2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 1.2.1-1.2.2 第2課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2.doc

1.2.1-1.2.2 第2課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．設(shè)函數(shù)y＝excos x，則y′等于(　　) A．excos x　　　　　　　　 B．－exsin x C．excos x＋exsin x D．excos x－exsin x 解析：y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x. 答案：D 2．曲線f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為(　　) A. B. C. D. 解析：∵f′(x)＝x2－2x，∴f′(1)＝1－2＝－1， ∴在x＝1處的切線的傾斜角為. 答案：B 3．曲線y＝ex在(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(　　) A.e2 B．2e2 C．e2 D. 解析：y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2， ∴切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1. ∴三角形的面積S＝1|－e2|＝，故選D. 答案：D 4．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：y′＝a－，由題意得y′|x＝0＝2， 即a－1＝2，所以a＝3. 答案：D 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{}(n∈N*)的前n項(xiàng)和是 (　　) A. B. C. D. 解析：∵f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴數(shù)列{}(n∈N*)的前n項(xiàng)和為： Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝. 答案：A 6．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值為_(kāi)_______． 解析：f′(x0)＝3x＝3，x0＝1. 答案：1 7．函數(shù)f(x)＝的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)u＝2x＋x2， 故f(x)＝就由f(u)＝，u＝2x＋x2復(fù)合而成， ∴f′(x)＝fu′ux′＝u(2＋2x)＝u (1＋x)＝ . 答案： 8．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝________. 解析： f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 答案：－2 9．(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值． 解析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3， ∴f′(x)＝18x2＋22x＋5， ∴f′(－1)＝18－22＋5＝1. (2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋5， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1， 由f′(x0)＝0，得3x－4x0＋1＝0， 解得x0＝1或x0＝. 10．曲線y＝e2xcos 3x在(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程． 解析：y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′ ＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x) ＝e2x(2cos 3x－3sin 3x) y′|x＝0＝2. 則切線方程為y－1＝2(x－0)， 即2x－y＋1＝0. 若直線l與切線平行可設(shè)直線l方程為2x－y＋c＝0， 兩平行線間距離d＝＝?c＝6或c＝－4. 故直線l方程為2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. [B組　能力提升] 1．已知f(x)＝x2＋cos x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)的圖象是(　　) 解析：函數(shù)f(x)＝x2＋cos x，f′(x)＝－sin x， f′(－x)＝－sin(－x)＝－＝－f′(x)， 故f′(x)為奇函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，D， f′＝－sin＝－<0.故C不對(duì)，答案為A. 答案：A 2．若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等于(　　) A．－1或－　　　　　 B．－1或 C．－或－ D．－或7 解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(diǎn)(x0，x)，則切線方程為y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x. 又點(diǎn)(1,0)在切線上，代入以上方程得x0＝0或x0＝. 當(dāng)x0＝0時(shí)，直線方程為y＝0. 由y＝0與y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－. 當(dāng)x0＝時(shí)，直線方程為 y＝x－. 由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1. 答案：A 3．函數(shù)y＝x＋在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率等于________． 解析：y′＝(x＋)′＝1－， ∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝1－＝0. 答案：0 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________. 解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)， f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin. 若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝. 答案： 5．拋物線C1：y＝x2－2x＋2與拋物線C2：y＝－x2＋ax＋b在它們的一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直． (1)求a，b之間的關(guān)系； (2)若a>0，b>0，求ab的最大值． 解析：(1)設(shè)兩拋物線的交點(diǎn)為M(x0，y0)， 由題意知x－2x0＋2＝－x＋ax0＋b， 整理得2x－(2＋a)x0＋2－b＝0① 由導(dǎo)數(shù)可得拋物線C1，C2在交點(diǎn)M處的切線斜率為k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a.因兩切線互相垂直，則有k1k2＝－1，即(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1， 整理得2[2x－(2＋a)x0]＋2a－1＝0② 聯(lián)立①和②，消去x0，得a＋b＝. (2)由(1)知a＋b＝，又a>0，b>0， ∴ab≤()2＝()2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào)，故ab的最大值為. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求出此定值． 解析：(1)f′(x)＝a－， 于是解得或 因?yàn)閍，b∈Z，故f(x)＝x＋. (2)證明：在曲線上任取一點(diǎn)， 由f′(x0)＝1－知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 y－＝(x－x0)． 令x＝1，得y＝， 切線與直線x＝1的交點(diǎn)為； 令y＝x，得y＝2x0－1， 切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)； 直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)，從而所圍成的三角形的面積為|2x0－1－1|＝ |2x0－2|＝2. 所以所圍成的三角形的面積為定值2.