2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理 新人教版.ppt

第6節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù) 考綱展示 知識(shí)梳理自測(cè) 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 易混易錯(cuò)辨析 知識(shí)梳理自測(cè)把散落的知識(shí)連起來(lái) 教材導(dǎo)讀 1 不等式ax2 bx c 0恒成立的條件是什么 提示 a b 0 c 0或a 0且 b2 4ac0時(shí) 不論 取何值 y的值只能是正的 因此冪函數(shù)的圖象不能出現(xiàn)在第四象限 3 兩個(gè)冪函數(shù)最多有幾個(gè)交點(diǎn) 提示 兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)交點(diǎn) 如y x3與y x 知識(shí)梳理 1 二次函數(shù) 1 定義形如的函數(shù)叫做二次函數(shù) 2 表示形式 一般式 y 頂點(diǎn)式 y 其中為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo) 零點(diǎn)式 y 其中x1 x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) y ax2 bx c a 0 ax2 bx c a 0 a x h 2 k a 0 h k a x x1 x x2 a 0 2 冪函數(shù) 1 冪函數(shù)的概念形如y x R 的函數(shù)稱為冪函數(shù) 其中x是 為 2 常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 自變量 常數(shù) 重要結(jié)論 1 二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的判斷方法 1 對(duì)于二次函數(shù)y f x 對(duì)定義域內(nèi)所有x 都有f x1 f x2 那么函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于x 對(duì)稱 2 對(duì)于二次函數(shù)y f x 對(duì)定義域內(nèi)所有x 都有f a x f a x 成立的充要條件是函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱 a為常數(shù) 2 冪函數(shù)y x 在第一象限的圖象特征 1 1時(shí) 圖象過(guò) 0 0 1 1 下凸遞增 例如y x3 2 0 1時(shí) 圖象過(guò) 0 0 1 1 上凸遞增 例如y 3 0 1 時(shí)的圖象是拋物線型 1時(shí)的圖象是豎直拋物線型 0 1時(shí)的圖象是橫臥拋物線型 0時(shí)的圖象是雙曲線型 雙基自測(cè) 1 冪函數(shù)y f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 4 2 則冪函數(shù)y f x 的圖象是 C D 2 下列說(shuō)法中 正確的是 A 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 1 和點(diǎn) 0 0 B 當(dāng) 0時(shí) 函數(shù)y x 的圖象是一條直線 C 若冪函數(shù)y x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 則y x 在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大 D 冪函數(shù)y x 當(dāng) 0時(shí) 在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小 解析 對(duì)于A 0時(shí) 冪函數(shù)y x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 1 和點(diǎn) 0 0 0時(shí) 冪函數(shù)y x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 1 所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤 對(duì)于B 0時(shí) 函數(shù)y x x 0 其圖象是一條直線去掉點(diǎn) 0 1 所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤 對(duì)于C 當(dāng) 1時(shí) y x 1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 y x 1在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大不成立 所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤 對(duì)于D 當(dāng) 0時(shí) 冪函數(shù)y x 在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小 所以選項(xiàng)D正確 故選D 3 若函數(shù)f x x2 2ax在區(qū)間 0 1 上是增函數(shù) 在區(qū)間 3 4 上是減函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 0 3 B 1 3 C 1 3 D 0 4 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x x2 2ax在區(qū)間 0 1 上是增函數(shù) 在區(qū)間 3 4 上是減函數(shù) 所以對(duì)稱軸x a應(yīng)在x 1的右側(cè) x 3的左側(cè)或與x 1 x 3重合 所以1 a 3 故選C C 4 已知函數(shù)f x x2 bx