2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 命題講義（含解析）新人教A版選修1 -1.doc

1．1.1　命　題 預(yù)習(xí)課本P2～4，思考并完成以下問題 1．命題、真命題、假命題的概念分別是什么？ 　 　 2．在命題“若p，則q”的形式中，p、q分別叫做命題的什么？ 　 　　　　 命題 [點睛]　(1)判斷一個語句是命題的兩個要素： ①是陳述句，表達(dá)形式可以是符號、表達(dá)式或語言； ②可以判斷真假． (2)命題的形式： ①有的命題有明確的條件p和結(jié)論q，而有的命題不明顯． ②確定命題的條件和結(jié)論時，最好把命題寫成“若p，則q”的形式． 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)“集合{a，b，c}有3個子集”是命題(　　) (2)“x2－3x＋2＝0”是命題(　　) 答案：(1)√　(2) 2．語句“若a>b，則a＋c>b＋c”(　　) A．不是命題　　　　　　　 　B．是真命題 C．是假命題 D．不能判斷真假 答案：B 3．下列語句中，是假命題的是(　　) A．一條直線有且只有一條垂線 B．不相等的兩個角一定不是對頂角 C．直角的補(bǔ)角必是直角 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 答案：A 4．把命題“末位數(shù)字是4的整數(shù)一定能被2整除”改寫成“若p，則q”的形式為________________________． 答案：若一個整數(shù)的末位數(shù)字是4，則它一定能被2整除 命題的概念 [典例]　判斷下列語句是否是命題，并說明理由． (1)是有理數(shù)； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面圖形呢？ (4)一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)． [解]　(1)“是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題． (2)因為無法判斷“3x2≤5”的真假，所以它不是命題． (3)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題． (4)“一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題． 判斷語句是否是命題的策略 (1)命題是可以判斷真假的陳述句，因此，疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題． (2)對于含變量的語句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷其真假，若能，就是命題；若不能，就不是命題． [活學(xué)活用] 判斷下列語句是否為命題，并說明理由． (1)若平面四邊形的邊都相等，則它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)對頂角相等嗎？ (4)x>3. 解：(1)是陳述句，能判斷真假，是命題． (2)是陳述句，能判斷真假，是命題． (3)不是陳述句，不是命題． (4)是陳述句，但不能判斷真假，不是命題. 判斷命題的真假 [典例]　判斷下列命題的真假，并說明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)當(dāng)x＝4時，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0； (4)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列一定為遞增數(shù)列． [解]　(1)是真命題，由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命題，x＝4不滿足2x＋1<0. (3)是真命題，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命題，因為當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項a1<0，公比q>1時，該數(shù)列為遞減數(shù)列． 命題真假的判定方法 (1)真命題的判斷方法 要判斷一個命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實依據(jù)，比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證． (2)假命題的判斷方法 通過構(gòu)造一個反例否定命題的正確性，這是判斷一個命題為假命題的常用方法．　　　　　　 [活學(xué)活用] 1．下列命題中，為假命題的是(　　) A．若a>0，則2a>1 B．若＋＝0，則x＝y(tǒng)＝0 C．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列 D．若sin α＝sin β，則不一定有α＝β 解析：選C　A選項，若a>0，則2a>1，正確；B選項，若＋＝0，可得x＝y(tǒng)＝0，正確；C選項，若b2＝ac，可知b＝a＝c＝0也成立，顯然不是等比數(shù)列．故選C. 2．判斷下列語句是否為命題，并判斷命題的真假． (1)一個正整數(shù)不是素數(shù)就是合數(shù)； (2)若x＋y和xy都是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)； (3)60x＋9>4； (4)若x∈N，則x2＋4x＋7>0. 解：(1)該語句是命題．由于整數(shù)1既不是素數(shù)，也不是合數(shù)，所以它是假命題． (2)該語句是命題.＋(－)和(－)都是有理數(shù)，但 ，－都是無理數(shù)，所以它是假命題． (3)這種含有未知數(shù)的語句中，不等式是否恒成立無法確定，即不能判斷其真假，所以它不是命題． (4)因為當(dāng)x∈N時，x2＋4x＋7>0恒成立，所以該語句是命題，且是真命題． 命題的結(jié)構(gòu)形式 [典例]　將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假． (1)6是12和18的公約數(shù)； (2)當(dāng)a>－1時，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根； (3)平行四邊形的對角線互相平分； (4)已知x，y為非零自然數(shù)，當(dāng)y－x＝2時，y＝4，x＝2. [解]　(1)若一個數(shù)是6，則它是12和18的公約數(shù)，是真命題． (2)若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根，是假命題． (3)若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分，是真命題． (4)已知x，y為非零自然數(shù)，若y－x＝2，則y＝4，x＝2，是假命題． 