學考傳奇（濟南專版）中考數(shù)學 第6章 圓 第1節(jié) 圓的有關(guān)性質(zhì)

知識點知識點1 1 圓及圓的有關(guān)概念圓及圓的有關(guān)概念1.1.圓：平面上到定點的距離等于圓：平面上到定點的距離等于_的所有點組成的圖形叫的所有點組成的圖形叫作圓作圓. .其中，定點稱為其中，定點稱為_，_稱為半徑稱為半徑. .定長定長圓心圓心定長定長2.2.與圓有關(guān)的概念與圓有關(guān)的概念: :（1 1）?。簣A上任意）?。簣A上任意_的部分叫作圓弧，簡稱弧的部分叫作圓弧，簡稱弧. .其中，大于半圓的弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧叫劣弧其中，大于半圓的弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧叫劣弧. .（2 2）弦：連接圓上任意兩點的）弦：連接圓上任意兩點的_叫作弦叫作弦. .（3 3）直徑：經(jīng)過）直徑：經(jīng)過_的弦叫作直徑的弦叫作直徑. .（4 4）弦心距：圓心到弦的距離叫作弦心距）弦心距：圓心到弦的距離叫作弦心距. .兩點間兩點間線段線段圓心圓心知識點知識點2 2 圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)1.1.圓的對稱性圓的對稱性: :（1 1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是_的直線，的直線，有有_條對稱軸條對稱軸. .（2 2）圓是中心對稱圖形，對稱中心為）圓是中心對稱圖形，對稱中心為_._.（3 3）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓圍繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓圍繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)_，都能與原來的圖形重合，都能與原來的圖形重合. .過圓心過圓心無數(shù)無數(shù)圓心圓心任意角度任意角度2.2.垂徑定理及推論垂徑定理及推論: :（1 1）垂徑定理：垂直于弦的直徑）垂徑定理：垂直于弦的直徑_這條弦，并且這條弦，并且_弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧. .（2 2）推論：平分弦的直徑）推論：平分弦的直徑_于弦，并且于弦，并且_弦所對的兩條?。幌宜鶎Φ膬蓷l??；平分平分平分平分垂直垂直平分平分弦的垂直平分線經(jīng)過弦的垂直平分線經(jīng)過_，并且平分弦所對，并且平分弦所對的兩條??；的兩條??；平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且_另一條弧另一條弧; ;圓的兩條平行弦所夾的弧圓的兩條平行弦所夾的弧_._.圓心圓心平分平分相等相等3.3.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角、弧、弦之間的關(guān)系: :（1 1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的?。┒ɡ恚涸谕瑘A或等圓中，相等的圓心角所對的弧_，所對的弦，所對的弦_._.（2 2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別量都分別_；弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù). .相等相等相等相等相等相等4.4.圓周角定理及推論圓周角定理及推論: :（1 1）定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角）定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角_，都等于這條弧所對的圓心角的，都等于這條弧所對的圓心角的_._.（2 2）推論：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的?。┩普摚涸谕瑘A或等圓中，相等的圓周角所對的弧_；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；9090的圓周角所的圓周角所對的弦是對的弦是_._.相等相等一半一半相等相等直徑直徑5.5.圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì): :（1 1）圓內(nèi)接三角形：三角形各邊垂直平分線的交點叫外）圓內(nèi)接三角形：三角形各邊垂直平分線的交點叫外心，也是圓心；外心到三角形各頂點的距離相等心，也是圓心；外心到三角形各頂點的距離相等. .