2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc
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2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc
2.2.2 反證法
[課時作業(yè)]
[A組 基礎鞏固]
1.命題“△ABC中,若∠A>∠B,則a>b”的結論的否定應該是( )
A.a<b B.a≤b
C.a=b D.a≥b
解析:“a>b”的否定應為“a=b或a<b”,即a≤b.故應選B.
答案:B
2.用反證法證明命題:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個負數(shù)”時的假設為( )
A.a,b,c,d全都大于等于0
B.a,b,c,d全為正數(shù)
C.a,b,c,d中至少有一個正數(shù)
D.a,b,c,d中至多有一個負數(shù)
解析:至少有一個負數(shù)的否定是一個負數(shù)也沒有,即a,b,c,d全都大于等于0.
答案:A
3.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”的否定正確的為( )
A.a,b,c都是奇數(shù)
B.a,b,c都是偶數(shù)
C.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)
D.a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)
解析:自然數(shù)a,b,c的奇偶性共有四種情形:(1)3個都是奇數(shù);(2)2個奇數(shù),1個偶數(shù);(3)1個奇數(shù),2個偶數(shù);(4)3個都是偶數(shù).所以否定正確的是a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù).
答案:D
4.給定一個命題“已知x1>0,x2≠1且xn+1=,證明對任意正整數(shù)n都有xn>xn+1”,當此題用反證法否定結論時應是( )
A.對任意正整數(shù)n有xn≤xn+1
B.存在正整數(shù)n使xn≤xn+1
C.存在正整數(shù)n使xn>xn+1
D.存在正整數(shù)n使xn≥xn-1且xn≥xn+1
解析:“對任意正整數(shù)n都有xn>xn+1”的否定為“存在正整數(shù)n使xn≤xn+1”.
答案:B
5.設a,b,c∈(-∞,0),則三數(shù)a+,c+,b+中( )
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一個不大于-2
D.至少有一個不小于-2
解析:++=++
∵a,b,c∈(-∞,0),∴a+=-≤-2,b+=-≤-2,
c+=-≤-2,
∴++≤-6,
∴三數(shù)a+、c+、b+中至少有一個不大于-2,故應選C.
答案:C
6.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________________________________________________________________________.
解析:“至少有一個”的否定是“沒有一個”.
答案:沒有一個是三角形或四邊形或五邊形
7.△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內的一點,∠APB>∠APC,求證∠BAP<∠CAP.用反證法證明時的假設為________.
解析:反證法對結論的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的對立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP
8.用反證法證明命題:“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟:
①∠A+∠B+∠C=90+90+∠C>180,這與三角形內角和為180相矛盾,則∠A=∠B=90不成立;
②所以一個三角形中不能有兩個直角;
③假設∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角,不妨設∠A=∠B=90.
正確順序的序號排列為________.
解析:由反證法證明的步驟知,先反證即③,再推出矛盾即①,最后作出判斷,肯定結論即②,即順序應為③①②.
答案:③①②
9.已知a≥-1,求證以下三個方程:
x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數(shù)解.
證明:假設三個方程都沒有實根,則三個方程中:它們的判別式都小于0,即:
?
?-<a<-1,這與已知 a≥-1矛盾,所以假設不成立,故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解.
10.求證:不論x,y取何非零實數(shù),等式+=總不成立.
證明:假設存在非零實數(shù)x,y使得等式+=成立.
于是有y(x+y)+x(x+y)=xy,
即x2+y2+xy=0,
即(x+)2+y2=0.
由y≠0,得y2>0.
又(x+)2≥0,
所以(x+)2+y2>0.
與x2+y2+xy=0矛盾,故原命題成立.
[B組 能力提升]
1.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中一位獲獎,有人走訪了這四位歌手,甲說:“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了.”丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析:若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁四位歌手說的話都是假的,同理可推出乙、丙、丁獲獎的情況,最后可知獲獎的歌手是丙.
答案:C
2.若△ABC能被一條直線分成兩個與自身相似的三角形,那么這個三角形的形狀是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.不確定
解析:分△ABC的直線只能過一個頂點且與對邊相交,如直線AD(點D在BC上),則∠ADB+∠ADC=π,若∠ADB為鈍角,則∠ADC為銳角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD與△ACD不可能相似,與已知不符,只有當∠ADB=∠ADC=∠BAC=時,才符合題意.
答案:B
3.已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=an+2,bn=bn+1(a,b是常數(shù)),且a>b,那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項有________個.
解析:假設存在序號和數(shù)值均相等的項,即存在n使得an=bn,由題意a>b,n∈N*,則恒有an>bn,從而an+2>bn+1恒成立,∴不存在n使an=bn.
答案:0
4.完成反證法證題的全過程.設a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一個排列,求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)為偶數(shù).
證明:假設p為奇數(shù),則a1-1,a2-2,…,a7-7均為奇數(shù).因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù),故有奇數(shù)=________=________=0.但0≠奇數(shù),這一矛盾說明p為偶數(shù).
解析:據(jù)題目要求及解題步驟,
因為a1-1,a2-2,…,a7-7均為奇數(shù),
所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也為奇數(shù).
即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)為奇數(shù).
又因為a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一個排列,
所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式為0.
所以奇數(shù)=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.
答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
5.已知a,b,c都是小于1的正數(shù),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個不大于.
證明:假設(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于,
即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.
∵a,b,c都是小于1的正數(shù),
∴>,>,>,
∴++>.(*)
又∵≤,≤,≤,
∴++≤++==(當且僅當1-a=b,1-b=c,1-c=a,即a=b=c=時,等號成立),與(*)式矛盾.
∴假設不成立,原命題成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個不大于.
6.求證:拋物線上任取四個不同點所組成的四邊形不可能是平行四邊形.
證明:如圖,設拋物線方程為
y2=2px(p>0),
在拋物線上任取四個不同點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
則y=2pxi(i=1,2,3,4),
于是直線AB的斜率為kAB==,
同理:kBC=,kCD=,kDA=.
假設四邊形ABCD為平行四邊形,
則有kAB=kCD,kBC=kDA,
即有
①-②得y1-y3=y(tǒng)3-y1,
∴y1=y(tǒng)3,同理y2=y(tǒng)4,
則x1===x3,
同理x2=x4,
由,.
顯然A,C重合,B,D重合.這與A,B,C,D為拋物線上任意四點矛盾,故假設不成立.
∴四邊形ABCD不可能是平行四邊形.