將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則 [注意]　命題改寫中的注意點 若命題不是以“若p，則q”這種形式給出時，首先要確定這個命題的條件p和結(jié)論q，進(jìn)而改寫成“若p，則q”的形式．　　　　 [活學(xué)活用] 把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假． (1)奇數(shù)不能被2整除； (2)當(dāng)(a－1)2＋(b－1)2＝0時，a＝b＝1； (3)兩個相似三角形是全等三角形； (4)在空間中，平行于同一個平面的兩條直線平行． 解：(1)若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，則a＝b＝1，是真命題． (3)若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題． (4)在空間中，若兩條直線平行于同一個平面，則這兩條直線平行，是假命題． 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．下列語句不是命題的有(　　) ①若a>b，b>c，則a>c；②x>2；③3<4；④函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函數(shù)． A．0個　　　　　　　　　 　B．1個 C．2個 D．3個 解析：選C　①③是可以判斷真假的陳述句，是命題；②④不能判斷真假，不是命題． 2．已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么下列命題中真命題的個數(shù)為(　　) ①M(fèi)中的元素都不是P的元素； ②M中有不屬于P的元素； ③M中有屬于P的元素； ④M中的元素不都是P的元素． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B?、佗坼e誤；②④正確． 3．給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個值可以是(　　) A．4 B．2 C．0 D．－3 解析：選C　方程無實根時，應(yīng)滿足Δ＝a2－4<0.故a＝0時適合條件． 4．下列命題中，為真命題的是(　　) A．對角線相等的四邊形是矩形 B．若一個球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則其體積變?yōu)樵瓉淼?倍 C．若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等 D．直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝1相切 解析：選B　等腰梯形對角形相等，不是矩形，故A中命題是假命題；由球的體積公式可知B中命題為真命題；C中命題為假命題，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均數(shù)相等，但標(biāo)準(zhǔn)差顯然不相等；圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝<1，故直線與圓相交，所以D中命題為假命題． 5．給出下列命題： ①若直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，則l⊥m； ②若a，b都是正實數(shù)，則a＋b≥2； ③若x2>x，則x>1； ④函數(shù)y＝x3是指數(shù)函數(shù)． 其中假命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C?、僦?，顯然l∥m或l與m重合，所以①是假命題；由基本不等式，知②是真命題；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命題；④中，函數(shù)y＝x3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，所以④是假命題．故選C. 6．下列語句中是命題的有________(填序號)，其中是真命題的有________(填序號)． ①垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？ ②一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)； ③大角所對的邊大于小角所對的邊； ④△ABC中，若∠A＝∠B，則sin A＝sin B； ⑤求證方程x2＋x＋1＝0無實根． 解析：①疑問句．沒有對垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷，不是命題； ②是假命題，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)； ③是假命題，沒有考慮在同一個三角形內(nèi)； ④是真命題； ⑤祈使句，不是命題． 答案：②③④　④ 7．給出下列命題： ①22 340能被3或5整除； ②不存在x∈R，使得x2＋x＋1<0； ③對任意的實數(shù)x，均有x＋1>x； ④方程x2－2x＋3＝0有兩個不等的實根． 其中假命題有________．(填序號) 解析：易知①②③為真命題；④中Δ＝4－12<0， 方程x2－2x＋3＝0無實根，因而④為假命題． 答案：④ 8．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．當(dāng)a＝0時，－3≤0恒成立； 當(dāng)a≠0時，則有解得－3≤a<0. 綜上，－3≤a≤0. 答案：[－3,0] 9．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假． (1)當(dāng)m>時，mx2－x＋1＝0無實根； (2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； (3)與同一直線平行的兩個平面平行； (4)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除． 