（2 2）圓內(nèi)接四邊形：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；任意一）圓內(nèi)接四邊形：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；任意一個外角等于它的內(nèi)對角個外角等于它的內(nèi)對角. .【名師指點】本考點主要考查圓中弦所對的圓周角與圓心名師指點】本考點主要考查圓中弦所對的圓周角與圓心角之間的大小關(guān)系，即同弧或等弧所對的圓周角的度數(shù)是角之間的大小關(guān)系，即同弧或等弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角的一半圓心角的一半. .在同一個圓中，一條弧可能對應幾個角，利在同一個圓中，一條弧可能對應幾個角，利用圓周角定理把這些角聯(lián)系在一起，相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)用圓周角定理把這些角聯(lián)系在一起，相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵鍵. .考點考點1 1 圓周角、圓心角定理圓周角、圓心角定理 （20152015四川巴中）如圖，在四川巴中）如圖，在O O中，弦中，弦ACOBACOB，BOC=50BOC=50，則，則OABOAB的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A.25A.25 B.50 B.50 C.60 C.60 D.30 D.30【解答解答】BOC=50BOC=50，BAC= BOC=25BAC= BOC=25. .ACOBACOB，OBA=BAC=25OBA=BAC=25. .OA=OBOA=OB，OAB=OBA =25OAB=OBA =25. .【答案答案】A A12 （20142014貴州安順）如圖貴州安順）如圖,MN,MN是半徑為是半徑為1 1的的O O的直徑的直徑, ,點點A A在在O O上上,AMN=30,AMN=30, ,點點B B為劣弧為劣弧ANAN的中點的中點,P,P是直徑是直徑MNMN上上一動點一動點, ,則則PA+PBPA+PB的最小值為的最小值為( )( )A. 2B.1C.2D.2 2【解答解答】作點作點A A關(guān)于關(guān)于MNMN的對稱點的對稱點A,A,連接連接AB,AB,交交MNMN于點于點P,P,連接連接OA,OA,OAOA，OB,OB,如下圖：如下圖：AMN=30AMN=30, ,點點B B為劣弧為劣弧 的中點的中點, ,BON=30BON=30. .AN又又點點A A關(guān)于關(guān)于MNMN的對稱點為的對稱點為A,A,AON=AON=2AMN=60AON=AON=2AMN=60, ,AOB=90AOB=90，又又半徑為半徑為1,1,即即PA+PBPA+PB的最小值為的最小值為【答案答案】A AAB2, 2.1.(20151.(2015歷下一模歷下一模) )如圖，如圖，ABAB是是O O的直徑，點的直徑，點C C，D D在在O O上，若上，若CAB=40CAB=40，則，則ADCADC的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A.25A.25 B.30 B.30 C.45 C.45 D.50 D.502.(20152.(2015市中二模市中二模) )如圖，如圖，ABAB是是OO的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB，垂，垂足為足為M M，下列結(jié)論不成立的是，下列結(jié)論不成立的是( )( )A.CM=DM B.A.CM=DM B.C.ACD=ADC D.OM=MDC.ACD=ADC D.OM=MDCB BD3.3.（20152015煙臺）如圖，以煙臺）如圖，以ABCABC的一邊的一邊ABAB為直徑的半圓與為直徑的半圓與其他兩邊其他兩邊ACAC，BCBC的交點分別為的交點分別為D D，E E，且，且（1 1）試判斷）試判斷ABCABC的形狀，并說明理由的形狀，并說明理由. .（2 2）已知半圓的半徑為）已知半圓的半徑為5 5，BC=12BC=12，求，求sinABDsinABD的值的值. .DE BE.（1 1）ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .