高考數(shù)學高考大題專項突破6 高考中的概率與統(tǒng)計 理 新人教A版

高考大題專項突破六高考大題專項突破六高考中的概率與統(tǒng)計高考中的概率與統(tǒng)計-2-一、考查范圍全面概率與統(tǒng)計解答題對知識點的考查較為全面,近五年的試題考點覆蓋了概率與統(tǒng)計必修與選修的各個章節(jié)內容,考查了抽樣方法,統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體、回歸分析、相關系數(shù)的計算、獨立性檢驗、古典概型、條件概率、相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布等基礎知識和基本方法.-3-二、考查方向分散從近五年的高考試題來看,對概率與統(tǒng)計的考查主要有四個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,其中回歸分析、相關系數(shù)的計算、獨立性檢驗、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征是考查重點,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;二是統(tǒng)計與概率分布的綜合,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、頻率、概率以及函數(shù)知識、概率分布列等知識交匯考查;三是期望與方差的綜合應用,常與離散型隨機變量、概率、相互獨立事件、二項分布等知識交匯考查;四是以生活中的實際問題為背景將正態(tài)分布與隨機變量的期望和方差相結合綜合考查.三、考查難度穩(wěn)定高考對概率與統(tǒng)計解答題的考查難度穩(wěn)定,多年來都控制在中等或中等偏上一點的程度,解答題一般位于試卷的第18題或第19題的位置.-4-題型一題型二題型三題型四題型一相關關系的判斷及回歸分析例1下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼1-7分別對應年份2008-2014.-5-題型一題型二題型三題型四(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數(shù)加以說明;(2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預測2018年我國生活垃圾無害化處理量.附注:-6-題型一題型二題型三題型四-7-題型一題型二題型三題型四-8-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得在求兩變量相關系數(shù)和兩變量的回歸方程時,由于 的公式組成比較復雜,求它們的值計算量比較大,為了計算準確,可將其分成幾個部分分別計算,這樣等同于分散難點,各個攻破,提高了計算的準確度.-9-題型一題型二題型三題型四對點訓練對點訓練1(2017河北石家莊二中模擬,理18)下表是某校高三一次月考5個班級的數(shù)學、物理的平均成績:(1)一般來說,學生的物理成績與數(shù)學成績具有線性相關關系,根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求兩個變量x,y的線性回歸方程(2)從以上5個班級中任選兩個參加某項活動,設選出的兩個班級中數(shù)學平均分在115分以上的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.-10-題型一題型二題型三題型四-11-題型一題型二題型三題型四-12-題型一題型二題型三題型四題型二獨立性檢驗的綜合問題例2(2017全國,理18)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:-13-題型一題型二題型三題型四-14-題型一題型二題型三題型四(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關;(3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).-15-題型一題型二題型三題型四解: (1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.620.66=0.409 2.-16-題型一題型二題型三題型四(2)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表由于15.7056.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中,箱產量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,-17-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得有關獨立性檢驗的問題的解題步驟:(1)作出22列聯(lián)表;(2)計算隨機變量K2的值;(3)查臨界值,檢驗作答.-18-題型一題型二題型三題型四對點訓練對點訓練2(2017遼寧沈陽三模,理18改編)“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的A城市和交通擁堵嚴重的B城市分別隨機調查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:-19-題型一題型二題型三題型四(1)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大小(不要求計算出具體值,給出結論即可);(2)若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,請根據(jù)此樣本完成此22列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關;(3)若從此樣本中的A城市和B城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認可的條件下,此人來自B城市的概率是多少?-20-題型一題型二題型三題型四解: (1)A城市評分的平均值小于B城市評分的平均值;A城市評分的方差大于B城市評分的方差.(2)22列聯(lián)表如下:所以沒有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關.-21-題型一題型二題型三題型四(3)設事件M:恰有一人認可,事件N:來自B城市的人認可,事件M包含的基本事件數(shù)為510+1510=200,事件MN包含的基本事件數(shù)為1510=150,-22-題型一題型二題型三題型四題型三離散型隨機變量的分布列(多維探究)類型一互斥事件、獨立事件的概率及分布列例3(2017天津,理16)從甲地到乙地要經過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.-23-題型一題型二題型三題型四-24-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得使用簡潔、準確的數(shù)學語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復.-25-題型一題型二題型三題型四對點訓練對點訓練3在某娛樂節(jié)目的一期比賽中,有6名歌手(1至6號)登臺演出,由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的歌手,各家媒體獨立地在投票器上選出3名出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機選出2名;媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號;媒體丙對6名歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至6號歌手中隨機地選出3名.(1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望.-26-題型一題型二題型三題型四-27-題型一題型二題型三題型四-28-題型一題型二題型三題型四類型二古典概型及分布列的綜合例4(2017山東,理18)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X).-29-題型一題型二題型三題型四-30-題型一題型二題型三題型四-31-題型一題型二題型三題型四對點訓練對點訓練4(2017北京,理17)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“ ”表示服藥者,“+”表示未服藥者.-32-題型一題型二題型三題型四解: (1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機選出一人,此人指標y的值小于60的概率為(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人,求此人指標y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人,記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結論)-33-題型一題型二題型三題型四-34-題型一題型二題型三題型四類型三二項分布例5(2017遼寧鞍山一模,理19)上周某校高三年級學生參加了數(shù)學測試,年級部組織任課教師對這次考試進行成績分析.現(xiàn)從中抽取80名學生的數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.-35-題型一題型二題型三題型四(1)估計這次月考數(shù)學成績的平均分和眾數(shù);(2)假設抽出學生的數(shù)學成績在90,100段各不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)字中任意抽取2個數(shù),有放回地抽取3次,記這3次抽取中恰好有兩名學生的數(shù)學成績的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.解: (1)平均分為0.0545+0.1555+0.265+0.375+0.2585+0.0595=72(分).眾數(shù)的估計值是75分.-36-題型一題型二題型三題型四-37-題型一題型二題型三題型四解題心得對于實際問題中的隨機變量X,如果能夠斷定它服從二項分布B(n,p),則其概率、均值與方差可直接利用公式 (k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟記二項分布的相關公式,可以避免煩瑣的運算過程,提高運算速度和準確度.-38-題型一題型二題型三題型四對點訓練對點訓練5某班將要舉行籃球投籃比賽,比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次,在A區(qū)每進一球得2分,不進球得0分;在B區(qū)每進一球得3分,不進球得0分,得分高的選手勝出.已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別是(1)如果該選手以在A,B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標準,問該選手應該選擇哪個區(qū)投籃?請說明理由;(2)求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率.-39-題型一題型二題型三題型四-40-題型一題型二題型三題型四-41-題型一題型二題型三題型四題型四樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合例6(2017全國,理19改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學期望;(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.-42-題型一題型二題型三題型四()試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;()下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:-43-題型一題型二題型三題型四-44-題型一題型二題型三題型四解: (1)抽取的一個零件的尺寸在(-3,+3)之內的概率為0.997 3,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的數(shù)學期望為E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生產狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天內抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的.-45-題型一題型二題型三題型四-46-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得解決正態(tài)分布有關的問題,在理解,2意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關于x=對稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖象的對稱性解決的.-47-題型一題型二題型三題型四對點訓練對點訓練6從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖:-48-題型一題型二題型三題型四(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)由直方圖可以認為,這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù) ,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品,記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產品件數(shù).利用的結果,求E(X).附: 12.2.若ZN(,2),則P(-Z+)=0.682 7,P(-2Z+2)=0.954 5.-49-題型一題型二題型三題型四解: (1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分別為 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 7.由知,一件產品的質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7,依題意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.2768.