全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版20

2000年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷（10月15日上午8:00-9:40）一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1設(shè)全集是實(shí)數(shù)，若A=x|0，B=x|10=10x，則ARB是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) Æ2設(shè)sina0，cosa0，且sincos，則的取值范圍是( )(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎ Z(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z3已知點(diǎn)A為雙曲線x2-y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上，ABC是等邊三角形，則ABC的面積是( ) (A) (B) (C)3 (D)64給定正數(shù)p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)無(wú)實(shí)根 (B)有兩個(gè)相等實(shí)根 (C)有兩個(gè)同號(hào)相異實(shí)根 (D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根5平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線y=x+的距離中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 6設(shè)=cos+isin，則以w，w3，w7，w9為根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0二填空題（本題滿分54分，每小題9分）1arcsin(sin2000°)=_2設(shè)an是(3-)n的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)(n=2，3，4，)，則(+)=_.3等比數(shù)列a+log23，a+log43，a+log83的公比是_.4在橢圓+=1 (ab0)中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B.若該橢圓的離心率是，則ABF=_.5一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積是_.6如果：(1)a，b，c，d都屬于1，2，3，4；(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是_三、解答題(本題滿分60分，每小題20分)1設(shè)Sn=1+2+3+n，nÎN*，求f(n)=的最大值2若函數(shù)f(x)=x2+在區(qū)間a，b上的最小值為2a，最大值為2b，求a，b3已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (ab0)試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，對(duì)C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)，與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論2000年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題（10月15日上午1000-1200）一（本題滿分50分）ABCDEFMN如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足BAE=CAF，作FMAB，F(xiàn)NAC（M、N是垂足），延長(zhǎng)AE交三角形ABC的外接圓于D證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等二（本題滿分50分）設(shè)數(shù)列a n和b n 滿足a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，證明a n（n=0，1，2，）是完全平方數(shù)三（本題滿分50分）有n個(gè)人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意n2個(gè)人之間通電話的次數(shù)相等，都是3 k次，其中k是自然數(shù)，求n的所有可能值2000年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題解答第一試一選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1設(shè)全集是實(shí)數(shù)，若A=x|0，B=x|10=10x，則ARB是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) Æ解：A=2，B=2，1，故選D2設(shè)sina0，cosa0，且sincos，則的取值范圍是( )(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎZ(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)(2kp+，2kp+p)，kÎZ解：滿足sina0，cosa0的的范圍是(2kp+，2kp+)，于是的取值范圍是(+，+)，滿足sincos的的取值范圍為(2kp+，2kp+)故所求范圍是(2kp+，2kp+)(2kp+，2kp+p)，kÎZ選D3已知點(diǎn)A為雙曲線x2-y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上，ABC是等邊三角形，則ABC的面積是( ) (A) (B) (C)3 (D)6解：A(1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入雙曲線方程，解得B(2，)， S=3選C4給定正數(shù)p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)無(wú)實(shí)根 (B)有兩個(gè)相等實(shí)根 (C)有兩個(gè)同號(hào)相異實(shí)根 (D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根解：a2=pq，b+c=p+qb=，c=；=a2bc=pq(2p+q)(p+2q)=(pq)2<0選A5平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線y=x+的距離中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 解：直線即25x15y+12=0平面上點(diǎn)(x，y)到直線的距離=5x3y+2為整數(shù)，故|5(5x3y+2)+2|2且當(dāng)x=y=1時(shí)即可取到2選B6設(shè)=cos+isin，則以w，w3，w7，w9為根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0解：5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根x5+1=(x+1)(x4x3+x2x+1)=0選B二填空題（本題滿分54分，每小題9分）1arcsin(sin2000°)=_.