（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題十六 概率、隨機(jī)變量及其分布列講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc

專(zhuān)題十六 概率、隨機(jī)變量及其分布列 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 幾何概型T10 古典概型T8 相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布及方差的計(jì)算T8 二項(xiàng)分布、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及變量的數(shù)學(xué)期望、決策性問(wèn)題T20 2017 數(shù)學(xué)文化、有關(guān)面積的幾何概型T2 二項(xiàng)分布的方差T13 頻數(shù)分布表、概率分布列的求解、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用T18 正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)及概率、方差T19 2016 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型T4 幾何概型、隨機(jī)模擬T10 ____________ 柱狀圖、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率、分布列和數(shù)學(xué)期望T19 互斥事件的概率、條件概率、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望T18 縱向把握趨勢(shì) 卷Ⅰ3年6考，且每年均有“一小一大”兩題同時(shí)考查，連續(xù)3年均以選擇題的形式考查了幾何概型，解答題涉及事件的相互獨(dú)立性、二項(xiàng)分布、數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，難度適中.2018年高考將二項(xiàng)分布與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合是高考的一大亮點(diǎn)．預(yù)計(jì)2019年高考仍會(huì)延續(xù)“一小一大”的命題規(guī)律，小題考查古典概型或幾何概型，大題考查二項(xiàng)分布及均值、方差 卷Ⅱ3年4考，主要以選擇題和填空題的形式考查，涉及古典概型、幾何概型、隨機(jī)模擬、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布的方差等，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查二項(xiàng)分布的應(yīng)用問(wèn)題 卷Ⅲ3年2考，涉及相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，難度適中．預(yù)計(jì)2019年高考可能以解答題的形式考查二項(xiàng)分布及其應(yīng)用問(wèn)題 橫向把握重點(diǎn) 1.概率、隨機(jī)變量及其分布是高考命題的熱點(diǎn)之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇題或填空題和一道解答題． 2.選擇題或填空題常出現(xiàn)在第4～10題或第13～15題的位置，主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型，難度一般. 古典概型與幾何概型 [題組全練] 1．利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a，則不等式ln(3a－1)<0成立的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　由ln(3a－1)<0得<a<，則用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a，不等式ln(3a－1)<0成立的概率是P＝. 2．(2018貴陽(yáng)模擬)點(diǎn)集Ω＝{(x，y)|0≤x≤e,0≤y≤e}，A＝{(x，y)|y≥ex，(x，y)∈Ω}，在點(diǎn)集Ω中任取一個(gè)元素a，則a∈A的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　如圖，根據(jù)題意可知Ω表示的平面區(qū)域?yàn)檎叫蜝CDO，面積為e2，A表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，面積為(e－ex)dx＝(ex－ex) ＝(e－e)－(－1)＝1，根據(jù)幾何概型可知a∈A的概率P＝. 3．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下的2種顏色的花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花種在同一花壇的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　把這4種顏色的花種在兩個(gè)花壇中的所有情況為(紅，黃)，(白，紫)；(紅，白)，(黃，紫)；(紅，紫)，(黃，白)；(黃，白)，(紅，紫)；(黃，紫)，(紅，白)；(白，紫)，(紅，黃)，共有6種，其中紅色和紫色的花種在同一花壇的情況有2種，所以紅色和紫色的花種在同一花壇的概率P＝＝. 4.(2018全國(guó)卷Ⅰ)如圖，來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 解析：選A　法一：∵S△ABC＝ABAC，以AB為直徑的半圓的面積為π2＝AB2，以AC為直徑的半圓的面積為π2＝AC2，以BC為直徑的半圓的面積為π2＝BC2， ∴SⅠ＝ABAC， SⅢ＝BC2－ABAC， SⅡ＝－ ＝ABAC. ∴SⅠ＝SⅡ. 由幾何概型概率公式得p1＝，p2＝， ∴p1＝p2.故選A. 法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形， AB＝AC＝2，則BC＝2， 所以區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積， 為S1＝22＝2， 區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π12－＝2， 區(qū)域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2. 根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式， 得p1＝p2＝，p3＝， 所以p1≠p3，p2≠p3， p1≠p2＋p3，故選A. [系統(tǒng)方法] 古典概型、幾何概型概率的求法 (1)求古典概型的概率，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)．常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí)，計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類(lèi)，做到不重不漏． (2)求幾何概型的概率，構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關(guān)鍵，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域. 相互獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) [題組全練] 1.如圖，四邊形ABCD是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接正方形，且E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．將一枚針隨機(jī)擲到圓O內(nèi)，用M表示事件“針落在正方形ABCD內(nèi)”，N表示事件“針落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(N|M)等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由已知得正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，正方形EFGH的邊長(zhǎng)為1， 所以P(M)＝＝，P(N)＝＝. 