理由如下理由如下連接連接AEAE，如圖，如圖， , ,DAE=BAEDAE=BAE，即，即AEAE平分平分BAC.BAC. AB AB為直徑，為直徑，AEB=90AEB=90，AEBCAEBC，ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .DE BE(2)A(2)A，B B，E E，D D四點共圓，四點共圓，CDE=CBACDE=CBA，C=CC=C，CDECDECBACBA， . .BC=12BC=12，半徑為，半徑為5 5，由（由（1 1）得）得AC=AB=10AC=AB=10，CE=6CE=6，即即 ，解得，解得CD=7.2CD=7.2，AD=AC-CD=2.8,AD=AC-CD=2.8,sinABDsinABD= .= .CDCECBACCD61210AD2.87AB1025【名師指點名師指點】垂徑定理是圓的重要定理之一，是證明圓中垂徑定理是圓的重要定理之一，是證明圓中線段、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)線段、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù). .在解決與弦、弧有在解決與弦、弧有關(guān)的問題時，常常過圓心向弦引垂線，以利用垂徑定理構(gòu)關(guān)的問題時，常常過圓心向弦引垂線，以利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用三角形全等、勾股定理及解直角三角造直角三角形，利用三角形全等、勾股定理及解直角三角形的知識解題形的知識解題. .考點考點2 2 垂徑定理垂徑定理 （20142014浙江麗水）如圖浙江麗水）如圖, ,半徑為半徑為5 5的的A A中中, ,弦弦BC,EDBC,ED所對的圓心角分別是所對的圓心角分別是BAC,EAD.BAC,EAD.已知已知DE=6,BACDE=6,BACEAD=180EAD=180, ,則弦則弦BCBC的弦心距等于的弦心距等于( )( )4134A.B.C.4D.322【解答解答】作作AGBCAGBC于點于點G,G,延長延長CACA交交A A于點于點F,F,連接連接BF,BF,如圖如圖所示所示, ,BAC+EAD=180BAC+EAD=180, ,又又BAC+BAF=180BAC+BAF=180, ,DAE=BAF.DAE=BAF.又又AD=AB,AE=AF,AD=AB,AE=AF,ADEADEABF,ABF,DE=BF=6.DE=BF=6.AGBC,AGBC,CG=BG.CG=BG.CA=AF,CA=AF,AGAG為為CBFCBF的中位線的中位線, ,【答案答案】D D1AGBF 3.21.1.（20152015泰安）如圖，泰安）如圖，O O是是ABCABC的外接圓，的外接圓，B=60B=60，O O的半徑為的半徑為4 4，則，則ACAC的長等于的長等于( )( )A.4 3B.6 3C.2 3D.82.2.（20152015臺灣）如圖，臺灣）如圖，ABAB為為O O的直徑，的直徑，BCBC為為O O的一條的一條弦，自弦，自O(shè) O點作點作BCBC的垂線，且交的垂線，且交BCBC于于D D點，若點，若AB=16AB=16，BC=12BC=12，則則OBDOBD的面積為的面積為( )( )A.6 7B.12 7C.15D.303.3.（20152015東營）如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截東營）如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是面直徑是1 m1 m，其中水面的寬，其中水面的寬ABAB為為0.8 m0.8 m，則排水管內(nèi)水的，則排水管內(nèi)水的深度為深度為_m._m.0.80.8【名師指點名師指點】本考點主要考查圓內(nèi)接四邊形的角之間的關(guān)本考點主要考查圓內(nèi)接四邊形的角之間的關(guān)系，常利用它將圓外的角向圓內(nèi)進行轉(zhuǎn)移，解決問題的關(guān)系，常利用它將圓外的角向圓內(nèi)進行轉(zhuǎn)移，解決問題的關(guān)鍵是熟練地掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)鍵是熟練地掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì). .考點考點3 3 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形 (2015(2015江蘇南京江蘇南京) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD是是O O的內(nèi)接四的內(nèi)接四邊形，邊形，BCBC的延長線與的延長線與ADAD的延長線交于點的延長線交于點E E，且，且DC=DE.DC=DE.