解：2000°=180°×12160°故填20°或2設(shè)an是(3-)n的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)(n=2，3，4，)，則(+)=_.解：an=3n2C =，故填183等比數(shù)列a+log23，a+log43，a+log83的公比是_.解：q=填4在橢圓+=1 (ab0)中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B.若該橢圓的離心率是，則ABF=_.解：c=a，|AF|=a|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2故有|AF|2=|AB|2+|BF|2即ABF=90°填90°或由b2=a2c2=a2=ac，得解5一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積是_.解：取球心O與任一棱的距離即為所求如圖，AE=BE=a，AG=a，AO=a，BG=a，ABAO=BGOHOH=aV=r3=a3填a36如果：(1)a，b，c，d都屬于1，2，3，4；(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是_解：a、c可以相等，b、d也可以相等 當(dāng)a、c相等，b、d也相等時(shí)，有C=6種； 當(dāng)a、c相等，b、d不相等時(shí)，有A+A=8種； 當(dāng)a、c不相等，b、d相等時(shí)，有CC+C=8種； 當(dāng)a、c不相等，b、d也不相等時(shí)，有A=6種；共28種填28三、解答題(本題滿分60分，每小題20分)1設(shè)Sn=1+2+3+n，nÎN*，求f(n)=的最大值解：Sn=n(n+1)，f(n)= = (n=8時(shí)取得最大值)2若函數(shù)f(x)=x2+在區(qū)間a，b上的最小值為2a，最大值為2b，求a，b解： 若ab<0，則最大值為f(b)=b2+=2b最小值為f(a)=a2+=2a即a，b是方程x2+4x13=0的兩個(gè)根，而此方程兩根異號(hào)故不可能 若a<0<b，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取最大值，故2b=，得b=當(dāng)x=a或x=b時(shí)f(x)取最小值，f(a)=a2+=2a時(shí)a=2±，但a<0，故取a=2由于|a|>|b|，從而f(a)是最小值f(b)=b2+=2a>0與a<0矛盾故舍 0a<b此時(shí)，最大值為f(a)=2b，最小值為f(b)=2a b2+=2aa2+=2b相減得a+b=4解得a=1，b=3 a，b=1，3或2，3已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (ab0)試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，對(duì)C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)，與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論解：設(shè)PQRS是與C0外切且與C1內(nèi)接的平行四邊形易知圓的外切平行四邊形是菱形即PQRS是菱形于是OPOQ設(shè)P(r1cos，r1sin)，Q(r2cos(+90°)，r2sin(+90°)，則在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用POQ的面積)即+=1但+=1，即=+，同理，=+，相加得+=1反之，若+=1成立，則對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)P(r1cos，r1sin)，取橢圓上點(diǎn)Q(r2cos(+90°)，r2sin(+90°)，則=+，=+，于是+=+=1，此時(shí)PQ與C0相切即存在滿足條件的平行四邊形故證第二試一（本題滿分50分）如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足BAE=CAF，作FMAB，F(xiàn)NAC（M、N是垂足），延長(zhǎng)AE交三角形ABC的外接圓于D證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等證明：連MN，則由FMAM，F(xiàn)NAN知A、M、F、N四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為AF又ÐAMN=ÐAFN，但ÐFAN=ÐMAD，故ÐMAD+ÐAMN=ÐFAN+ÐAFN=90°MNAD，且由正弦定理知，MN=AFsinASAMDN=AD·MN=AD·AFsinA連BD，由ÐADB=ÐACF，ÐDAB=ÐCAF，得ABDAFC ADAB=ACAF，即AD·AF=AB·AC SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC二（本題滿分50分）設(shè)數(shù)列a n和b n 滿足a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，證明a n（n=0，1，2，）是完全平方數(shù)證明 ×7：7an+1=49an+42bn21，×6：6bn+1=48an+42bn24兩式相減得，6bn+17an+1=an3，即6bn=7anan13代入：an+1=14anan16故an+1=14(an)(an1)其特征方程為x214x+1=0，特征方程的解為x=7±4故an=(7+4)n+(74)n+,現(xiàn)a0=1，a1=4，a2=49解得= an=(7+4)n+(74)n+=(2+)2n+(2)2n+=(2+)n+(2)n2 由于(2+)n+(2)n是整數(shù)，故知an是整數(shù)的平方即為完全平方數(shù)三（本題滿分50分）有n個(gè)人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意n2個(gè)人之間通電話的次數(shù)相等，都是3 k次，其中k是自然數(shù)，求n的所有可能值解：由條件知，統(tǒng)計(jì)各n2人組的通話次數(shù)都是3k次，共有C=C個(gè)n2人組，若某兩人通話1次，而此二人共參加了C= C個(gè)n2人組，即每次通話都被重復(fù)計(jì)算了C次即總通話次數(shù)應(yīng)為·3k次由于(n1，n2)=1，故n2|n3k若n2|n，故n2|2，易得n=4，(n=3舍去)此時(shí)k=0由n2|3k，n=3m+2，(m為自然數(shù)，且mk)，此時(shí)·3k =·3k=3m+4+·3km，即3m1|6 m=0，1當(dāng)m=0時(shí)，n=3(舍去)，當(dāng)m=1時(shí)，n=5又：n=4時(shí)，每?jī)蓚€(gè)人通話次數(shù)一樣，可為1次(任何兩人都通話1次)；當(dāng)n=5時(shí)，任何兩人都通話1次均滿足要求 n=0，5