高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 解析幾何教學(xué)案

2011年高考第二輪專題復(fù)習(xí)（教學(xué)案）：解析幾何 第1課時 直線與圓 考綱指要： 直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，以及直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題。 圓的方程，從軌跡角度講，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。能借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，特別是弦長問題。 考點掃描： 1．直線方程：(1)傾斜角；(2) 斜率；（3）直線方程的五種形式。 2．圓的方程：（1）圓的標準方程；（2）圓的一般方程。 3.兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。 4. 根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。 考題先知： 例1．某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為 (90°≤＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(a＞b) 問學(xué)生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？ 分析 欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數(shù)值 解 建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x＞0),欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取得最大值 由三角函數(shù)的定義知 A、B兩點坐標分別為(acos,asin)、 (bcos,bsin),于是直線AC、BC的斜率分別為 kAC=tanXCA=, 于是 tanACB= 由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤, 當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=時，等號成立， 此時∠ACB取最大值，對應(yīng)的點為C(,0), 因此，學(xué)生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳 點評：解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼?，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值 如果坐標系選擇不當(dāng)，或選擇求sinACB的最大值 都將使問題變得復(fù)雜起來 例2．設(shè)點A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線 分析： 將動點的坐標x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系 解法一 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直線AB的方程為x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa, x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法二 設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 ∴AB的方程為，過定點， 由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點除外） 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法三 設(shè)M(x,y) (x≠0)，OA的方程為， 代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以O(shè)A為直徑的圓 ……①上， 又在以O(shè)B為直徑的圓 ……②上（O點除外）， ①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0) 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 點評：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程 當(dāng)設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對“x1=x2”的討論 復(fù)習(xí)智略： 例3拋物線有光學(xué)性質(zhì) 由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0) 一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l 2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示) (1)設(shè)P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明 y1·y2=－p2； (2)求拋物線的方程； (3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由 分析：本題考查學(xué)生對韋達定理、點關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱、直線的點斜式方程、兩點式方程等知識的掌握程度 解： (1)證明 由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知 光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)， 設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－) ① 由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韋達定理，y1y2=－p2 當(dāng)直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y(tǒng)1·y2=－p2 (2)解 因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M(，4)關(guān)于l的對稱點為M′(x′,y′)，則 解得 直線QN的方程為y=－1,Q點的縱坐標y2=－1， 由題設(shè)P點的縱坐標y1=4，且由(1)知 y1·y2=－p2,則4·(－1)=－p2, 得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x (3)解 將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標為(4，4) 將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=, 故N點坐標為(，－1) 由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0, 設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M1(x1,y1) 又M1(,－1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，－1)與點M關(guān)于直線PN對稱 。 點評：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時 點關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵。 檢測評估： 1. 若直線按向量平移后與圓相切，則的值為( ) A．或 B．或 C．或 D．或 2.如右圖,定圓半徑為，圓心為 (), 則直線 與直線的交點在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）的總數(shù)是（ ） A．