（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題六 三角恒等變換與解三角形講義 理（重點生含解析）.doc

專題六 角恒等變換與解三角形 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 正、余弦定理的應用T17 二倍角公式及余弦定理的應用T6 二倍角公式T4 同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的正弦公式T15 三角形的面積公式及余弦定理T9 2017 正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式T17 余弦定理、三角恒等變換及三角形的面積公式T17 余弦定理、三角形的面積公式T17 2016 正、余弦定理、三角形面積公式、兩角和的正弦公式T17 誘導公式、三角恒等變換、給值求值問題T9 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式T5 正弦定理的應用、誘導公式T13 利用正、余弦定理解三角形T8 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年3考且均出現(xiàn)在解答題中的第17題，涉及正、余弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正、余弦公式，難度適中．預計2019年會以選擇題或填空題的形式考查正、余弦定理的應用及三角恒等變換，難度適中 卷Ⅱ3年5考，既有選擇題、填空題，也有解答題，涉及誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式，難度適中．預計2019年會以解答題的形式考查正、余弦定理和三角形面積公式的應用 卷Ⅲ3年5考，既有選擇題，也有解答題，難度適中．涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面積公式等．預計2019年會以解答題的形式考查正、余弦定理在解三角形中的應用 橫向把握重點 1.高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)． 2.若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第4～9或第13～15題位置上． 3.若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等. 三角恒等變換 [題組全練] 1．(2018全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：選B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝.故選 B. 2．(2016全國卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D　因為cos＝， 所以sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－. 3．已知sin－cos α＝，則cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選D　由sin－cos α＝，得sin α＋cos α－cos α＝sin α－cos α＝sin＝，所以cos＝1－2sin2＝1－＝. 4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，則tan(α＋β)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：選A　∵sin β＝，且<β<π， ∴cos β＝－，tan β＝－. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－sin α＋cos α＝cos α， ∴tan α＝－，∴tan(α＋β)＝＝－2. 5．已知A，B均為鈍角，sin2＋cos＝，且sin B＝，則A＋B＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因為sin2＋cos＝， 所以＋cos A－sin A＝， 即－sin A＝，解得sin A＝. 因為A為鈍角， 所以cos A＝－＝－＝－. 由sin B＝，且B為鈍角， 可得cos B＝－＝－ ＝－. 所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－ ＝. 又A，B都為鈍角，即A，B∈， 所以A＋B∈(π，2π)， 故A＋B＝，選C. [系統(tǒng)方法] 1．化簡求值的方法與思路 (1)方法：①采用“切化弦”“弦化切”來減少函數(shù)的種類，做到三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一； ②通過三角恒等變換，化繁為簡，便于化簡求值； (2)基本思路：找差異，化同名(同角)，化簡求值． 2．解決條件求值問題的三個關(guān)注點 (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角； (2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示； (3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大?。? 正弦定理、余弦定理的應用 [多維例析] 角度一　利用正、余弦定理進行邊、角計算 　(1)(2018全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. (2)(2018長春質(zhì)檢)已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c,2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是角A的平分線，D在BC上，則BD＝________. [解析]　(1)∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C， 即tan C＝1. ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由正弦定理可得，2sin Asin B＝sin B， 可得sin A＝，因為0<A<，所以A＝， 由余弦定理得BC2＝22＋32－223cos， 解得BC＝， 在△ABD和△ADC中，分別應用正弦定理得， ＝.① ＝.② 又sin∠ADB＝sin∠ADC，③ 聯(lián)立①②③，解得BD＝. [答案]　(1)C　(2) 角度二　與三角形面積、周長有關(guān)的問題 　(2019屆高三武漢調(diào)研)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2bcos C＝2a＋c. