中考數(shù)學(xué)第二章 方程（組）與不等式（組）第6講 一元二次方程

第第6 6講講 一元二次方程一元二次方程欄目索引總綱目錄泰安考情分析泰安考情分析基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)泰安考點(diǎn)聚焦泰安考點(diǎn)聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)隨堂鞏固練習(xí)欄目索引泰安考情分析泰安考情分析欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的相關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五 一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的相關(guān)概念1.1.一元二次方程一元二次方程:只含有 一個(gè) 未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0) ,其中ax2叫做二次項(xiàng),a叫做二次項(xiàng)系數(shù),bx 叫做一次項(xiàng),b叫做一次項(xiàng)系數(shù),c叫做 常數(shù)項(xiàng) .溫馨提示溫馨提示 判定一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí)要注意以下三點(diǎn):(1)只含有一個(gè)未知數(shù);(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(3)方程是整式方程.一元二次方程的一般形式要注意二次項(xiàng)系數(shù)a0這一條件.欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)2.2.一元二次方程的解一元二次方程的解: :使方程左右兩邊 相等 的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)解法定義步驟直接開(kāi)平方法形如(mx+n)2=r(r0)的方程,兩邊開(kāi)平方,可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解,這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法1.開(kāi)方:對(duì)滿足直接開(kāi)平方的方程左右兩邊開(kāi)平方;2.寫(xiě)解:正確寫(xiě)出原方程的根配方法把一元二次方程通過(guò)配方化為(mx+n)2=r(r0)的形式,再用直接開(kāi)平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法1.變形:方程左邊變形為只含有二次項(xiàng)(二次項(xiàng)系數(shù)為1)和一次項(xiàng)的形式,右邊為常數(shù)項(xiàng);2.配方:方程左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;3.開(kāi)方:方程左邊寫(xiě)成完全平方式再開(kāi)方,右邊計(jì)算后開(kāi)方;4.寫(xiě)解:正確寫(xiě)出原方程的根公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式:x= (b2-4ac0)1.整理:將原一元二次方程整理成一般形式;2.求根的判別式:計(jì)算=b2-4ac;3.代入求根公式;4.寫(xiě)解:正確寫(xiě)出原方程的根因式分解法如果一元二次方程的左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積,那么根據(jù)兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0,原方程可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法1.變形:使原方程右邊為零;2.因式分解:將原方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的積的形式;3.轉(zhuǎn)化:令方程左邊的兩個(gè)因式分別為零,求解;4.寫(xiě)解:正確寫(xiě)出原方程的根2bb42aac 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)溫馨提示溫馨提示 解一元二次方程時(shí),要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇合適的方法,一般優(yōu)先考慮直接開(kāi)平方法,然后考慮因式分解法,再次考慮公式法、配方法,公式法和配方法可以解所有判別式大于或等于零的一元二次方程.欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式為 b2-4ac ,一般用符號(hào)表示.(1)b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有 兩個(gè)不相等 的實(shí)數(shù)根;(2)b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0(a0)有 兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根;(3)b2-4ac .54欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0無(wú)實(shí)數(shù)根,=b2-4ac0,即(2k-1)2-4(k2-1) ,故k的取值范圍是k .易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 若一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則應(yīng)該包括有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩種情況,同時(shí)滿足二次項(xiàng)系數(shù)不能為零,要注意考慮問(wèn)題的全面性.5454欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)四考點(diǎn)四 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根,求關(guān)于x1,x2的某個(gè)代數(shù)式的值,先把這個(gè)代數(shù)式變形為含有x1+x2和x1x2的式子,再把x1+x2和x1x2的值整體代入.(2)若給出了關(guān)于x1和x2的某個(gè)代數(shù)式的值或范圍,要求未知字母系數(shù)的值或范圍,先把這個(gè)代數(shù)式進(jìn)行變形,轉(zhuǎn)化為用x1+x2和x1x2表示的式子,然后根據(jù)所給的值或取值范圍構(gòu)造方程或不等式,從而求出未知字母系數(shù)的值或范圍.欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦例例4 4 (2018濰坊)已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+2)x + =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,若 + =4m,則m的值是 ( A )A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在4m11x21x欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析由題意得=-(m+2)2-4m=4m+40,且m0,解得m-1且m0,由題意知x1+x2= ,x1x2= ,所以 + = = =4m,化簡(jiǎn)得m2-m -2=0,解得m1=2,m2 =-1(舍去),所以m 的值為2,故選A.4m2mm1411x21x1212xxx x214mm欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦變式變式4-14-1 (2017泰山模擬)一元二次方程x2-3x -2=0的兩根為x1,x2,則下列結(jié)論正確的是 ( C )A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=-2C.x1+x2=3 D.x1x2=2解析解析方程x2-3x -2=0的兩根為x1,x2,x1+x2=3,x1x2=-2,C選項(xiàng)正確.欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)五考點(diǎn)五 一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)列方程解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵:(1)找到等量關(guān)系.(2)在得到方程的解后,要檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際意義.考向考向1 1列方程解決實(shí)際問(wèn)題列方程解決實(shí)際問(wèn)題例例5 5某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系,每盆植3株時(shí),平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利減少0.5元,要使每盆的盈利達(dá)到15元,每盆應(yīng)多植多少株?設(shè)每盆多植x株,則可以列出的方程是 ( A )A.(x+3)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析由題意得每盆有這種花卉(x+3)株,平均每株盈利(4-0.5x)元,所以可列出的方程為(x+3)(4-0.5x)=15.考向考向2 2增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率( (降低率降低率) )問(wèn)題的考查問(wèn)題的考查例例6 6煙臺(tái)市某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為4萬(wàn)元,可變成本逐年增長(zhǎng),已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元,設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x.