因?yàn)镻(MN)＝P(N)， 所以P(N|M)＝＝＝. 2．生產(chǎn)某零件需要經(jīng)過(guò)兩道工序，在第一、第二道工序中產(chǎn)生廢品的概率分別為0.01和p，每道工序產(chǎn)生廢品相互獨(dú)立．若經(jīng)過(guò)兩道工序后得到的零件不是廢品的概率是0.960 3，則p＝________. 解析：由題意得(1－0.01)(1－p)＝0.960 3， 解得p＝0.03. 答案：0.03 3.如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開(kāi)車(chē)送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線(xiàn)．若該地各路段發(fā)生堵車(chē)與否是相互獨(dú)立的，且各路段發(fā)生堵車(chē)事件的概率如圖所示例如A→C→D算作兩個(gè)路段，路段AC發(fā)生堵車(chē)事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車(chē)事件的概率為.若使途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線(xiàn)是________． 解析：由已知得路線(xiàn)A→C→D→B途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率為P1＝1－＝. 路線(xiàn)A→E→F→B途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率P2＝1－＝. 因?yàn)?lt;，故應(yīng)選擇路線(xiàn)A→E→F→ B. 答案：A→E→F→B [系統(tǒng)方法] 1．條件概率的求法 (1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.這是通用的求條件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝. 2．求復(fù)雜事件概率的方法及注意點(diǎn) (1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，然后用相應(yīng)概率公式求解． (2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況較多，反面情況較少時(shí)，可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解． (3)注意點(diǎn)：注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征： ①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況； ②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同. 離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 [多維例析] 角度一　超幾何分布與數(shù)學(xué)期望的求解 　　　在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)． [解]　(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M， 則P(M)＝＝. (2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4，則 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝2. [類(lèi)題通法] 1．離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟 2．超幾何分布的概率與期望的求法 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量X，如果能夠斷定它服從超幾何分布H(N，M，n)，則其概率、期望可直接利用公式P(X＝k)＝(k＝0,1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，E(X)＝求解． 角度二　二項(xiàng)分布與數(shù)學(xué)期望的求解 　(2018惠州第二次調(diào)研)某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，以班級(jí)為單位組織學(xué)生開(kāi)展古詩(shī)詞背誦比賽，隨機(jī)抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯(cuò)誤減10分，且背誦結(jié)果只有“正確”和“錯(cuò)誤”兩種．其中某班級(jí)學(xué)生背誦正確的概率p＝，記該班級(jí)完成n首背誦后的總得分為Sn. (1)求S6＝20且Si≥0(i＝1,2,3)的概率； (2)記ξ＝|S5|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [解]　(1)當(dāng)S6＝20時(shí)，即背誦6首后，正確的有4首，錯(cuò)誤的有2首． 由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背誦正確，則其余4首可任意背誦正確2首； 若第一首背誦正確，第二首背誦錯(cuò)誤，第三首背誦正確，則其余3首可任意背誦正確2首． 則所求的概率P＝2C22＋C2＝. (2)由題意知ξ＝|S5|的所有可能的取值為10,30,50， 又p＝， ∴P(ξ＝10)＝C32＋C23＝，P(ξ＝30)＝C41＋C14＝，P(ξ＝50)＝C50＋C05＝， ∴ξ的分布列為 ξ 10 30 50 P ∴數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝10＋30＋50＝. [類(lèi)題通法]　與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法 (1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量． (2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線(xiàn)性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)． 角度三　相互獨(dú)立事件的概率及其分布列、期望 　(2019屆高三益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)某乒乓球俱樂(lè)部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線(xiàn)和未出線(xiàn)兩種情況．