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由正弦定理，知2sin Bcos C＝2sin A＋sin C， 由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos C＝2sin(B＋C)＋sin C， 即2sin Bcos C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)＋sin C， 整理得2cos Bsin C＋sin C＝0. 因為sin C≠0，所以cos B＝－. 因為0＜B＜π，所以B＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 因為b＝2，a＋c＝， 所以22＝()2－2ac－2accos，得ac＝1. 所以S△ABC＝acsin B＝1＝. 　(2018廣州模擬)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝. (1)求tan的值； (2)若△ABC的面積為1，求△ABC的周長的最小值． [解]　(1)由已知，得b(sin B－sin C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，由正弦定理，得b(b－c)＝(a＋c)(a－c)， 即b2＋c2－a2＝bc. 再由余弦定理得cos A＝＝. 又0＜A＜π，所以A＝. 故tan＝tan＝－tan＝－. (2)由(1)及已知得，△ABC的面積為 S△ABC＝bcsin＝1，所以bc＝4. 于是a2＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－2bc＝8－4，當且僅當b＝c＝2時，a取得最小值，且最小值為＝－，此時a＋b＋c＝－＋4. 故△ABC的周長的最小值為－＋4. [類題通法]　利用正、余弦定理解三角形的常用策略 (1)當出現(xiàn)邊角混合的式子時，常常根據(jù)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C來統(tǒng)一成邊或統(tǒng)一成角； (2)當式子中出現(xiàn)三邊的平方和或差時，常常要利用余弦定理解題； (3)當三個內(nèi)角A，B，C都出現(xiàn)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和A＋B＋C＝180，消掉一個角，留下兩個角，然后化簡整理；若已知一個角，式子中含有兩個角時，結(jié)合已知消掉一個角，留下一個角，然后根據(jù)和角公式展開，再進一步化簡． [綜合訓練] 1．(2018南寧模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)． (1)求證：2b＝a＋c； (2)若B＝，△ABC的面積為4，求b. 解：(1)證明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)， ∴由正弦定理可得sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)， 即sin Ccos B＋sin Bcos C＋sin C＝2sin B， sin(B＋C)＋sin C＝2sin B， ∴sin A＋sin C＝2sin B，∴2b＝a＋c. (2)∵B＝， ∴△ABC的面積S＝acsin B＝ac＝4， ∴ac＝16. 由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac. ∵a＋c＝2b， ∴b2＝4b2－316，解得b＝4. 2．(2018合肥質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a－2b)cos C＋ccos A＝0. (1)求角C的大??； (2)若c＝2，求△ABC周長的最大值． 解：(1)根據(jù)正弦定理，由已知得 (sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0， 即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C， ∴sin(A＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin B＝2sin Bcos C，∴cos C＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由(1)及余弦定理得cos C＝＝， 又c＝2，∴a2＋b2－12＝ab， ∴(a＋b)2－12＝3ab≤32， 即(a＋b)2≤48(當且僅當a＝b＝2時等號成立)． ∴△ABC周長的最大值為6. 3．(2018武漢調(diào)研)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0. (1)求角A的大小； (2)若b＝且b≤a，求a的取值范圍． 解：(1)由cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0， 得2sin2B－2sin2A＋2＝0， 化簡得sin A＝， 又△ABC為銳角三角形，故A＝. (2)∵b＝≤a，∴c≥a，∴≤C＜，＜B≤， ∴＜sin B≤. 由正弦定理＝，得＝，∴a＝， 由sin B∈，得a∈[，3)． 即a的取值范圍是[，3)． 解三角形與三角函數(shù)的綜合問題 [由題知法] 　已知函數(shù)f (x)＝2sin xcos x－2cos2x－1，x∈R. (1)求函數(shù)f (x)的最小正周期和最小值； (2)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝，f (C)＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值． [解]　(1)因為f (x)＝2sin xcos x－2cos2x－1 ＝sin 2x－(cos 2x＋1)－1 ＝sin 2x－cos 2x－2 ＝2sin－2， 所以函數(shù)f (x)的最小正周期T＝＝π， 最小值為－4. (2)因為f (C)＝2sin－2＝0， 所以sin＝1，又C∈(0，π)， 所以－＜2C－＜π， 所以2C－＝，得C＝. 