c的圖象的對(duì)稱軸為直線x 2 則 A f 0 f 1 f 3 B f 3 f 1 f 0 C f 3 f 1 f 0 D f 0 f 1 f 3 D 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x x2 bx c的圖象是開(kāi)口向下 對(duì)稱軸為直線x 2的拋物線 所以f 1 f 3 且f 0 f 1 故選D 5 已知冪函數(shù)f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2 則函數(shù)f x 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一 冪函數(shù)圖象與性質(zhì) 例1 1 若四個(gè)冪函數(shù)y xa y xb y xc y xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖 則a b c d的大小關(guān)系是 A d c b a B a b c d C d c a b D a b d c 解析 1 在第一象限內(nèi) x 1的右側(cè)部分的圖象 圖象由下至上 冪指數(shù)增大 所以a b c d 故選B 2 2017 湖北襄陽(yáng)質(zhì)檢 已知冪函數(shù)f x xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 4 則下列判斷中不正確的是 A 函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 1 B 當(dāng)x 1 2 時(shí) 函數(shù)f x 的值域是 0 4 C 函數(shù)滿足f x f x 0 D 函數(shù)f x 的單調(diào)減區(qū)間為 0 解析 2 因?yàn)閮绾瘮?shù)y xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 4 所以4 2a 即22 2a 解得a 2 故函數(shù)的解析式為y x2 故函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 1 A正確 當(dāng)x 1 2 時(shí) 函數(shù)f x 的值域是 0 4 B正確 由于f x x 2 x2 函數(shù)不滿足f x f x 0 C錯(cuò) 函數(shù)f x 的單調(diào)減區(qū)間為 0 正確 故選C 反思?xì)w納 1 求解與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題 應(yīng)根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象特征 結(jié)合其奇偶性 單調(diào)性等性質(zhì)研究 2 利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧 結(jié)合冪值的特點(diǎn)利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化成同指數(shù)冪 選擇適當(dāng)?shù)膬绾瘮?shù) 借助其單調(diào)性進(jìn)行比較 答案 1 A 考點(diǎn)二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考查角度1 二次函數(shù)圖象的識(shí)別 例2 若一次函數(shù)y ax b的圖象經(jīng)過(guò)第二 三 四象限 則二次函數(shù)y ax2 bx的圖象只可能是 解析 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y ax b的圖象經(jīng)過(guò)第二 三 四象限 所以a 0 b 0 所以二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下 對(duì)稱軸方程x 0 只有選項(xiàng)C適合 故選C 反思?xì)w納研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從 三點(diǎn)一線一開(kāi)口 三個(gè)方面分析 三點(diǎn) 中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn) 另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn) 常取與x軸的交點(diǎn) 一線 是指對(duì)稱軸這條直線 一開(kāi)口 是指拋物線的開(kāi)口方向 考查角度2 二次函數(shù)圖象的應(yīng)用 例3 導(dǎo)學(xué)號(hào)38486033 2016 吉林松原模擬 設(shè)函數(shù)f x x2 x a a 0 已知f m 0 D f m 1 0 解析 因?yàn)閒 x 的對(duì)稱軸為x f 0 a 0 所以f x 的大致圖象如圖所示 由f m 0 所以f m 1 f 0 0 故選C 反思?xì)w納求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題 可借助二次函數(shù)的圖象特征分析不等式成立的條件 考查角度3 二次函數(shù)的值域 最值 例4 當(dāng)a 時(shí) 函數(shù)f x x2 2ax a的定義域?yàn)?1 1 值域?yàn)?2 2 答案 1 反思?xì)w納解決 含參數(shù)的二次函數(shù)的值域與最值 問(wèn)題一般先用配方法化為y a x h 2 k a 0 的形式 根據(jù)對(duì)稱軸方程x h和所給區(qū)間并結(jié)合圖象求解 1 對(duì)稱軸和區(qū)間都固定時(shí) 根據(jù)單調(diào)性和圖象直接求解 2 若區(qū)間固定 對(duì)稱軸變動(dòng) 這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在區(qū)間中 若對(duì)稱軸固定 區(qū)間變動(dòng) 這時(shí)要討論區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系 