95 B．91 C．88 D．75 4. 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ） A． B． C． D． 5. 直線x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對的圓心角為（ ） A． B． C． D． 6.若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 . 7．過點交于A、B兩點，C為圓心，當(dāng)∠ACB 最小時，直線l的方程為 . 8． 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_________ 9、在等差數(shù)列中，為首項，是其前項的和，將整理為 后可知：點（是正整數(shù)） 都在直線上，類似地，若是首項為，公比為的等比數(shù)列， 則點（是正整數(shù)）在直線________上 10. 實數(shù)滿足，且，，那么的最小值為　　　 ; 11 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常數(shù)且b≠0 (1)證明 {an}是等差數(shù)列 (2)證明 以(an,－1)為坐標的點Pn(n=1,2,…)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程 (3)設(shè)a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r＞0)，求使得點P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍 12．某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？ 點撥與全解： ，即，由圓心到直線之距公式得得，選A。 2．從圖知，且，兩直線交點為，選C。 3.解：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整數(shù)yx=0，y有11個整數(shù)，x=1，y有10個，x=2或x=3時，y分別有9個，x=4時，y有8個，x=5或6時，y分別有7個，類推：x=13時y有2個，x=14或15時，yB。 4.解:與直線垂直的直線為，即在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為，故選A。 5.解析：如圖所示： 圖 由 消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。 ∴A（2，0），B（1，） ∴|AB|==2 又|OB|＝|OA|=2， ∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=，故選C。 6.解：圓方程化為，所以由得 所以直線的傾斜角的取值范圍是。 7．解：可證當(dāng)CM⊥AB時，∠ACB最小，從而直線方程，即 8 解析 設(shè)P(x,y)，依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0 9．由等比數(shù)列的求和公式得，所以在直線上。 10.解：M表示定點（-1，-3）與圓周上的點連線的斜率，設(shè)連線方程為，當(dāng)時，即時有最小值。 11 (1)證明 由條件，得a1=S1=a,當(dāng)n≥2時， 有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b 因此，當(dāng)n≥2時，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b 所以{an}是以a為首項，2b為公差的等差數(shù)列 (2)證明 ∵b≠0,對于n≥2,有 ∴所有的點Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通過P1(a,a－1)且以為斜率的直線上 此直線方程為y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0 (3)解 當(dāng)a=1,b=時，Pn的坐標為(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圓C外的條件是 由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜－或r＞+ 由不等式③，得r＜4－或r＞4+ 再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+ 故使P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍是 (0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) 設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切 建立如圖所示的坐標系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=(1+r)+(1 5－r)=2 5 ∴點P在以A、O為焦點，長軸長2 5的橢圓上，其方程為 =1 ① 同理P也在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為 (x－)2+y2=1 ② 由①、②可解得， ∴r= 故所求圓柱的直徑為 cm 第2課時 圓錐曲線 考綱指要： 圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，主要考察圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法。 考點掃描： 1．了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用； 2．經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)； 3．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。 4．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想； 5．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。 考題先知： 例1．在雙曲線上有一個點P，F(xiàn)1、F2為該雙曲線的兩個焦點，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 分析：根據(jù)題中條件，列出關(guān)于之間的等量關(guān)系，再求離心率。 解：由題意知：，，從而，故選D。 點評：上述題型在高考中常出現(xiàn)于選擇與填空題中，考查學(xué)生對基本概念的掌握程度。 例2．已知拋物線上有兩點A、B關(guān)于點M（2，2）對稱。 （1） 求的取值范圍； （2） 當(dāng)時，該拋物線上是否存在兩點C、D，且A、B、C、D四點共圓？若存在， 求出此圓的方程；若不存在，請說明理由。 分析：在回答“是否存在”這類問題時，?？梢韵燃僭O(shè)存在，然后從假設(shè)出發(fā)，只需找到一個符合條件的情況，即可說明其存在，“找”的過程，常從特殊情形入手。 解：（1）設(shè)、是拋物線上關(guān)于點M（2，2）對稱的兩點，則 ，所以，從而可設(shè) 是方程的兩個不等實根，由， 得. （2）解法一：∵，∴拋物線上存在兩點、關(guān)于M（2，2）對稱，∴∴?！邟佄锞€的方程為，則A（0，0），B（4，4），∴直線AB的方程為,∴線段AB的中垂線方程為即，代入，整理得，即。由，可知線段AB的中垂線定與拋物線交于兩點，不妨設(shè)此兩點為，∴,∴，∴CD的中點N坐標為（6，-2），滿足,∴A、B兩點在以CD為直徑的圓上。∴存在A、B、C、D四點共圓，且圓的方程為。y x N O A B C D 解法二：∵，線段AB的中垂線方程為，∴可設(shè)圓心，，∴圓的方程為，將代入圓的方程，整理得∴∴或∴應(yīng)有除以外的兩根，∴, ,∴，且。所以存在，且的無數(shù)個圓滿足條件。 