規(guī)定一名運(yùn)動(dòng)員出線(xiàn)記1分，未出線(xiàn)記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線(xiàn)的概率分別為，，，他們出線(xiàn)與未出線(xiàn)是相互獨(dú)立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線(xiàn)的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員的得分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [解]　(1)記“甲出線(xiàn)”為事件A，“乙出線(xiàn)”為事件B，“丙出線(xiàn)”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線(xiàn)”為事件D， 則P(D)＝1－P( )＝1－＝. (2)由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3， 則P(ξ＝0)＝P( )＝＝， P(ξ＝1)＝P(A )＋P( B)＋P( C)＝＋＋＝， P(ξ＝2)＝P(A B )＋P(A C)＋P(BC)＝＋＋＝， P(ξ＝3)＝P(ABC)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. [類(lèi)題通法]　解相互獨(dú)立事件概率問(wèn)題的策略 (1)會(huì)分拆事件，即先把事件分拆成若干個(gè)互斥事件，再把其中的每個(gè)事件分拆成若干個(gè)相互獨(dú)立事件； (2)會(huì)用公式，若事件A，B是相互獨(dú)立事件，則P(AB)＝P(A)P(B)，若事件A，B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． [綜合訓(xùn)練] (2017全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 解：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500， 由表格數(shù)據(jù)知 P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n0.4＋(1 200－2n)0.4＋(800－2n)0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時(shí)， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n(0.4＋0.4)＋(800－2n)0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元. 樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合問(wèn)題 [由題知法] 　　　為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)． (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． ①試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； ②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04 10．26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95 經(jīng)計(jì)算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)≈0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09. [解]　(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學(xué)期望為EX＝160.002 6＝0.041 6. (2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為＝9.97，σ的估計(jì)值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估計(jì)值為10.02. ＝160.2122＋169.972≈1 591.134， 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.134－9.222－1510.022)≈0.008， 因此σ的估計(jì)值為≈0.09. [類(lèi)題通法]　正態(tài)分布下兩類(lèi)常見(jiàn)的概率計(jì)算 (1)利用正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1. (2)利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)． [應(yīng)用通關(guān)] 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖． (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)． (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)； ②某用戶(hù)從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)．利用①的結(jié)果，求E(X)． 附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.954 5. 解：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為＝1700.02＋1800.09＋1900.22＋2000.33＋2100.24＋2200.08＋2300.02＝200， s2＝(－30)20.02＋(－20)20.09＋(－10)20.22＋00.33＋1020.24＋2020.08＋3020.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)≈0.682 7. ②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7， 依題意知X～B(100，0.682 7)， 所以E(X)＝1000.682 7＝68.27. [高考大題通法點(diǎn)撥] 概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題重在“辨”——辨析、辨型 [思維流程] 　　[策略指導(dǎo)] (1)準(zhǔn)確弄清問(wèn)題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對(duì)立、獨(dú)立等； (2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、恰有幾個(gè)發(fā)生等； (3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無(wú)順序等； (4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來(lái)計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計(jì)算公式和性質(zhì)來(lái)計(jì)算事件的概率； (5)確定隨機(jī)變量取值并求其對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列后再求期望． (6)會(huì)套用求、K2的公式求值，再作進(jìn)一步求值與分析．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么想什么 求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率，想到保費(fèi)高于基本保費(fèi)的出現(xiàn)次數(shù)及相應(yīng)的概率 給什么用什么 題目中的表格給出了一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)所對(duì)應(yīng)的概率和保費(fèi)，想到互斥事件的概率，利用互斥事件的概率公式求解 第(2)問(wèn) 求什么想什么 求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率，想到保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的情況有哪些 給什么用什么 題目給出的條件為“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，因此根據(jù)條件概率的定義可知該事件屬于條件概率，可用條件概率公式求解 缺什么找什么 要利用條件概率公式求解，缺少“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”的概率以及“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)且保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率”，從題目表格中的數(shù)據(jù)可知 第(3)問(wèn) 求什么想什么 求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值，想到求平均保費(fèi)即保費(fèi)的均值 給什么用什么 結(jié)合題目中的兩個(gè)表格，可知保費(fèi)為0.85a，a,1.25a,1.5a,1.75a,2a，所對(duì)應(yīng)的概率分別為0.30,0.15,0.20,0.20,0.10,0.05，利用均值公式求解即可 　　[規(guī)范解答] (1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”， 則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝ ＝＝. 