解：(1)原命題可以改寫成：若m>，則mx2－x＋1＝0無實根． 因為Δ＝1－4m<0，所以是真命題． (2)原命題可以改寫成：“若一個函數(shù)為奇函數(shù)，則它的圖象關(guān)于原點對稱”．它是真命題． (3)原命題可以改寫成：“若兩個平面與同一條直線平行，則這兩個平面平行”．它是假命題，這兩個平面也可能相交． (4)原命題可以改寫成：若一個數(shù)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除．這個命題是真命題． 10．已知A：5x－1>a，B：x>1，請選擇適當(dāng)?shù)膶崝?shù)a，使得利用A，B 構(gòu)造的命題“若p，則q”為真命題． 解：若視A為p，則命題“若p，則q”為“若x>，則x>1”．由命題為真命題可知≥1，解得a≥4； 若視B為p，則命題“若p，則q”為“若x>1，則x>”．由命題為真命題可知≤1，解得a≤4. 故a取任一實數(shù)均可利用A，B構(gòu)造出一個真命題，比如這里取a＝1，則有真命題“若x>1，則x>”． 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．下列命題為真命題的是(　　) A．若＝，則x＝y(tǒng)　 　 　B．若x2＝1，則x＝1 C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若x<y，則x2<y2 解析：選A　很明顯A正確；B中，由x2＝1，得x＝1，所以B是假命題；C中，當(dāng)x＝y(tǒng)<0時，結(jié)論不成立，所以C是假命題；D中，當(dāng)x＝－1，y＝1時，結(jié)論不成立，所以D是假命題．故選A. 2．設(shè)l1，l2表示兩條直線，α表示平面，若有：①l1⊥l2，②l1⊥α，③l2?α，則以其中兩個為條件，另一個為結(jié)論，可以構(gòu)造的所有命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　由l1⊥α，l2?α，得l1⊥l2；由l1⊥l2，l2?α推不出l1⊥α；由l1⊥l2，l1⊥α，推不出l2?α，也可能l2∥α.故真命題有1個． 3．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的《相思》，這首詩中，在當(dāng)時條件下，可以作為命題的是(　　) A．紅豆生南國 B．春來發(fā)幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思 解析：選A　“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題，故選A. 4．下面的命題中是真命題的是(　　) A．y＝sin2x的最小正周期為2π B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根同號，則>0 C．如果M?N，那么M∪N＝M D．在△ABC中，若>0，則B為銳角 解析：選B　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A為假命題；當(dāng)M?N時，M∪N＝N，故C為假命題；在三角形ABC中，當(dāng)>0時，向量與的夾角為銳角，B應(yīng)為鈍角，故D為假命題．故選B. 5．命題“若a>0，則二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直線x＋ay－1＝0的右上方區(qū)域(包括邊界)”條件p：________，結(jié)論q：________________________________.它是______命題(填“真”或“假”)． 解析：a>0時，設(shè)a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得 －1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直線的右上方區(qū)域(包括邊界)，∴命題為真命題． 答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直線x＋ay－1＝0的右上方區(qū)域(包含邊界)　真 6．函數(shù)f(x)的定義域為A，若當(dāng)x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時，總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)；③在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．其中的真命題是________．(填序號) 解析：由x＝x，未必有x1＝x2，故①為假命題；對于f(x)＝2x，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時一定有x1＝x2，故②為真命題；當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)時，一定有“若f(x1)＝f(x2)，則x1＝x2”，故③為真命題．故真命題是②③. 答案：②③ 7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集為R；q：函數(shù)f(x)＝－(7－3m)x是減函數(shù)．若這兩個命題中有且只有一個是真命題，求實數(shù)m的取值范圍． 解：若命題p為真命題，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1； 若命題q為真命題，則7－3m>1，即m<2. 命題p和q中有且只有一個是真命題，則p真q假或p假q真， 即或所以1<m<2. 故實數(shù)m的取值范圍是(1,2)． 8．試探究命題“方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解”為真命題時，a，b滿足的條件． 解：方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，要考慮方程為一元一次方程和一元二次方程兩種情況： 當(dāng)a＝0時，方程ax2＋bx＋1＝0為bx＋1＝0，只有當(dāng)b≠0時，方程有實數(shù)解x＝－； 當(dāng)a≠0時，方程ax2＋bx＋1＝0為一元二次方程，方程有實數(shù)解的條件為Δ＝b2－4a≥0. 綜上知，當(dāng)a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0時，方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解．