討論的目的是為了明確對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系 再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值或值域 以y ax2 bx c a 0 在區(qū)間 m n 上的最值為例 有如下方法和結(jié)論 考查角度4 二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題 例5 導(dǎo)學(xué)號(hào)38486035已知關(guān)于x的方程 m 3 x2 4mx 2m 1 0的兩根異號(hào) 且負(fù)根的絕對(duì)值比正根大 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 答案 m 3 m 0 反思?xì)w納研究二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題 應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象與二次方程根的關(guān)系數(shù)形結(jié)合求解 具體方法如下 只討論a 0的情況 a0的情況 考查角度5 二次函數(shù)解析式的求法 例6 導(dǎo)學(xué)號(hào)18702065已知二次函數(shù)f x 的二次項(xiàng)系數(shù)為a a 0 且方程f x 2x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為1和3 若方程f x 6a 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 則f x 的解析式為 解析 因?yàn)榉匠蘤 x 2x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為1和3 所以設(shè)f x 2x a x 1 x 3 則f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0 得ax2 2 4a x 9a 0 因?yàn)榉匠蘤 x 6a 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 整理 得5a2 4a 1 0 解得a 1或a 舍去 故f x 的解析式為f x x2 6x 3 答案 f x x2 6x 3 反思?xì)w納求二次函數(shù)解析式常用方法 1 當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí) 通常設(shè)所求二次函數(shù)為一般式y(tǒng) ax2 bx c a b c為常數(shù) a 0 然后列出三元一次方程組求解 2 當(dāng)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大 小 值 則設(shè)所求二次函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h 2 k 其頂點(diǎn)是 h k a 0 3 當(dāng)已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 x1 0 x2 0 則設(shè)所求二次函數(shù)為交點(diǎn)式y(tǒng) a x x1 x x2 a 0 考查角度6 二次函數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題 例7 已知二次函數(shù)f x ax2 bx 1 a b R x R 1 若函數(shù)f x 的最小值為f 1 0 求f x 的解析式 并寫出單調(diào)區(qū)間 2 在 1 的條件下 f x x k在區(qū)間 3 1 上恒成立 試求k的取值范圍 解 2 由題意知 x2 2x 1 x k在區(qū)間 3 1 上恒成立 即k x2 x 1在區(qū)間 3 1 上恒成立 令g x x2 x 1 x 3 1 g x 在區(qū)間 3 1 上是減函數(shù) 則g x min g 1 1 所以k 1 故k的取值范圍是 1 反思?xì)w納 1 含參數(shù)的二次不等式給定區(qū)間恒成立問(wèn)題 若能分離參數(shù) 則分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題 不能分離參數(shù)時(shí) 則直接轉(zhuǎn)化為與函數(shù)最值有關(guān)的不等式 2 二次函數(shù)在R上的恒成立問(wèn)題 可結(jié)合其圖象轉(zhuǎn)化為與判別式的符號(hào)有關(guān)的不等式 反思?xì)w納求解與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題 應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)綜合分析解答 備選例題 例1 2017 棗莊一模 已知函數(shù)f x 是定義在R上的偶函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x 如果函數(shù)g x f x m m R 恰有4個(gè)零點(diǎn) 則m的取值范圍是 解析 函數(shù)g x f x m m R 恰有4個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)y f x 的圖象與直線y m恰有4個(gè)交點(diǎn) 作函數(shù)y f x 與y m的圖象如圖所示 則m的取值范圍是 1 0 答案 1 0 例2 2015 湖北卷 a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f x x2 ax 在區(qū)間 0 1 上的最大值記為g a 當(dāng)a 時(shí) g a 的值最小 易混易錯(cuò)辨析用心練就一雙慧眼 忽視對(duì) 軸動(dòng)區(qū)間定 討論致誤 典例 若f x 4x2 4ax 4a a2在區(qū)間 0 1 內(nèi)有最大值 5 則a