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 　　　　　　　　　　　　　 E(X)＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. [關(guān)鍵點(diǎn)撥] (1)會(huì)判斷，先判斷事件的類(lèi)型，再利用對(duì)立事件的概率公式、條件概率的公式等求解概率； (2)會(huì)計(jì)算，要求隨機(jī)變量X的期望，需先求出X的所有可能取值，然后求出隨機(jī)變量X取每個(gè)值時(shí)的概率，再利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算． 　為研究家用轎車(chē)在高速公路上的車(chē)速情況，交通部門(mén)隨機(jī)選取100名家用轎車(chē)駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車(chē)速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100 km/h的有40人，不超過(guò)100 km/h 的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100 km/h的有20人，不超過(guò)100 km/h的有25人． (1)完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.005 的前提下認(rèn)為“平均車(chē)速超過(guò)100 km/h與性別有關(guān)”？ 平均車(chē)速超過(guò)100 km/h 平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h 總計(jì) 男性駕駛員 女性駕駛員 總計(jì) 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋ d. P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率； (3)以樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，從高速公路上行駛的家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車(chē)平均車(chē)速超過(guò)100 km/h且為男性駕駛員的車(chē)輛數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)． [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么想什么 判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“平均車(chē)速超過(guò)100 km/h與性別有關(guān)”，想到計(jì)算K2的觀測(cè)值 給什么用什么 分別給出55名男性駕駛員和45名女性駕駛員中平均速度超過(guò)100 km/h和不超過(guò)100 km/h的人數(shù)，利用22列聯(lián)表進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，并代入K2公式求解，并對(duì)照附表中數(shù)據(jù)給出結(jié)論 第(2)問(wèn) 求什么想什么 求抽取的2人中恰有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率，想到判斷概率模型及相應(yīng)的概率公式 給什么用什么 題目條件中給出平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h的男、女駕駛員的人數(shù)，可借助組合的知識(shí)求出從中隨機(jī)抽取2人的所有情況數(shù)及恰有1男、1女的情況，代入古典概型的概率公式求解即可 第(3)問(wèn) 求什么想什么 求X的分布列和E(X)，想到X的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率值 給什么用什么 題目條件中給出抽樣方法，由于是從高速公路上行駛的家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取3輛，總體容量非常大，故可認(rèn)為該抽樣中的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布 差什么找什么 缺少X的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率值，結(jié)合已知條件，利用二項(xiàng)分布求得分布列及E(X) [規(guī)范解答] (1)完成的列聯(lián)表如下： 平均車(chē)速超過(guò)100 km/h 平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h 總計(jì) 男性駕駛員 40 15 55 女性駕駛員 20 25 45 總計(jì) 60 40 100 由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值k＝≈8.249＞7.879， 所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“平均車(chē)速超過(guò)100 km/h與性別有關(guān)”． (2)平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h的駕駛員有40人，從中隨機(jī)抽取2人的方法總數(shù)為C，記 “這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件A， 則事件A所包含的基本事件數(shù)為CC， 所以所求的概率P(A)＝＝＝. (3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從總體中任取1輛車(chē)，平均車(chē)速超過(guò)100 km/h且為男性駕駛員的概率為＝， 故X～B. 所以P(X＝0) ＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 　　　　　　　　　　　　　 E(X)＝0＋1＋2＋3＝. [關(guān)鍵點(diǎn)撥] (1)會(huì)利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理、排列與組合，以及古典概型的概率公式求隨機(jī)變量的概率；能準(zhǔn)確判斷隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后求出隨機(jī)變量X取每個(gè)值時(shí)的概率，即可得隨機(jī)變量X的分布列；還需活用定義，即會(huì)活用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算． (2)獨(dú)立性檢驗(yàn)是用來(lái)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值K2，K2越大，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可能性越大． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 　(2018遼寧大連期中)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的單價(jià)進(jìn)行試銷(xiāo)，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示. 