函數(shù)圖象與圖象變換

本資料來(lái)源2012屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)函數(shù)圖象與圖象變換函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍.案例探究例1對(duì)函數(shù)y=f(x)定義域中任一個(gè)x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；(2)若函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個(gè)不同實(shí)根，求這些實(shí)根之和.命題意圖：本題考查函數(shù)概念、圖象對(duì)稱問(wèn)題以及求根問(wèn)題.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：把證明圖象對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題.錯(cuò)解分析：找不到問(wèn)題的突破口，對(duì)條件不能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.(1)證明：設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn)，則y0=f(x0),又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數(shù)的圖象上，而=a,點(diǎn)(x0,y0)與(2ax0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，故y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(2)解：由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，若x0是f(x)=0的根，則4x0也是f(x)=0的根，由對(duì)稱性，f(x)=0的四根之和為8.例2如圖，點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2.又A、B、C在x軸上的射影分別是A、B、C,記ABC的面積為f(a),ABC的面積為g(a).(1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式；(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論.命題意圖：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：充分借助圖象信息，利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口.錯(cuò)解分析：圖形面積不會(huì)拆拼.技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.解：(1)連結(jié)AA、BB、CC,則f(a)=SABC=S梯形AACCSAABSCCB=(AA+CC)=(),g(a)=SABC=AC·BB=BB=.f(a)<g(a).錦囊妙計(jì)1.熟記基本函數(shù)的大致圖象，掌握函數(shù)作圖的基本方法：(1)描點(diǎn)法：列表、描點(diǎn)、連線；(2)圖象變換法：平移變換、對(duì)稱變換、伸縮變換等.2.高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)來(lái)考查函數(shù)圖象的.題型多以選擇與填空為主，屬于必考內(nèi)容之一，但近年來(lái)，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()當(dāng)a0時(shí)，y=ax+b和y=bax的圖象只可能是( )2.()某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開(kāi)始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學(xué)校的距離，x軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則適合題意的圖形是( )二、填空題3.()已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，將y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)的最大值為_(kāi).三、解答題4.()如圖，在函數(shù)y=lgx的圖象上有A、B、C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為m,m+2,m+4(m>1).(1)若ABC面積為S，求S=f(m);(2)判斷S=f(m)的增減性.5.()如圖，函數(shù)y=|x|在x1,1的圖象上有兩點(diǎn)A、B，ABOx軸，點(diǎn)M(1，m)(mR且m>)是ABC的BC邊的中點(diǎn).(1)寫出用B點(diǎn)橫坐標(biāo)t表示ABC面積S的函數(shù)解析式S=f(t);(2)求函數(shù)S=f(t)的最大值，并求出相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo).6.()已知函數(shù)f(x)是y=1(xR)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)F(x)=f(x)+g(x).(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；(2)試問(wèn)在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.7.()已知函數(shù)f1(x)=,f2(x)=x+2,(1)設(shè)y=f(x)=，試畫出y=f(x)的圖象并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍.(3)若f1(x)>f2(xb)的解集為1，求b的值.8.()設(shè)函數(shù)f(x)=x+的圖象為C1，C1關(guān)于點(diǎn)A(2，1)對(duì)稱的圖象為C2，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).(1)求g(x)的解析表達(dá)式；(2)若直線y=b與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)解不等式logag(x)<loga (0<a<1).參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解法一：觀察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的圖象過(guò)(1，0)，f(x)=a+b+c,又有f(1)0,即a+bc0,+得b0,故b的范圍是(,0)解法二：如圖f(0)=0有三根，f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x1)(x2)=ax33ax2+2ax,b=3a,a>0,b0.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：y=bax=(ba)x,這是以ba為底的指數(shù)函數(shù).仔細(xì)觀察題目中的直線方程可知：在選擇支B中a>0,b>1,ba>1,C中a0,b>1,0ba1,D中a0,0b1,ba>1.故選擇支B、C、D均與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖象不符合.答案：A2.解析：由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，y最大，所以排除A、C.又一開(kāi)始跑步，所以直線隨著x的增大而急劇下降.答案：D二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>2)F(x)=f(x)g(x)=log2(x+1)2log2(x+2)=log2x+1>0,F(x)=2當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ,即x=0時(shí)取等號(hào).F(x)max=F(0)=2.答案：2三、4.解：(1)SABC=S梯形AABB+S梯形BBCCS梯形AACC.(2)S=f(m)為減函數(shù).5.解：(1)依題意，設(shè)B(t, t),A(t, t)(t>0),C(x0,y0).M是BC的中點(diǎn).=1, =m.x0=2t,y0=2mt.在ABC中，|AB|=2t,AB邊上的高h(yuǎn)AB=y0t=2m3t.S=|AB|·hAB= ·2t·(2m3t),即f(t)=3t2+2mt,t(0,1). (2)S=3t2+2mt=3(t)2+,t(0,1,若，即m3,當(dāng)t=時(shí)，Smax=,相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)是(2, m),若>1,即m>3.S=f(t)在區(qū)間(0，1上是增函數(shù)，Smax=f(1)=2m3,相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2m3).6.解：(1)y=1的反函數(shù)為f(x)=lg(1x1.由已知得g(x)=,F(x)=lg+,定義域?yàn)?1，1).(2)用定義可證明函數(shù)u=1+是(1，1）上的減函數(shù)，且y=lgu是增函數(shù).f(x)是(1，1）上的減函數(shù)，故不存在符合條件的點(diǎn)A、B.7.解：(1）y=f(x)=.圖略.y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為(2+).(2)當(dāng)f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，a的取值范圍為2a1.(3)若f1(x)>f2(xb)的解集為1，則可解得b=.8.(1)g(x)=x2+.(2)b=4時(shí)，交點(diǎn)為(5，4)；b=0時(shí)，交點(diǎn)為(3，0).(3)不等式的解集為x|4x或x>6.