(1)(1)求證：求證：A=AEBA=AEB；(2)(2)連接連接OEOE，交，交CDCD于點于點F F，OECDOECD，求證：，求證：ABEABE是等邊三角是等邊三角形形. .【分析分析】(1)(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得A+BCDA+BCD=180=180，根據(jù)鄰補角互補可得，根據(jù)鄰補角互補可得DCE+BCD=180DCE+BCD=180，進而，進而得到得到A=DCEA=DCE，然后利用等邊對等角可得，然后利用等邊對等角可得DCE=AEBDCE=AEB，進而可得進而可得A=AEB.A=AEB.(2)(2)首先證明首先證明DCEDCE是等邊三角形，進而可得是等邊三角形，進而可得AEB=60AEB=60，再根據(jù)再根據(jù)A=AEBA=AEB，可得，可得ABEABE是等腰三角形，進而可得是等腰三角形，進而可得ABEABE是等邊三角形是等邊三角形. .【解答解答】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是是O O的內(nèi)接四邊形，的內(nèi)接四邊形，A+BCD=180A+BCD=180. .DCE+BCD=180DCE+BCD=180，A=DCE.A=DCE.DC=DEDC=DE，DCE=AEBDCE=AEB，A=AEB.A=AEB.(2)A=AEB(2)A=AEB，ABEABE是等腰三角形是等腰三角形. .EOCDEOCD，CF=DFCF=DF，EOEO是是CDCD的垂直平分線，的垂直平分線，ED=EC.ED=EC.DC=DEDC=DE，DC=DE=ECDC=DE=EC，DCEDCE是等邊三角形，是等邊三角形，AEB=60AEB=60，ABEABE是等邊三角形是等邊三角形. .【易錯點津易錯點津】不能利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角不能利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角的性質(zhì)找出角與角的關(guān)系，無法將各個條件集中到特殊的的性質(zhì)找出角與角的關(guān)系，無法將各個條件集中到特殊的三角形中三角形中( (如直角三角形或等邊三角形如直角三角形或等邊三角形).). 如圖，已知在如圖，已知在ABCABC中，中，ADBCADBC，D D點為垂足，點為垂足，ACBEACBE，E E點為垂足，點為垂足，M M點為點為ABAB邊的中點，連接邊的中點，連接MEME，MDMD，EDED求證：求證：EMDEMD2DAC.2DAC.【解答解答】MM為為ABAB的中點，的中點，ADBCADBC，BEACBEAC，ME= =MA=MBME= =MA=MB，MD= =MA=MBMD= =MA=MB，ME=MD=MA=MB,ME=MD=MA=MB,AA，B B，D D，E E四點在四點在M M上，上，EMDEMD2DAC.2DAC.1AB21AB21.1.（20152015江蘇淮安）如圖，四邊形江蘇淮安）如圖，四邊形ABCDABCD是是O O的內(nèi)接四邊的內(nèi)接四邊形，若形，若A=70A=70, ,則則C C的度數(shù)是的度數(shù)是( )( )A.100A.100 B.110 B.110 C.120 C.120 D.130 D.1302.2.（20152015四川涼山）如圖，四川涼山）如圖，ABCABC內(nèi)接于內(nèi)接于O O，OBC=40OBC=40，則則A A的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A.80A.80 B.100 B.100 C.110 C.110 D.130 D.1303.(20153.(2015浙江臺州浙江臺州) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于O O，點，點E E在在對角線對角線ACAC上，上，EC=BC=DC.EC=BC=DC.（1 1）若）若CBD=39CBD=39，求，求BADBAD的度數(shù)；的度數(shù)；（2 2）求證：）求證：1=2.1=2.解：解：(1)BC=CD,(1)BC=CD,BCD=180BCD=180-2-23939=102=102. .又又四邊形四邊形ABCDABCD為圓內(nèi)接四邊形為圓內(nèi)接四邊形, ,BAD=180BAD=180-102-102=78=78. .（2 2）BC=CD,CBD=CDB.BC=CD,CBD=CDB.又又BAC=BDC,BAC=BDC,CBD=BAE.CBD=BAE.又又CB=CE,CB=CE,CBE=CEB.CBE=CEB.CEB=BAE+2,CEB=BAE+2,BAE+2=CBD+1,BAE+2=CBD+1,1=2.1=2.