試銷(xiāo)單價(jià)x/元 4 5 6 7 a 9 產(chǎn)品銷(xiāo)量y/件 b 84 83 80 75 68 已知變量x，y具有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且i＝39，i＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得其回歸方程分別為：甲：y＝4x＋54；乙：y＝－4x＋106；丙：y＝－4.2x＋105.其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的． (1)試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確，并求出a，b的值； (2)若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，i)中的i與檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi差的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱(chēng)該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)已知變量x，y具有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲的計(jì)算結(jié)果不對(duì)，由題意得，＝＝6.5，＝＝80， 將＝6.5，＝80分別代入乙、丙的回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知乙的計(jì)算結(jié)果正確， 故回歸方程為y＝－4x＋106. 由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8， 由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90. (2)列出估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，i)與檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)如表. x 4 5 6 7 8 9 y 90 84 83 80 75 68 90 86 82 78 74 70 易知有3個(gè)“理想數(shù)據(jù)”，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. [總結(jié)升華] 概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的求解關(guān)鍵是辨別它的模型，只要找到模型，問(wèn)題便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要經(jīng)過(guò)觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過(guò)程，常常因題設(shè)條件理解不準(zhǔn)，某個(gè)概念認(rèn)識(shí)不清而誤入歧途．另外，還需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別，合理劃分復(fù)合事件． [專(zhuān)題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P203) 一、全練保分考法——保大分 1．(2018全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　不超過(guò)30的所有素?cái)?shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C＝45種情況，而和為30的有7＋23,11＋19,13＋17這3種情況，∴所求概率為＝.故選C. 2．(2018武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　投擲骰子兩次，所得的點(diǎn)數(shù)a和b滿(mǎn)足的關(guān)系為∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a. 當(dāng)b＝1時(shí)，沒(méi)有a符合條件；當(dāng)b＝2時(shí)，a可取1；當(dāng)b＝3時(shí)，a可取1,2；當(dāng)b＝4時(shí)，a可取1,2,3,4；當(dāng)b＝5時(shí)，a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)b＝6時(shí)，a可取1,2,3,4,5,6. 滿(mǎn)足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解的概率P＝. 3．(2018合肥質(zhì)檢)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100,4)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取10 000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有(　　) 附：若X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5. A．3 413件　　　　　　　 B．4 772件 C．6 826件 D．8 186件 解析：選D　由題意知μ＝100，σ＝2，則P(98＜X＜104)＝[P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈0.818 6，所以質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有10 0000.818 6＝8 186件． 4.(2019屆高三洛陽(yáng)聯(lián)考)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線(xiàn)y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由題意知圓O的面積為π3，正弦曲線(xiàn)y＝sin x，x∈[－π，π]與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性得區(qū)域M的面積S＝2sin xdx＝－2cos x＝4，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P＝，故選 B. 5．(2018濰坊模擬)某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核，規(guī)則是：①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃；②每個(gè)輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過(guò)，否則不通過(guò)．已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　每個(gè)輪次甲不能通過(guò)的概率為＝，通過(guò)的概率為1－＝，因?yàn)榧?個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B，所以X的數(shù)學(xué)期望為3＝. 6.(2018濰坊模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個(gè)正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)G，BC＝1，則BG＝CG，∠BGC＝120，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120，得BG＝，所以S△BCG＝BGBGsin 120＝＝，因?yàn)镾六邊形ABCDEF＝S△BOC6＝11sin 606＝，所以該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是1－＝. 7．(2018福州模擬)某商店隨機(jī)將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫(huà)并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫(huà)相鄰的概率是________． 