2018高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)提升練習(xí) 蘇教版選修1 -2.doc
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2018高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)提升練習(xí) 蘇教版選修1 -2.doc
第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1復(fù)數(shù)的概念(1)虛數(shù)單位i;(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式zabi(a,bR);(3)復(fù)數(shù)的實部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)2復(fù)數(shù)集3復(fù)數(shù)的四則運算若兩個復(fù)數(shù)z1a1b1i,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)(1)加法:z1z2(a1a2)(b1b2)i;(2)減法:z1z2(a1a2)(b1b2)i;(3)乘法:z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i;(4)除法:i(z20);(5)實數(shù)四則運算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況;(6)特殊復(fù)數(shù)的運算:in(n為正整數(shù))的周期性運算;(1i)22i;若i,則31,120.4共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模(1)若zabi,則abi,z為實數(shù),z為純虛數(shù)(b0)(2)復(fù)數(shù)zabi的模|z|,且z|z|2a2b2.5復(fù)數(shù)的幾何形式(1)用點Z(a,b)表示復(fù)數(shù)zabi(a,bR),用向量O表示復(fù)數(shù)zabi(a,bR),Z稱為z在復(fù)平面上的對應(yīng)點,復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)(坐標(biāo)原點對應(yīng)實數(shù)0)(2)任何一個復(fù)數(shù)zabi一一對應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個點Z(a,b),也一一對應(yīng)著一個從原點出發(fā)的向量.6復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量、不共線,則復(fù)數(shù)z1z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù)(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1z2是連接向量、的終點,并指向Z1的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).題型一分類討論思想的應(yīng)用當(dāng)復(fù)數(shù)的實部與虛部含有字母時,利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類討論分別確定什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)當(dāng)xyi沒有說明x,yR時,也要分情況討論例1已知復(fù)數(shù)z(a25a6)i(aR),試求實數(shù)a分別取什么值時,z分別為(1)實數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù)解(1)當(dāng)z為實數(shù)時,則有當(dāng)a6時,z為實數(shù)(2)當(dāng)z為虛數(shù)時,則有a1且a6,即當(dāng)a(,1)(1,1)(1,6)(6,)時,z為虛數(shù)(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時,則有不存在實數(shù)a,使z為純虛數(shù)跟蹤演練1當(dāng)實數(shù)a為何值時,za22a(a23a2)i.(1)為實數(shù);(2)為純虛數(shù);(3)對應(yīng)的點在第一象限內(nèi);(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線xy0上解(1)zRa23a20,解得a1或a2.(2)z為純虛數(shù),則即故a0.(3)z對應(yīng)的點在第一象限,則a0,或a2.a的取值范圍是(,0)(2,)(4)依題設(shè)(a22a)(a23a2)0,a2.題型二數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想,又是一種常用的數(shù)學(xué)方法本章中,復(fù)數(shù)本身的幾何意義、復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)它們得以相互轉(zhuǎn)化涉及的主要問題有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的位置、復(fù)數(shù)運算及模的最值問題等例2已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復(fù)平面上對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為12i,26i,OABC.求頂點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z.解設(shè)zxyi,x,yR,如圖OABC,OCBA,kOAkBC,|zC|zBzA|,即解得或OABC,x23,y24(舍去),故z5.跟蹤演練2已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|1,求|zz1|的最大值解(1)|z1|i(1i)3|i|1i|32.(2)如圖所示,由|z|1可知,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為1,圓心為O(0,0)的圓,而z1對應(yīng)著坐標(biāo)系中的點Z1(2,2)所以|zz1|的最大值可以看成是點Z1(2,2)到圓上的點的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓半徑)21.題型三轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用在求復(fù)數(shù)時,常設(shè)復(fù)數(shù)zxyi(x,yR),把復(fù)數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)x,y滿足的條件,即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的基本思想在本章中非常重要例3已知z是復(fù)數(shù),z2i,均為實數(shù),且(zai)2的對應(yīng)點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi(x,yR),則z2ix(y2)i為實數(shù),y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i為實數(shù),x4.z42i,又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限解得2<a<6.實數(shù)a的取值范圍是(2,6)跟蹤演練3已知x,y為共軛復(fù)數(shù),且(xy)23xyi46i,求x,y.解設(shè)xabi(a,bR),則yabi.又(xy)23xyi46i,4a23(a2b2)i46i,或或或或或或題型四類比思想的應(yīng)用復(fù)數(shù)加、減、乘、除運算的實質(zhì)是實數(shù)的加減乘除,加減法是對應(yīng)實、虛部相加減,而乘法類比多項式乘法,除法類比根式的分子分母有理化,且要注意i21.在運算的過程中常用來降冪的公式有(1)i的乘方:i4k1,i4k1i,i4k21,i4k3i(kZ);(2)(1i)22i;(3)設(shè)i,則31,2,120,2,3n1,3n1(nN*)等;(4)31;(5)作復(fù)數(shù)除法運算時,有如下技巧:i,利用此結(jié)論可使一些特殊的計算過程簡化例4計算:(1)(1i)(1i);(2)2014.解(1)方法一(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.方法二原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)2014()1007iii0.跟蹤演練4計算:.解2(i3)i12i.高考對本章考查的重點1對復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ),要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實部、虛部、復(fù)數(shù)的模等概念2對復(fù)數(shù)四則運算的考查可能性較大,要加以重視,其中復(fù)數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似;對于復(fù)數(shù)的除法運算,將分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)最后整理成abi(a,bR)的結(jié)構(gòu)形式3對復(fù)數(shù)幾何意義的考查在高考中一般會結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減運算考查復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義