式化為 x 1 x 2 0 解得 2 x 1 故原不等式的解集為 2 1 答案 C 答案 C 如圖由 穿針引線法 可解得 0 x 1或x 1 答案 A 解析 由x2 x 12 0得 x 3 x 4 0 x 4或x 3 答案 4 3 5 已知不等式x2 2x k2 1 0對一切實數x恒成立 則實數k的取值范圍為 拓展提高 1 分式不等式可轉化為整式不等式求解 2 在解含參數的不等式時 應注意分類討論 其分類標準一般有三種 按二次項系數分為a 0和a 0 有時需分a 0與a0 0 0時 按兩根的大小進行分類 活學活用1 1 不等式ax2 bx c 0的解集為 x 20的解集為 解析 令f x ax2 bx c 則f x ax2 bx c 結合圖像 可得ax2 bx c 0的解集為 x 3 x 2 答案 x 3 x 2 2 解關于x的不等式ax2 2 2x ax a R 考向二與一元二次不等式有關的恒成立問題例2 1 若不等式mx2 2x 1 0恒成立 則m的取值范圍是 2 若關于x的不等式ax2 x 2a 0的解集為 則實數a的取值范圍是 思路點撥 1 首先對不等式中二次項系數m討論確定不等式類型然后求解 2 題中條件等價于 關于x的不等式ax2 x 2a 0恒成立 活學活用2 1 若關于x的不等式x2 ax a 0的解集為R 則實數a的取值范圍是 2 若關于x的不等式x2 ax a 3的解集不是空集 則實數a的取值范圍是 解析 1 由題意知 a2 4a 0 解得 4 a 0 因此實數a的取值范圍為 4 a 0 2 由題意知關于x的一元二次方程x2 ax a 3 0有解 因此有 a 2 4 3 a a2 4a 12 0 所以a 6或a 2 因此實數a的取值范圍為 a 6或a 2 答案 1 4 0 2 6 2 考向三一元二次不等式的實際應用例3某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元 輛 出廠價為12萬元 輛 年銷售量為10000輛 本年度為適應市場需求 計劃提高產品質量 適度增加投入成本 若每輛車投入成本增加的比例為x 0 x 1 則出廠價相應地提高比例為0 75x 同時預計年銷售量增加的比例為0 6x 已知年利潤 出廠價 投入成本 年銷售量 1 寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式 2 為使本年度的年利潤比上年度有所增加 則投入成本增加的比例x應在什么范圍內 思路點撥 1 依據 年利潤 出廠價 投入成本 年銷售量 寫出 2 年利潤有所增加 即y 12 10 10000 0 解此不等式即可得x的范圍 解 1 由題意得y 12 1 0 75x 10 1 x 10000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 拓展提高不等式應用題常以函數 數列為背景出現(xiàn) 多是解決現(xiàn)實生活 生產中的最優(yōu)化問題 在解題中主要涉及到不等式的解法等問題 構造數學模型是解不等式應用題的關鍵 活學活用3某農貿公司按每擔200元收購某農產品 并每100元納稅10元 又稱征稅率為10個百分點 計劃可收購a萬擔 政府為了鼓勵收購公司多收購這種農產品 決定將征稅率降低x x 0 個百分點 預測收購量可增加2x個百分點 1 寫出降稅后稅收y 萬元 與x的函數關系式 2 要使此項稅收在稅率調節(jié)后 不少于原計劃稅收的83 2 試確定x的取值范圍 思想方法13數形結合思想在不等式問題中的應用典例若x 0時 均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 則a 審題視角當a 1時 a 1 x 10恒成立 而當a 1時 f x a 1 x 1與g x x2 ax 1均過點 0 1 故可用數形結合思想解題 解析 1 當a 1時 對x 0 恒有 a 1 x 10 恒有x2 ax 1 0 由于二次函數y x2 ax 1的圖像開口向上 式不恒成立 即a 1時 原不等式不會恒成立 2 當a 1時 令f x a 1 x 1 g x x2 ax 1 兩函數圖像都過定點P 0 1 方法點睛 1 對于常規(guī)方法不易解決的不等式問題 可構造函數 利用數形結合的方法解決 2 解決本題的關鍵點是 找到參數a分類討論的標準 將不等式恒成立問題轉化為兩函數圖像間的關系問題 借助函數圖像特征 找到兩函數零點的關系 答案 D 思維升華 方法與技巧 1 三個二次 的關系是解一元二次不等式的理論基礎 一般可把a0時的情形 2 f x 0的解集即為函數y f x 的圖像在x軸上方的點的橫坐標的集合 充分利用數形結合思想 3 簡單的分式不等式可以等價轉化 利用一元二次不等式解法進行求解 失誤與防范 1 對于不等式ax2 bx c 0 求解時不要忘記討論a 0時的情形 2 當 0 a 0 的解集為R還是 要注意區(qū)別 3 含參數的不等式要注意選好分類標準 避免盲目討論