解析：記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫(huà)分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計(jì)算公式，得所求概率P＝＝. 答案： 8．(2018唐山模擬)向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率為_(kāi)_______． 解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長(zhǎng)為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為π2－2＝π－，所以向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率P＝－. 答案：－ 9．從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則兩張都是假鈔的概率是________． 解析：設(shè)事件A為“抽到的兩張都是假鈔”，事件B為“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率為P(A|B)， 因?yàn)镻(AB)＝P(A)＝＝， P(B)＝＝， 所以P(A|B)＝＝＝. 答案： 10.(2018唐山模擬)某籃球隊(duì)在某賽季已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中，隊(duì)員甲得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖． (1)根據(jù)這8場(chǎng)比賽，估計(jì)甲每場(chǎng)比賽中得分的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ； (2)假設(shè)甲在每場(chǎng)比賽的得分服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且各場(chǎng)比賽間相互沒(méi)有影響，依此估計(jì)甲在82場(chǎng)比賽中得分在26分以上的平均場(chǎng)數(shù)． 參考數(shù)據(jù)： ≈5.66，≈5.68，≈5.70. 正態(tài)總體N(μ，σ2)在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率約為0.954. 解：(1)μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 所以σ≈5.68. 所以估計(jì)甲每場(chǎng)比賽中得分的均值μ為15，標(biāo)準(zhǔn)差σ為5.68. (2)由(1)得甲在每場(chǎng)比賽中得分在26分以上的概率 P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈(1－0.954)＝0.023， 設(shè)在82場(chǎng)比賽中，甲得分在26分以上的次數(shù)為Y，則Y～B(82,0.023)．Y的均值E(Y)＝820.023＝1.886. 由此估計(jì)甲在82場(chǎng)比賽中得分在26分以上的平均場(chǎng)數(shù)為1.886. 11．某化妝品公司從國(guó)外進(jìn)口美容型和療效型兩種化妝品，分別經(jīng)過(guò)本公司的兩條生產(chǎn)線(xiàn)分裝后進(jìn)行銷(xiāo)售，兩種化妝品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量都是100克/瓶，誤差不超過(guò)5克/瓶即視為合格產(chǎn)品，否則視為不合格產(chǎn)品．現(xiàn)隨機(jī)抽取兩種產(chǎn)品各60瓶進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 質(zhì)量/克 [90,95) [95,100) [100,105) [105,110] 美容型化妝品/瓶 5 22 23 10 療效型化妝品/瓶 5 21 19 15 (1)根據(jù)上述檢測(cè)結(jié)果，若從這兩種化妝品中各任取一瓶，以頻率作為概率，分別計(jì)算這兩瓶化妝品為合格產(chǎn)品的概率； (2)對(duì)于一瓶美容型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤(rùn)為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損a2(單位：百元)；對(duì)于一瓶療效型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤(rùn)為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損2a2(單位：百元)．那么當(dāng)a為何值時(shí)，該公司各銷(xiāo)售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤(rùn)最大？ 解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為＝； 任取一瓶療效型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為＝. (2)記X為任意一瓶美容型化妝品和一瓶療效型化妝品所獲得的利潤(rùn)之和，則X的所有可能取值為a，a－2a2，a－a2，－3a2， 則P＝＝， P(X＝a－2a2)＝＝， P＝＝， P(X＝－3a2)＝＝， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X a a－2a2 a－a2 －3a2 P 所以E(X)＝a＋(a－2a2)＋＋(－3a2)＝－a2＋a＝－(a－2)2＋， 所以當(dāng)a＝2時(shí)，E(X)取得最大值， 即當(dāng)a為2時(shí)，該公司各銷(xiāo)售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤(rùn)最大． 12．(2019屆高三貴陽(yáng)模擬)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，經(jīng)過(guò)這兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過(guò)L1和L2所用時(shí)間的頻率分布直方圖分別如圖(1)和(2)．現(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地． (1)求圖(1)中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)中的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由圖(1)可得(0.01＋0.023＋a)10＝1， 解得a＝0.03， 用Ai表示甲選擇Li(i＝1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i＝1,2)在50分鐘內(nèi)從A地到B地，則P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)10＝0.5， 因?yàn)镻(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1. 又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)10＝0.8， P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)10＝0.9， 因?yàn)镻(B2)＞P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2. (2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值為0,1,2. 由題意知，M，N相互獨(dú)立， ∴P(X＝0)＝0.40.1＝0.04， P(X＝1)＝0.40.9＋0.60.1＝0.42， P(X＝2)＝0.60.9＝0.54， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴E(X)＝00.04＋10.42＋20.54＝1.5. 