不定積分 教案示例

不定積分·教案示例 目的要求1理解原函數(shù)的定義，知道原函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求簡單函數(shù)的原函數(shù)2理解不定積分的概念，掌握不定積分的線性性質(zhì)，會(huì)用定義求簡單函數(shù)的不定積分內(nèi)容分析1不定積分是一元函數(shù)微積分學(xué)的基本內(nèi)容，本章教材是在學(xué)生已掌握求導(dǎo)數(shù)方法的基礎(chǔ)上，研究求原函數(shù)或不定積分的故學(xué)好“導(dǎo)數(shù)與微分”是學(xué)好不定積分的前提，教學(xué)時(shí)，要與“導(dǎo)數(shù)與微分”一章的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)照2本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是原函數(shù)和不定積分的概念教學(xué)，難點(diǎn)是原函數(shù)的求法突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是緊緊扣住原函數(shù)的定義，逆用求導(dǎo)公式，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理順由于逆運(yùn)算概念學(xué)生并不陌生，因此教學(xué)中要充分利用思維定勢(shì)的積極因素并引入教學(xué)另外，本節(jié)切勿提高教學(xué)難度，因?yàn)殡S著后續(xù)學(xué)習(xí)的深入，積分方法多，無需直接用定義求不定積分3本節(jié)教學(xué)要始終抓住一條主線：“求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)或不定積分(在不計(jì)所加任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算”強(qiáng)調(diào)求不定積分時(shí)，不要漏寫任意常數(shù)C；另外，要向?qū)W生說明：求一個(gè)函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但結(jié)果的導(dǎo)數(shù)應(yīng)相等指出這點(diǎn)是有益的，一方面使學(xué)生會(huì)檢查得到的不定積分是否正確，另一方面消除學(xué)生由于所得不定積分形式的不同而產(chǎn)生的疑問4根據(jù)本節(jié)知識(shí)的抽象性，教學(xué)中應(yīng)充分安排學(xué)生進(jìn)行觀察、聯(lián)想、類比、討論等課堂活動(dòng)，使之參與到概念的發(fā)現(xiàn)過程，體會(huì)知識(shí)的形成過程本著這一原則，本節(jié)課宜采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)教學(xué)過程1創(chuàng)設(shè)情境，引入新課(1)引例(見解本章頭)用多媒體顯示引例圖象，提出問題，激起學(xué)生求知欲望，揭示并板書課題(2)介紹微積分產(chǎn)生的時(shí)代背景，弘揚(yáng)科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和鉆研精神2嘗試探索，建立新知(1)提出問題：已知某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求這個(gè)函數(shù)？(2)嘗試練習(xí)：求滿足下列條件的函數(shù)F(x)F(x)3x2 F(x)x3(3)解決問題：上述練習(xí)是完成與求導(dǎo)數(shù)相反的逆運(yùn)算因此，解決問題的方法仍為求導(dǎo)數(shù)(4)形成定義：詳見課本“原函數(shù)”的定義對(duì)于原函數(shù)的定義，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)下列三點(diǎn)：第一，F(xiàn)(x)與f(x)是定義在同一區(qū)間I上，這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開區(qū)間第二，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)第三，求原函數(shù)(在不計(jì)所加常數(shù)C的情況下)與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算(5)簡單應(yīng)用：例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)f(x)3x2 f(x)x3小結(jié)解法：根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個(gè)函數(shù)F(x)，使它的導(dǎo)數(shù)F(x)等于f(x)(6)討論問題：已知函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么函數(shù)f(x)是否還有其他原函數(shù)？舉例說明(略)(7)歸納性質(zhì)：一般地，原函數(shù)有下面的性質(zhì)：設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，對(duì)于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)C也是f(x)的原函數(shù)，并且f(x)在區(qū)間I上任何一個(gè)原函數(shù)都可以表示成F(x)C的形式教師強(qiáng)調(diào)：一個(gè)函數(shù)雖然有無窮多個(gè)原函數(shù)，但是我們只要求出其中的一個(gè)就行，其他的原函數(shù)都可以由這個(gè)原函數(shù)再加上一個(gè)常數(shù)得到這樣就給出了求已知函數(shù)的所有原函數(shù)的方法3類比分析，拓廣知識(shí)根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，類比引入不定積分的概念(1)講解不定積分的有關(guān)概念：不定積分、積分號(hào)、被積函數(shù)、積分變量、被積式、積分常數(shù)等(詳見課本)對(duì)于不定積分的定義，教師說明如下：C常數(shù)C不要漏寫，F(xiàn)(x)只能表示一個(gè)原函數(shù)，這也正是原函數(shù)和“f(x)dx”構(gòu)成，書寫時(shí)不要漏掉dx積分變量是u，被積函數(shù)ux是關(guān)于u的冪函數(shù)(2)推導(dǎo)不定積分的性質(zhì)證明：設(shè)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，即F(x)f(x)證明(略)上述兩個(gè)性質(zhì)表明：求導(dǎo)數(shù)與求不定積分(在不計(jì)所加的任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算因此，求不定積分時(shí)，常常利用導(dǎo)數(shù)與不定積分的這種互逆關(guān)系，驗(yàn)證所求的不定積分是否正確4例題評(píng)價(jià)，反饋訓(xùn)練例2 如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f(x)g(x)，則一定有BAf(x)g(x)Bf(x)g(x)CDf(x)Cg(x)例3 求下列不定積分小結(jié)解法：(1)求不定積分時(shí)，都要在結(jié)果上寫上任意常數(shù)C本章凡是沒有特別說明時(shí)，所加的C均表示任意常數(shù)(2)求一個(gè)函數(shù)的不定積分，由于方法不同，它的結(jié)果在形式上往往也不同這種形式上不同的結(jié)果，可以用求它們的導(dǎo)數(shù)的方法，看其導(dǎo)數(shù)是否相同，如果導(dǎo)數(shù)相同，就說明結(jié)果是正確的課堂練習(xí)：教科書練習(xí)第1、3、4題的解析式解：由不定積分的性質(zhì)得f(x)(2x3x29xC)6x22x95歸納總結(jié)，鞏固提高(1)一條主線：求導(dǎo)數(shù)與求不定積分(在不計(jì)所加任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算(2)二組概念：原函數(shù)的定義和性質(zhì)，不定積分的定義和性質(zhì)(3)三個(gè)注意：一是注意一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，它們之間僅相差一個(gè)常數(shù)；二是注意求不定積分時(shí)，不要漏寫任意常數(shù)C；三是注意求一個(gè)函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但其結(jié)果的導(dǎo)數(shù)應(yīng)相等布置作業(yè)1課本習(xí)題41第3、4題2設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象為a，且在曲線a上任一點(diǎn)M(x，y)處的切線的斜率k(x)x31，并且曲線過點(diǎn)P(1，2)，求函數(shù)yf(x)的解析式有兩個(gè)相等實(shí)根(1)求f(x)的解析式(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(mn)，使f(x)的定義域和值域分別是m，n和2m，2n 3