因為sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a， 由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2， 又c＝，所以a＝1，b＝2. [類題通法]　解三角形與三角函數(shù)綜合問題求解策略 (1)解三角形與三角函數(shù)的綜合題求解時，若解決與三角恒等變換有關(guān)的問題，優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系；若解決與三角形有關(guān)的問題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理． (2)求解該類問題，易忽視題中的角為三角形內(nèi)角，未注明角的限制條件導致產(chǎn)生錯解. [應用通關(guān)] 　已知函數(shù)f (x)＝4cos xsin＋m(m∈R)，當x∈時，f (x)的最小值為－1. (1)求實數(shù)m的值； (2)在△ABC中，已知f (C)＝1，AC＝4，延長AB至D，使BD＝BC，且AD＝5，求△ACD的面積． 解：(1)∵f (x)＝4cos xsin＋m ＝4cos x＋m ＝2sin xcos x＋2cos2x＋m ＝sin 2x＋cos 2x＋1＋m ＝2sin＋m＋1. ∵x∈，∴2x＋∈， ∴min＝－1， ∴f (x)min＝－1＝－1＋m＋1，解得m＝－1. (2)由(1)知f (x)＝2sin， 又∵f (C)＝1， ∴2sin＝1， ∵C∈(0，π)，∴2C＋∈， ∴2C＋＝，解得C＝. 如圖，設BD＝BC＝x， 則AB＝5－x， 在△ACB中，由余弦定理， 得cos∠ACB＝ ＝， 解得x＝. ∴cos A＝＝， 得sin A＝＝. ∴S△ACD＝ACADsin A ＝54＝. 解三角形實際應用問題 [由題知法] 　　　(1)從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為60，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) A．30 m B．30(－1)m C．40 m D．40(－1)m (2)為了豎一塊廣告牌，要制造一個三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60，BC的長度大于1 m，且AC比AB長0.5 m．為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為(　　) A.m B．2 m C．(1＋)m D．(2＋)m [解析]　(1)如圖，設A在直線BC上的射影為H. 由題意得，∠BAH＝30，∠CAH＝60. 在Rt△AHB中， HB＝AHtan 30＝AH＝60＝20(m)． 在Rt△AHC中， HC＝AHtan 60＝AH＝60＝60(m)． 所以BC＝HC－HB＝60－20＝40(m)． (2)由題意設BC＝x(x>1)m，AC＝t(t>0)m， 依題意得AB＝AC－0.5＝(t－0.5)(m)． 在△ABC中，由余弦定理得， AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 60， 即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx， 化簡并整理得t＝＝x－1＋＋2(x>1)． 因為x>1，所以t＝x－1＋＋2≥2＋當且僅當x＝1＋時取等號，故AC最短為(2＋)m，應選D. [答案]　(1)C　(2)D [類題通法] 1．解三角形實際應用問題的解題步驟 2．解三角形實際應用問題的注意事項 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準確作出這些角； (2)要注意將平面幾何的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來使用，這樣可以優(yōu)化解題過程； (3)要注意題目中的隱含條件及解的實際意義． [應用通關(guān)] 1．某位居民站在離地面20 m高的陽臺上觀測到對面小高層房頂?shù)难鼋菫?0，小高層底部的俯角為45，那么這棟小高層的高度為(　　) A．20m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 解析：選B　如圖，設AB為陽臺的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線．由題意知AB＝20 m，∠DAE＝45，∠CAE＝60，故DE＝AE＝20 m，CE＝20 m，所以CD＝20(1＋)m. 2.(2018河北保定模擬)如圖，某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30方向上，距離為8海里，游輪由A處向正北方向航行到D處時再看燈塔B，B在南偏東60方向上，則C與D的距離為(　　) A．20海里 B．8海里 C．23海里 D．24海里 解析：選B　在△ABD中，因為燈塔B在A的北偏東75方向上，距離為12海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時，再看燈塔B，B在南偏東60方向上，所以B＝180－75－60＝45，由正弦定理＝， 可得AD＝＝＝24海里． 在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8海里，∠CAD＝30， 由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2ADACcos 30＝242＋(8)2－2248＝192. 所以CD＝8海里． 3．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經(jīng)測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________． 解析：依題意，設乙的速度為x m/s， 則甲的速度為x m/s， 因為AB＝1 040 m，BC＝500 m， 所以＝， 解得AC＝1 260 m. 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠BAC＝ ＝＝， 所以sin∠BAC＝ ＝ ＝. 答案： 重難增分 與平面幾何有關(guān)的解三角形綜合問題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．(2015全國卷Ⅰ)[與平面四邊形有關(guān)的邊長范圍問題]在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________． [學解題] 法一：分割法(學生用書不提供解題過程) 易知∠ADC＝135.如圖，連接BD，設∠BDC＝α，∠ADB＝β，則α＋β＝135. 在△ABD和△BCD中，由正弦定理得＝＝， 則AB＝＝ ＝＝， 由得30<α<105， 所以－2<<. 則－<AB<＋. 法二：極限法(學生用書提供解題過程) 如圖，動態(tài)地審視平面四邊形ABCD， 邊BC＝2固定，∠B＝∠C＝75固定，延長BA，CD交于點P. 雖然∠BAD＝75， 但AB邊并不固定， 平行移動AD邊， 則容易看出BQ<AB<BP. 在△BCQ中， 易求得BQ＝－； 在△BCP中，易求得BP＝＋， 則AB的取值范圍是(－，＋)． 