（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 專題檢測（九）三角恒等變換與解三角形 理（普通生含解析）.doc

專題檢測（九） 三角恒等變換與解三角形 A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1．(2019屆高三益陽、湘潭調(diào)研)已知sin α＝，則cos(π＋2α)＝(　　) A.　　　　　　　　 　B．－ C. D．－ 解析：選D　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝，∴cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－，故選D. 2．(2018全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵S＝absin C＝＝＝abcos C， ∴sin C＝cos C，即tan C＝1. ∵C∈(0，π)，∴C＝.故選C. 3．若0<α<<β<π，cos α＝，sin(α＋β)＝－，則cos β＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B. C．－ D． 解析：選C　cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 因為α＋β∈，所以cos(α＋β)<0， 則cos(α＋β)＝－， 因為α∈，所以sin α>0， 所以sin α＝，cos β＝＋＝－. 4．若α，β∈，sin α＝，cos＝，則β－α＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由sin α＝，及α∈，得 cos α＝，由cos＝sin β＝， 及β∈，得cos β＝， 所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝－＝. 又因為β－α∈，所以β－α＝. 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cos A，則△ABC為(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形 解析：選A　根據(jù)正弦定理得＝<cos A， 即sin C<sin Bcos A. ∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin Bcos A， 整理得sin Acos B<0. 又三角形中sin A>0，∴cos B<0，<B<π， ∴△ABC為鈍角三角形． 6．(2018南昌一模)已知臺風中心位于城市A東偏北α(α為銳角)的150千米處，以 v千米/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北β(β為銳角)的200千米處，若cos α＝cos β，則v＝(　　) A．60 B．80 C．100 D．125 解析：選C　如圖，臺風中心為B,2.5小時后到達點C， 則在△ABC中，ABsin α＝ACsin β，即sin α＝sin β， 又cos α＝cos β， ∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β， ∴sin β＝cos β，∴sin β＝，cos β＝，∴sin α＝，cos α＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝0，∴α＋β＝， ∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故選C. 二、填空題 7．(2018全國卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________. 解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－， ∴sin(α＋β)＝－. 答案：－ 8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，則C等于________． 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A， 即sin A－cos A＝，2sin＝≥2，因此b＝c，A－＝?A＝， 所以C＝＝. 答案： 9．(2018長春質(zhì)檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若其面積S＝b2sin A，角A的平分線AD交BC于點D，AD＝，a＝，則b＝________. 解析：由面積公式S＝bcsin A＝b2sin A，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并結(jié)合角平分線定理可得，BD＝，CD＝， 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，在△ABD中， cos B＝，即＝，化簡得b2＝1，解得b＝1. 答案：1 三、解答題 10．(2018全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90，∠A＝45，AB＝2，BD＝5. (1)求cos ∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝， 即＝，所以sin ∠ADB＝. 由題設知，∠ADB<90， 所以cos ∠ADB＝ ＝. (2)由題設及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BDDCcos ∠BDC ＝25＋8－252＝25， 所以BC＝5. 11．(2018昆明調(diào)研)在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150. (1)求AB的長； (2)延長BC至D，使∠ADC＝45，求△ACD的面積． 解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， 得AB2＝12＋36－226cos 150＝84， 所以AB＝2. (2)因為∠ACB＝150，∠ADC＝45， 所以∠CAD＝150－45＝105， 由正弦定理＝，得CD＝，又sin 105＝sin(60＋45)＝sin 60cos 45＋cos 60sin 45＝，所以CD＝3＋， 又∠ACD＝180－∠ACB＝30，所以S△ACD＝ACCDsin∠ACD＝2(3＋)＝(＋1)． 12．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－. (1)求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a＝7，若銳角A滿足f＝，且sin B＋sin C＝，求bc的值． 解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 因此f(x)的最小正周期為T＝＝π. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f＝2sin＝2sin A＝，且A為銳角，所以A＝. 由正弦定理可得2R＝＝＝， sin B＋sin C＝＝， 則b＋c＝＝13， 所以cos A＝＝＝， 所以bc＝40. B組——大題專攻補短練 1．(2018天津五區(qū)縣聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 8 sin2－2cos 2C＝7. (1)求tan C的值； (2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值． 解：(1)在△ABC中，因為A＋B＋C＝π， 所以＝－，則sin＝cos. 由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7， 所以4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7， 即(2cos C－1)2＝0，所以cos C＝. 因為0＜C＜π，所以C＝， 于是tan C＝tan＝. (2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.① 又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ， 即a2＋b2－ab＝3.② 聯(lián)立①②，解得a＝1，b＝2. 2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足a2＋c2－b2＋2bccos A－4c＝0，且ccos A＝b(1－cos C)． (1)求c的值及判斷△ABC的形狀； (2)若C＝，求△ABC的面積． 解：(1)由a2＋c2－b2＋2bccos A－4c＝0及正弦定理得 a2＋c2－b2＋2bc－4c＝0， 整理，得c＝2. 由ccos A＝b(1－cos C)及正弦定理，得 sin Ccos A＝sin B(1－cos C)， 即sin B＝sin Ccos A＋sin Bcos C＝ sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Bcos C＝sin Acos C， 故cos C＝0或sin A＝sin B. 當cos C＝0時，C＝，故△ABC為直角三角形； 當sin A＝sin B時，A＝B，故△ABC為等腰三角形． (2)由(1)知c＝2，A＝B，則a＝b， 因為C＝，所以由余弦定理，得 4＝a2＋a2－2a2cos ，解得a2＝8＋4， 所以△ABC的面積S＝a2sin＝2＋. 3．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且△ABC的面積為S＝ accos B. (1)若c＝2a，求角A，B，C的大?。? (2)若a＝2，且≤A≤，求邊c的取值范圍． 解：由已知及三角形面積公式得 S＝acsin B＝accos B， 化簡得sin B＝cos B， 即tan B＝，又0<B<π，∴B＝. (1)法一：由c＝2a及正弦定理得，sin C＝2sin A， 又∵A＋C＝， ∴sin＝2sin A， 化簡可得tan A＝，而0<A<， ∴A＝，C＝. 法二：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝3a2， ∴b＝a， ∴a∶b∶c＝1∶∶2， ∴A＝，C＝. (2)由正弦定理得，＝＝， 即c＝＝， 由C＝－A，得 c＝＝ ＝＝＋1. 又由≤A≤，知1≤tan A≤， ∴2≤c≤＋1，故邊c的取值范圍為[2，＋1]． 4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c的值； (2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積． 解：(1)因為sin A＋cos A＝0， 所以sin A＝－cos A， 所以tan A＝－. 因為A∈(0，π)，所以A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 代入a＝2，b＝2得c2＋2c－24＝0， 解得c＝4或c＝－6(舍去)， 所以c＝4. (2)由(1)知c＝4. 因為c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以16＝28＋4－222cos C， 所以cos C＝，所以sin C＝， 所以tan C＝. 在Rt△CAD中，tan C＝， 所以＝，即AD＝. 即S△ADC＝2＝， 由(1)知S△ABC＝bcsin A＝24＝2， 所以S△ABD＝S△ABC－S△ADC＝2－＝.