解法三：∵點為圓與拋物線的交點，由解法2知，、是方程的兩根，，∴∴，，∴直線CD為一組斜率為的平行線（圖2）， y x N O A B C D D C 設(shè)直線CD在軸上的截距為，則直線CD的方程為：，代入拋物線中，得,∵，∴，此時線段CD的中點為,∴線段CD的中垂線為與線段AB的中垂線的交點為圓心，當(dāng)時滿足橫坐標，由，，得，當(dāng)時，點C或點D與點A或點B重合，∴直線CD可為斜率為的一組的平行線，其在軸上的截距大于，不等于0或8，弦CD的中點在直線上。 點評：解法1 是通過尋找問題的特殊情況求解，表面看來，此題也已答完，通過解法2，使我們找到了求解問題的一般方法，實現(xiàn)了從特殊到一般的飛躍。解法3對問題的進一步挖掘、深化，使得直線、拋物線、圓三者的相對位置更加清晰、明朗。 復(fù)習(xí)智略： 例3．給定橢圓，是軸上的一個定點，直線：，過M任意引一條直線與橢圓交于A、B兩點，A、B在上的射影分別為A‘，B’，在軸上的射影分別為A“、B”，則 證明 根據(jù)橢圓的對稱性，只需證情形. (1)若,如圖1,設(shè),不妨設(shè),則,又設(shè)直線AB的方程為,代入橢圓方程消去整理得 于是,, 所以 又因為 ,所以 (2)若,如圖2,設(shè),不妨設(shè),則,以下證明同(1) 綜上所述,命題得證. 類比一： 給定雙曲線，其余條件及結(jié)論，同上。 類比二： 給定拋物線 ，是軸上的一定點，直線：，過M任意引一條直線與拋物線交于A、B兩點，其余條件及結(jié)論同上。 推論一：給定橢圓，是軸上的一個定點，直線：，過M任意引一條直線與橢圓交于A、B兩點，A、B在上的射影分別為A‘，B’，則 證明 如圖形1,由Rt△AA”M∽△Rt△BB”M得 ,于是由例1得證. 推論二：設(shè)A、B是橢圓，長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點）、外部的兩點，且A、B的橫坐標滿足， （1） 若過A點的直線與這橢圓相交于P、Q兩點， 則∠PBA=∠QBA； （2）若過B點的直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則∠PBA+∠QBA=1800； 證明：（1）如圖形3，設(shè)，則，又設(shè)P、Q在在軸上的射影分別為P，，Q，，則由例1可得Rt△PP‘B∽△Rt△QQ‘B，于是∠PBA=∠QBA。同理可證結(jié)論（2）成立。 推論三： 給定橢圓，是軸上的一個定點，N是直線：與軸的交點，過M任意引一條直線與橢圓交于A、B兩點，BC∥MN,點C在直線上 ,則直線AC平分線段MN. 證明:如圖4,設(shè)A在直線上的射影為D,因為AD∥BC∥MN,則有,又, (由推論1),所以, 即直線AC平分線段MN. 又由推論3不難推出如下結(jié)論: 推論四：給定橢圓，是軸上的一個定點，N是直線：與軸的交點，過M任意引一條直線與橢圓交于A、B兩點，A,B在直線上的射影分別為A’,B’,則直線A B’ ,B A’, MN相交于一點. 檢測評估： 1．已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 2.當(dāng)時，函數(shù)的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 的左、右焦點分別為、，若過且垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點，以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率為( ) A．2 B。 C。 D。 4．已知A、B、C三點在曲線y=上，其橫坐標依次為1，m,4(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積最大時，m等于( ) A 3 B C D 5 已知拋物線y=x2－1上一定點B(－1，0)和兩個動點P、Q，當(dāng)P在拋物線上運動時，BP⊥PQ，則Q點的橫坐標的取值范圍是（ ） A．(－∞,－3∪3,+∞) B．(－∞,－1∪3,+∞) C．(－∞,－3∪1,+∞) D．(－∞,－1∪1,+∞) 6．設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點為F1，右準線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是 。 7.已知是圓為圓心）上一動點，線段的垂直平分線交于，則動點的軌跡方程為 . 8．對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上； ②焦點在x軸上； ③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6； ④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）。 能使這拋物線方程為y2＝10x的條件是 ．（要求填寫合適條件的序號） 9.已知點為雙曲線的右焦點，M是雙曲線右支上一動點，又點的坐標是，則的最大值為　　 ; 10． 設(shè)是橢圓上任意一點，則到直線的距離的最大值是　 ； 11．如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為 曲線E. （I）求曲線E的方程； （II）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間）， 且滿足，求的取值范圍. 12、在等差數(shù)列中，，，其中是數(shù)列的前項之和，曲線的方程是，直線的方程是. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）當(dāng)直線與曲線相交于不同的兩點，時，令，求的最小值； （3）對于直線和直線外的一點P，用“上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的，若曲線與直線不相交，試以類似的方式給出一條曲線與直線間“距離”的定義，并依照給出的定義，在中自行選定一個橢圓，求出該橢圓與直線的“距離”. 點撥與全解： 1.解：雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率， ∴ ≥，離心率e2=，∴ e≥2，選C。 2．解：原式化簡為，則y看作點A（0，5）與點的連線的斜率。 因為點B的軌跡是 即 過A作直線，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。 3．解：由條件得，所以，故選A。 4 解析 由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直線AC所在方程為x－3y+2=0, 點B到該直線的距離為d= ∵m∈(1,4),∴當(dāng)時，S△ABC有最大值，此時m= 故選 B 5 解析 設(shè)P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)，∵BP⊥PQ,∴=－1, 即t2+(s－1)t－s+1=0 ∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0 即s2+2s－3≥0, 解得s≤－3或s≥1 故選D。 6．解：由題意知過F1且垂直于x軸的弦長為，∴，∴， ∴，即e=。 7.解：由條件知，根據(jù)橢圓定義得，從而所求軌跡方程為 8.解：從拋物線方程易得②，分別按條件③、④、⑤計算求拋物線方程，從而確定⑤。答案：②，⑤ 9．解：因右準線方程是，記點M到右準線距離為，則，所以 ，當(dāng)點M與A的連線垂直于準線時，所求值最大，為。 10．解：設(shè)，則到直線的距離為 ，即最大值是。 11．解：（I） ∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|. 又 ∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓. 且橢圓長軸長為焦距2c=2. ∴曲線E的方程為 （II）當(dāng)直線GH斜率存在時， 設(shè)直線GH方程為 得 設(shè) ， 又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為 12．解：（1）∵，∴，又∵，∴， ∵，∴，，∴. （2），由題意，知，即， ∴或，即或，即或時，直線與曲線相交于不同的兩點. ，∴時，的最小值為. （3）若曲線與直線不相交，曲線與直線間“距離”是：曲線上的點到直線距離的最小值. 曲線與直線不相交時，，即，即，∴， ∵時，曲線為圓，∴時，曲線為橢圓. 選，橢圓方程為，設(shè)橢圓上任一點，它到直線的距離 ， ∴橢圓到直線的距離為. （橢圓到直線的距離為）