答案：(－，＋) [啟思維]　本題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解決該題的關(guān)鍵．可利用正弦定理建立函數(shù)關(guān)系式求解，也可利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，分析圖形的特點找出解題思路． 二、還可能這樣考 2．[與三角形的中線、角平分線相關(guān)的問題]在△ABC中，AB＝3AC，∠BAC的平分線交BC于D，且AD＝mAC，則實數(shù)m的取值范圍是__________． 解析：法一：設AC＝x，則AB＝3x. 由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可知， BD＝BC，CD＝BC. 在△ABD中，由余弦定理可得 2＝9x2＋m2x2－23mx2cos.① 在△ACD中，由余弦定理可得 2＝x2＋m2x2－2mx2cos.② 由①②兩式消去BC并化簡得cos＝. 因為0<<， 所以cos∈(0,1)， 所以0<<1， 解得m∈， 所以實數(shù)m的取值范圍是. 法二：設∠BAD＝∠CAD＝θ，AC＝b， 則AB＝3b，AD＝mb， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 得b2sin 2θ＝mb2sin θ＋mb2sin θ， 化簡得m＝cos θ. 因為θ∈，所以實數(shù)m的取值范圍是. 答案： [啟思維]　本題考查了余弦定理的應用、三角形角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式．列出有關(guān)m的關(guān)系式是解決該題的關(guān)鍵． 3.[四邊形面積的最值問題]已知△ABC的內(nèi)角∠CAB，B，∠ACB所對的邊分別為a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝bsin B，∠CAB＝，如圖所示，若D是△ABC外一點，DC＝2，DA＝3，則當四邊形ABCD的面積最大時，sin D＝__________. 解析：由acos∠ACB＋ccos∠CAB＝bsin B及余弦定理得a＋c＝bsin B，即b＝bsin B?sin B＝1?B＝，又∠CAB＝，所以∠ACB＝.由BC＝a，得AB＝a，AC＝2a，則S△ABC＝aa＝a2.在△ACD中，cos D＝＝，所以a2＝.又S△ACD＝ADCDsin D＝3sin D，所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝a2＋3sin D＝＋3sin D＝3sin D－cos D＋＝ ＋＝sin(D－θ)＋ ，所以當D－θ＝，即D＝＋θ時，S四邊形ABCD最大，此時sin D＝sin＝cos θ＝＝. 答案： [啟思維]　本題考查余弦定理、三角形面積公式及輔助角公式的應用．題中四邊形的面積很容易求出，關(guān)鍵是計算面積的最大值，要注意邊角互化的應用，否則解題非常困難． [增分集訓] 1．在△ABC中，點D在邊AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD，則AD的長為__________． 解析：在△ABC中，BD＝2AD， 設AD＝x(x>0)，則BD＝2x. 在△BCD中，因為CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x， 所以cos∠CDB＝＝. 在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝5， 由余弦定理得 cos∠ADC＝＝. 因為∠CDB＋∠ADC＝π， 所以cos∠ADC＝－cos∠CDB， 即＝－， 解得x＝5，所以AD的長為5. 答案：5 2.如圖，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90，C是BD上一點，AB＝3－，∠ACB＝15，∠ECD＝60，∠EAC＝45，則線段DE的長為______． 解析：易知∠ACE＝105，∠AEC＝30， 在Rt△ABC中，AC＝， 在△AEC中，＝?CE＝， 在Rt△CED中， DE＝CEsin 60＝ ＝＝6. 答案：6 3.(2018四川成都模擬)如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝，若△ADC是銳角三角形，則DA＋DC的取值范圍為________． 解析：設∠ACD＝θ，則∠CAD＝－θ，根據(jù)條件及余弦定理計算得AC＝2. 在△ACD中，由正弦定理得 ＝＝＝4， ∴AD＝4sin θ，CD＝4sin， ∴DA＋DC＝4 ＝4＝4 ＝4＝4sin. ∵△ACD是銳角三角形， ∴θ和－θ均為銳角，∴θ∈， ∴θ＋∈， ∴sin∈. ∴DA＋DC＝4sin∈. 答案：(6,4 ] [高考大題通法點撥] 三角函數(shù)問題重在“變”——變角、變式 [思維流程] 　[策略指導] 1．常用的變角技巧 (1)已知角與特殊角的變換； (2)已知角與目標角的變換； (3)角與其倍角的變換； (4)兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2，＝－. 2．常用的變式技巧 主要從函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)方面入手，常見的有： (1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)時，常常將它化為一次的單角的三角函數(shù)來討論； (2)涉及sin xcos x、sin xcos x的問題，常做換元處理，如令t＝sin xcos x∈[－，]，將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)來處理； (3)在解決三角形的問題時，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　已知函數(shù)f (x)＝4tan xsincos－. (1)求f (x)的定義域與最小正周期； (2)討論f (x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [破題思路] 第(1)問 求什么想什么 求f (x)的定義域與最小正周期，想到建立關(guān)于x的不等式以及化函數(shù)f (x)的解析式為f (x)＝Asin(ωx＋φ)或f (x)＝Acos(ωx＋φ)的形式 給什么用什么 題干中給出的解析式中既有正切函數(shù)也有正弦、余弦函數(shù)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導公式、兩角差的正弦公式化簡函數(shù)解析式，再分別利用各種三角函數(shù)的定義域即可求出函數(shù)f (x)的定義域，利用周期公式可求周期 第(2)問 求什么想什么 討論f (x)在區(qū)間上的單調(diào)性，想到正弦函數(shù)y＝sin x的單調(diào)性 給什么用什么 第(1)問中已經(jīng)將函數(shù)f (x)化為f (x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，用整體代換求單調(diào)區(qū)間，并與區(qū)間求交集 [規(guī)范解答] (1)f (x)的定義域為. f (x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x － ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(2sin2x－1) ＝sin 2x－cos 2x ＝2sin. 