(1)第3年的可變成本用含x的代數(shù)式表示為 2.6(1+x)2 萬(wàn)元;(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬(wàn)元,求可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率x.欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析(1)2.6(1+x)2.由第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元可以表示出第2年的可變成本,為2.6(1+x)萬(wàn)元,則第3年的可變成本為2.6(1+x)2萬(wàn)元.(2)由養(yǎng)殖成本=固定成本+可變成本,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得x1=0.1,x2=-2.1(不符合題意,舍去).所以可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%.欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦考向考向3 3利潤(rùn)問(wèn)題的考查利潤(rùn)問(wèn)題的考查例例7 7某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個(gè)檔次,第一檔次(即最低檔次)的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件,每件利潤(rùn)為10元.調(diào)查表明:生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次,該產(chǎn)品每件的利潤(rùn)增加2元.(1)若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤(rùn)為14元,則此批次蛋糕屬于第幾檔次的產(chǎn)品?(2)由于生產(chǎn)工序不同,蛋糕產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次,一天產(chǎn)量會(huì)減少4件.若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1 080元,則該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的蛋糕產(chǎn)品?欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析(1)根據(jù)生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次,每件產(chǎn)品的利潤(rùn)增加2元得(14-10)2+1=3,所以每件利潤(rùn)14元的蛋糕為第三檔次產(chǎn)品.(2)設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的蛋糕產(chǎn)品,根據(jù)題意得2(x -1)+1076-4(x -1)=1 080,整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不合題意,舍去).答:該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的蛋糕產(chǎn)品.欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦考向考向4 4幾何問(wèn)題的考查幾何問(wèn)題的考查例例8 8王叔叔從市場(chǎng)上買了一塊長(zhǎng)80 cm、寬70 cm的矩形鐵皮,準(zhǔn)備制作一個(gè)工具箱.如圖,他將矩形鐵皮的四個(gè)角各剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的正方形后,剩余的部分剛好能圍成一個(gè)底面積為3 000 cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體工具箱,根據(jù)題意列方程為( C )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-42=3 000C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-42-(70+80)x =3 000欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析由題意得剩余部分圍成的工具箱的底面是長(zhǎng)(80-2x)cm,寬(70-2x)cm的長(zhǎng)方形,則由題意得(80-2x)(70-2x)=3 000.欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦考向考向5 5單單( (雙雙) )循環(huán)問(wèn)題的考查循環(huán)問(wèn)題的考查例例9 9學(xué)校要組織足球比賽,賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)).計(jì)劃安排21場(chǎng)比賽,應(yīng)邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參賽?設(shè)邀請(qǐng)x支球隊(duì)參賽.根據(jù)題意,下面所列方程正確的是 ( B )A.x2=21 B.x(x -1)=21C.x2=21 D.x(x -1)=211212欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦解析解析邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,則每個(gè)隊(duì)都要進(jìn)行(x -1)場(chǎng)比賽,但兩隊(duì)之間只有一場(chǎng)比賽,由題意得:x(x -1)=21.方法技巧方法技巧列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),首先是將問(wèn)題進(jìn)行歸類,明確其中的等量關(guān)系,其次是判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.12欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題一、選擇題1.(2017岱岳二模)將一元二次方程x2-6x -5=0配方后可變形為( A )A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4隨堂鞏固訓(xùn)練欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練2.(2017肥城一模)下列選項(xiàng)中,使關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有實(shí)數(shù)根的是 ( D )A.a0 B.a=0C.c0 D.c=03.(2017煙臺(tái))若x1,x2是方程x2-2mx +m2-m-1=0的兩個(gè)根,且x1+x2=1-x1x2,則m的值為 ( D )A.-1或2 B.1或-2C.-2 D欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練二、填空題二、填空題4.(2018德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x -2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x1+x2+x1x2= -3 .5.(2017新泰模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程(a -1)x2-2x +1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是 a0,解得a2,又二次項(xiàng)系數(shù)不為0,a-10,即a1.故a的取值范圍是a0)的兩個(gè)根分別為m +1和2m -4,則 = 4 .ba解析解析易知x2= (ab0),所以x =,所以方程的兩個(gè)根互為相反數(shù),即m+1+2m-4=0,解得m=1,所以方程的兩個(gè)根為2和-2,所以=2,故 =4.babababa欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練三、解答題三、解答題7.2016年某市某樓盤(pán)以每平方米6 500元的均價(jià)對(duì)外銷售,因?yàn)闃潜P(pán)滯銷,房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn),決定進(jìn)行降價(jià)促銷,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年下調(diào),2018年的均價(jià)為每平方米5 265元.(1)求平均每年下調(diào)的百分率;(2)假設(shè)2019年的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率,張強(qiáng)準(zhǔn)備購(gòu)買一套100平方米的住房,他持有現(xiàn)金20萬(wàn)元,可以在銀行貸款30萬(wàn)元,張強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?(房?jī)r(jià)每平方米按照均價(jià)計(jì)算)欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練解析解析(1)設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為x,根據(jù)題意得,6 500(1-x)2=5 265,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故平均每年下調(diào)的百分率為10%.(2)由題意可知2019年的均價(jià)為每平方米5 265(1-10%)=4 738.5元,則100平方米的住房總房款為1004 738.5=47.385萬(wàn)元,因20+3047.385,所以張強(qiáng)的愿望能夠?qū)崿F(xiàn).