全國高中數學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版4

1984年全國高中數學聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分40分，每小題答對得5分答錯得0分，不答得1分) 集合S=|argZ=，為常數在復平面上的圖形是( ) A射線argZ=2 B射線argZ=2 C射線argZ= D上述答案都不對下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是( ) 對所有滿足1nm5的m，n，極坐標方程=表示的不同雙曲線條數是( ) A15 B10 C7 D6 方程sinx=lgx的實根個數是( ) A1 B2 C3 D大于3 若a>0，a1，F(xiàn)(x)是一個奇函數，則 G(x)=F(x)( +)是 A奇函數 B偶函數 C不是奇函數也不是偶函數 D奇偶性與a的具體數值有關 若F()=x，則下列等式中正確的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 若動點P(x，y)以等角速度在單位圓上逆時針運動，則點Q(2xy，y2x2)的運動方式是 A以角速度在單位圓上順時針運動 B以角速度在單位圓上逆時針運動 C以角速度2在單位圓上順時針運動 D以角速度2在單位圓上逆時針運動 若四面體的一條棱長是x，其余棱長都是1，體積是F(x)，則函數F(x)在其定義域上 A是增函數但無最大值 B是增函數且有最大值 C不是增函數但無最大值 D不是增函數但有最大值2填充題(本題滿分10分，每小題5分) 如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點D，作DCAB，交圓周于C，若點D的坐標為D(x，0)，則當x 時，線段AD、BD、CD可以構成銳角三角形 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24)內不相同的解有 個第二試1(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請給予證明否則給出反例 若P、Q是直線l同側的兩個不同點，則必存在兩個不同的圓，通過P、Q且與直線l相切； 若a>0，b>0，且a1，b1，則logab+logba2 設A、B是坐標平面上的兩個點集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若對任何r0，都有CrAÍCrB，則必有AÍB2(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為，它們的公垂線AA¢的長度為d，在直線a、b上分別取點E、F，設A¢E=m，AF=n，求EF(A¢在直線a上，A在直線b上)3(本題滿分15分)如圖，在ABC中，P為邊BC上任意一點，PEBA，PFCA，若SABC=1，證明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個不小于 (SXYZ表示多邊形XYZ的面積)4(本題滿分15分) 設an是12+22+32+n2的個位數字，n=1，2，3，試證：0.a1a2an是有理數5(本題滿分15分) 設x1，x2，xn都是正數，求證：+x1+x2+xn1984年全國高中數學聯(lián)賽試題解答第一試1選擇題(本題滿分40分，每小題答對得5分答錯得0分，不答得1分) 集合S=|argZ=，為常數在復平面上的圖形是( ) A射線argZ=2 B射線argZ=2 C射線argZ= D上述答案都不對解：由于argZ0.2)，故不存在答案Barg=2，故選D下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是( )解：當0<x<1時，得1>y2>x>0；當x>1時，得y2>x>1選D 對所有滿足1nm5的m，n，極坐標方程=表示的不同雙曲線條數是( ) A15 B10 C7 D6解：由e=C，若表示雙曲線，則e>1，由C>1，可得m、n的不同取值為C=5，C=10，C=4，C=6，C=3，C=2，共有6個不同的值，故選D 方程sinx=lgx的實根個數是( ) A1 B2 C3 D大于3解：作y=sinx及y=lgx的圖象，當x>10時，lgx>1故二者只在(0，10)內可能有交點經作圖可知，二者在(0，)內有一交點，在(2，3)內有一交點選C 若a>0，a1，F(xiàn)(x)是一個奇函數，則 G(x)=F(x)(+)是 A奇函數 B偶函數 C不是奇函數也不是偶函數 D奇偶性與a的具體數值有關解：G(x)=F(x) ，故G(x)=G(x)，且G(x)的定義域是F(x)的定義域與x|x0，xR的交集，為以原點為對稱的區(qū)域，故選B 若F()=x，則下列等式中正確的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x解：令t=，得x=，即F(t)=，經一一驗證，知F(2x)=2F(x)，選A 若動點P(x，y)以等角速度在單位圓上逆時針運動，則點Q(2xy，y2x2)的運動方式是 A以角速度在單位圓上順時針運動 B以角速度在單位圓上逆時針運動 C以角速度2在單位圓上順時針運動 D以角速度2在單位圓上逆時針運動解：令x=cost，y=sint則2xy=sin2t=cos(2t)y2x2=cos2t=sin(2t)顯然2t與t旋轉方向相反故選C 若四面體的一條棱長是x，其余棱長都是1，體積是F(x)，則函數F(x)在其定義域上 A是增函數但無最大值 B是增函數且有最大值 C不是增函數但無最大值 D不是增函數但有最大值解：定義域為0<x<，當x=時，F(xiàn)(x)最大，故選D2填充題(本題滿分10分，每小題5分) 如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點D，作DCAB，交圓周于C，若點D的坐標為D(x，0)，則當x 時，線段AD、BD、CD可以構成銳角三角形解：由對稱性，先考慮0x<1的情況，設AD=a，BD=b，CD=c，則a+b=2，ab=c2，且必有acb，于是只要考慮c2+b2>a2，即(1x)(1+x)+(1x)2>(1+x)2，解得0x<2 2<x<2 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24)內不相同的解有 個解：=2k±x，x=k，與x=m當0<k<24時，k=1，2，8；當0<m<24時，m=1，2，14；而當k=3，m=5及k=6，m=10時，解是相同的，故共有8+142=20個不同的解第二試1(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請給予證明否則給出反例 若P、Q是直線l同側的兩個不同點，則必存在兩個不同的圓，通過P、Q且與直線l相切； 若a>0，b>0，且a1，b1，則logab+logba2 設A、B是坐標平面上的兩個點集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若對任何r0，都有CrAÍCrB，則必有AÍB解：若PQl，則只能作出一個圓過P、Q且與直線l相切； 若a>1，0<b<1，則logab+logba2； A=(x，y)|x2+y2r2，B=(x，y)|0<x2+y2r2，于是CrAÍCrB恒成立，但不滿足AÍB2(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為，它們的公垂線AA¢的長度為d，在直線a、b上分別取點E、F，設A¢E=m，AF=n，求EF(A¢在直線a上，A在直線b上)解：EF=(證明見課本)3(本題滿分15分)如圖，在ABC中，P為邊BC上任意一點，PEBA，PFCA，若SABC=1，證明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個不小于(SXYZ表示多邊形XYZ的面積)證明：如圖，三等分BC于M、N，若點P在BM上(含點M)，則由于PEAB，則CPECBACPCB于是SPCE同理，若P在NC上(含點N)，則SBPF若點P在線段MN上連EF，設=r(<r<)，則=1rSBPF=r2，SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r)2+<2(-)2+=于是SAEPF故命題成立4(本題滿分15分) 設an是12+22+32+n2的個位數字，n=1，2，3，試證：0.a1a2an是有理數解 由于12+22+n2的個位數字只與1到n的個位數字的平方和有關，故只要考慮這些數的個位數字的平方：但121224，329，426，525，626，729，824，921，020(mod 10) a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5，a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0由a20=0知，a20k+r=ar(k，rN，0r19，并記a0=0)，即0.a1a2an是一個循環(huán)節(jié)為20位數的循環(huán)小數，即為有理數其一個循環(huán)節(jié)為“”5(本題滿分15分) 設x1，x2，xn都是正數，求證：+x1+x2+xn證明 +x22x1，+x32x2，+x42x3，+x12x1上述各式相加即得