所以f (x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設A＝，B＝，k∈Z，易知A∩B＝. 所以當x∈時，f (x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． [關(guān)鍵點撥] 解答此類問題的關(guān)鍵在于“變”，其思路為“一角二名三結(jié)構(gòu)” 升冪(降冪)公式口訣：“冪降一次，角翻倍，冪升一次，角減半”． 　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長． [破題思路] 第(1)問 求什么想什么 求角C，想到求C的某一個三角函數(shù)值 給什么用什么 題目條件中給出關(guān)系式2cos C(acos B＋bcos A)＝c.用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一角或邊，可求角C的一個三角函數(shù)值，進而求出C的值 第(2)問 求什么想什么 求△ABC的周長，想到求△ABC各邊的長或直接求a＋b＋c的值 給什么用什么 已知c＝，△ABC的面積為，用S△ABC＝absin C＝可建立ab的關(guān)系式 差什么找什么 求周長，還需a＋b的值．通過以上步驟可知△ABC中C，c及ab的值，利用余弦定理即可求出a＋b的值 [規(guī)范解答] (1)法一：由2cos C(acos B＋bcos A)＝c， 得2cos C(sin Acos B＋sin B cos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C. 因為A＋B＋C＝π， A，B，C∈(0，π)， 所以sin(A＋B)＝sin C>0， 所以2cos C＝1，cos C＝. 因為C∈(0，π)，所以C＝. 法二：由2cos C(acos B＋bcos A)＝c， 得2cos C＝c， 整理得2cos C＝1， 即cos C＝. 因為C∈(0，π)，所以C＝. (2)因為S＝absin C＝ab＝，所以ab＝6， 由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C， 得7＝a2＋b2－2ab， 即(a＋b)2－3ab＝7， 所以(a＋b)2－18＝7， 即a＋b＝5，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝5＋. [關(guān)鍵點撥]　利用正、余弦定理求解問題的策略 角化邊 利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，進而求解 邊化角 利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，進而求解 [對點訓練] 1．(2018全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90，∠A＝45，AB＝2，BD＝5. (1)求cos ∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝， 所以sin ∠ADB＝. 由題設知，∠ADB<90， 所以cos ∠ADB＝ ＝. (2)由題設及(1)知， cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BDDCcos ∠BDC ＝25＋8－252＝25，所以BC＝5. 2．已知函數(shù)f (x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋1(ω＞0)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求ω的值及函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，且滿足a＝，f (A)＝1，求△ABC面積S的最大值． 解：(1)f (x)＝sin 2ωx－＋1 ＝sin＋. 因為函數(shù)f (x)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1. 所以f (x)＝sin＋. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f (A)＝1，得sin＝. 因為2A＋∈， 所以2A＋＝，得A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即()2＝b2＋c2－2bccos ， 所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc， 解得bc≤3，當且僅當b＝c時等號成立． 所以S△ABC＝bcsin A≤3＝， 所以△ABC面積S的最大值為. [總結(jié)升華] 高考試題中的三角函數(shù)解答題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，大家在復習時，應“明確思維起點，把握變換方向，抓住內(nèi)在聯(lián)系，合理選擇公式”是解答此類題的關(guān)鍵．在解題時，要緊緊抓住“變”這一核心，靈活運用公式與性質(zhì)， 仔細審題，快速運算．　　　　 [專題跟蹤檢測](對應配套卷P177) 一、全練保分考法——保大分 1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．2 D．3 解析：選D　由余弦定理得5＝22＋b2－22bcos A， ∵cos A＝，∴3b2－8b－3＝0， ∴b＝3. 2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a＝6，b＝4，C＝120，則sin B＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：選B　在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝76，所以c＝.由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝. 