13．(2018全國(guó)卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f (p)，求f (p)的最大值點(diǎn)p0. (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． ①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX； ②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 解：(1)因?yàn)?0件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f (p)＝Cp2(1－p)18， 所以f ′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17] ＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f ′(p)＝0，得p＝0.1. 當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f ′(p)>0； 當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f ′(p)<0. 所以f (p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝202＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元．由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． 二、加練大題考法——少失分 1.(2018鄭州質(zhì)檢)為了減少霧霾，還城市一片藍(lán)天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車(chē)輛限號(hào)出行政策，鼓勵(lì)民眾不開(kāi)車(chē)低碳出行．市政府為了了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計(jì)了該市甲、乙兩個(gè)單位各200名員工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫(huà)出莖葉圖如圖所示， (1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x的值； (2)現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個(gè)單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個(gè)單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由題意知，[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，解得x＝8. (2)由題得ξ1的所有可能取值為0,1,2，ξ2的所有可能取值為0,1,2，因?yàn)棣牵溅?＋ξ2，所以隨機(jī)變量η的所有可能取值為0,1,2,3,4. 因?yàn)榧讍挝坏吞汲鲂械娜藬?shù)不低于130的天數(shù)為3，乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4， 所以P(η＝0)＝＝， P(η＝1)＝＝， P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝＝， P(η＝4)＝＝. 所以η的分布列為 η 0 1 2 3 4 P 所以E(η)＝0＋1＋2＋3＋4＝. 2．(2018福州模擬)某學(xué)校八年級(jí)共有學(xué)生400人，現(xiàn)對(duì)該校八年級(jí)學(xué)生隨機(jī)抽取50名進(jìn)行實(shí)踐操作能力測(cè)試，實(shí)踐操作能力測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)水平，一、二等級(jí)水平的學(xué)生實(shí)踐操作能力較弱，三、四等級(jí)水平的學(xué)生實(shí)踐操作能力較強(qiáng)，測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表： 等級(jí) 水平一 水平二 水平三 水平四 男生/名 4 8 12 6 女生/名 6 8 4 2 (1)根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實(shí)踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)？ 實(shí)踐操作能力較弱 實(shí)踐操作能力較強(qiáng) 總計(jì) 男生/名 女生/名 總計(jì) (2)現(xiàn)從測(cè)試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行學(xué)習(xí)能力測(cè)試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 參考公式：K2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)補(bǔ)充22列聯(lián)表如下： 實(shí)踐操作能力較弱 實(shí)踐操作能力較強(qiáng) 總計(jì) 男生/名 12 18 30 女生/名 14 6 20 總計(jì) 26 24 50 ∴K2＝≈4.327＞3.841. ∴有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實(shí)踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)． (2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝. 3．(2018開(kāi)封模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件．假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)． (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下表所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值； (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望； (3)在(1)，(2)的條件下，若以“性?xún)r(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，判斷哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性？并說(shuō)明理由． 注：①產(chǎn)品的“性?xún)r(jià)比”＝產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià)； ②“性?xún)r(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性． 解：(1)∵E(X1)＝6，∴50.4＋6a＋7b＋80.1＝6， 即6a＋7b＝3.2.① 又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.② 聯(lián)立①②解得a＝0.3，b＝0.2. (2)由已知，用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 ∴E(X2)＝30.3＋40.2＋50.2＋60.1＋70.1＋80.1＝4.8， 即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8. (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下： ∵甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件， ∴其性?xún)r(jià)比為＝1，