3．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選C　∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝＝.∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝60，∴S△ABC＝bcsin A＝4＝. 4．(2019屆高三洛陽第一次統(tǒng)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由a，b，c成等比數(shù)列得b2＝ac，則有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，因為A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝，對于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sin Asin C＝sin C，由正弦定理得，＝＝＝. 5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)， 則sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0， 即sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， ∴cos Asin C＋sin Asin C＝0， ∵sin C≠0，∴cos A＋sin A＝0， 即tan A＝－1，所以A＝. 由＝得＝，∴sin C＝， 又0<C<，∴C＝. 6．在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選A　在△ABC中，∵tan∠BAC＝－3， ∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－， 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos∠BAC＝5＋2－2＝9，∴BC＝3. ∴S△ABC＝ABACsin∠BAC＝＝，∴BC邊上的高為＝＝1. 7．(2018開封模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，btan B＋btan A＝2ctan B，且a＝5，△ABC的面積為2，則b＋c的值為__________． 解析：由正弦定理及btan B＋btan A＝2ctan B， 得sin B＋sin B＝2sin C， 即cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A， 亦即sin(A＋B)＝2sin Ccos A， 故sin C＝2sin Ccos A. 因為sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝. 因為S△ABC＝bcsin A＝2， 所以bc＝8. 由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc， 可得b＋c＝7. 答案：7 8．(2018福州模擬)如圖，小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，且∠BAC＝135.若山高AD＝100 m，汽車從B點到C點歷時14 s，則這輛汽車的速度約為______ m/s(精確到0.1)． 參考數(shù)據(jù)： ≈1.414, ≈2.236. 解析：因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，所以∠BAD＝60，∠CAD＝45.設這輛汽車的速度為v m/s，則BC＝14v，在Rt△ADB中AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2100200cos 135，所以v＝≈22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s. 答案：22.6 9．(2018長春質(zhì)檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若其面積S＝b2sin A，角A的平分線AD交BC于點D，AD＝，a＝，則b＝________. 解析：由面積公式S＝bcsin A＝b2sin A，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并結(jié)合角平分線定理可得，BD＝，CD＝，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，在△ABD中，cos B＝，即＝， 化簡得b2＝1，解得b＝1. 答案：1 10．(2018昆明調(diào)研)已知△ABC的面積為3，AC＝2，BC＝6，延長BC至D，使∠ADC＝45. (1)求AB的長； (2)求△ACD的面積． 解：(1)因為S△ABC＝62sin∠ACB＝3， 所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30或150， 又∠ADC＝45，所以∠ACB＝150， 由余弦定理得AB2＝12＋36－226cos 150＝84， 所以AB＝2. (2)在△ACD中，因為∠ACB＝150，∠ADC＝45， 所以∠CAD＝105， 由正弦定理得＝， 即＝， 解得CD＝3＋， 又∠ACD＝180－150＝30， 所以S△ACD＝ACCDsin∠ACD ＝2(3＋)＝. 11．(2018沈陽質(zhì)檢)在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2ccos B＝2a＋b. (1)求角C的大?。? (2)若a＋b＝6，△ABC的面積為2，求c. 解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B， 又sin A＝sin(B＋C)， ∴2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B， ∴2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B， ∴2sin Bcos C＋sin B＝0， ∵sin B≠0，∴cos C＝－. 又C∈(0，π)，∴C＝. (2)∵S△ABC＝absin C＝2，∴ab＝8， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝28，∴c＝2. 12．(2018長沙模擬)在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin Acos2A－cos(B＋C)＝sin 3A＋. (1)求角A的大小； (2)若b＝2，求△ABC面積的取值范圍． 解：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cos A． ① ∵3A＝2A＋A， ∴sin 3A＝sin(2A＋A)＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A． ② 又sin 2A＝2sin Acos A， ③ cos 2A＝2cos2A－1， ④ 將①②③④代入已知等式，得2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋， 整理得sin A＋cos A＝， 即sin＝， 又A∈，∴A＋＝，即A＝. (2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B， ∵△ABC為銳角三角形， ∴－B∈且B∈，解得B∈， 在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴c＝＝＝＋1， 又B∈，∴∈(0，)，∴c∈(1,4)， ∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈. 故△ABC面積的取值范圍為. 二、強化壓軸考法——拉開分 1．(2018成都模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，△ABC的外接圓半徑為.則△ABC面積的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由正弦定理，得＝＝＝2，所以sin A＝，sin B＝，sin C＝，將其代入2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B得，a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝＝，又0<C<π，所以C＝.于是S△ABC＝absin C＝2sin A2sin Bsin＝3sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝[cos(A－B)＋cos C]＝cos(A－B)＋.當A＝B＝時，S△ABC取得最大值，最大值為，故選D. 2．(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，則當角B取得最大值時，△ABC的周長為(　　) A．2＋ B．2＋ C．3 D．3＋ 解析：選A　法一：由題意可得，sin B＋2sin Ccos A＝0，即sin(A＋C)＋2sin Ccos A＝0， 得sin Acos C＝－3sin Ccos A，即tan A＝－3tan C. 又cos A＝－<0，所以A為鈍角，于是tan C>0. 從而tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tan C≥2 ＝2，當且僅當tan C＝時等號成立，此時角B取得最大值，且tan B＝tan C＝，tan A＝－，即b＝c，A＝120，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長為2＋. 法二：由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，當且僅當a＝c時等號成立，此時角B取得最大值，將a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長為2＋. 3．(2019屆高三惠州調(diào)研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對邊，a＝4，b∈(4,6)，sin 2A＝sin C，則c的取值范圍為______________． 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝，∴c＝8cos A， 由余弦定理得16＝b2＋c2－2bccos A， ∴16－b2＝64cos2A－16bcos2A， 又b≠4，∴cos2A＝＝＝， ∴c2＝64cos2A＝64＝16＋4 B. ∵b∈(4,6)，∴32<c2<40，∴4<c<2. 答案：(4，2) 4．(2018濰坊模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且＝，則△ABC面積的最大值為__________． 解析：因為＝，所以＝(2c－b)， 由正弦定理得 sin Bsin Acos B＝(2sin C－sin B)sin Bcos A， 又sin B≠0，所以sin Acos B＝(2sin C－sin B)cos A， 所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A， sin(A＋B)＝2sin Ccos A，即sin C＝2sin Ccos A， 又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝. 設外接圓的半徑為r，則r＝1， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc. 當且僅當b＝c時，等號成立， 又因為a＝2rsin A＝， 所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤. 答案： 5．(2018陜西質(zhì)檢)已知△ABC 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc，若a＋b＝2，則c的取值范圍為________． 解析：由sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C及正弦定理，可知acos B＋bcos A＝c， 則由(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc， 得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理可得cos C＝，則C＝，B＝－A， 由正弦定理＝＝， 得＝＝，又a＋b＝2， 所以＋＝2， 即c＝＝. 因為A∈，所以A＋∈， 所以sin∈，則c∈[1,2)． 答案：[1,2) 6．(2018南昌模擬)如圖，平面上有四個點A，B，P，Q，其中A，B為定點，且AB＝，P，Q為動點，滿足關(guān)系AP＝PQ＝QB＝1，若△APB和△PQB的面積分別為S，T，則S2＋T2的最大值為________． 解析：設PB＝2x，則－1＜2x＜2， ∴＜x＜1， ∴T2＝2＝x2(1－x2)， cos∠PAB＝＝， sin2∠PAB＝1－2， ∴S2＝2＝＝－(1－x2)2， ∴S2＋T2＝－(1－x2)2＋x2(1－x2)， 令1－x2＝t，則x2＝1－t,0＜t＜， ∴S2＋T2＝－t2＋(1－t)t＝－2t2＋t＋， 其對稱軸方程為t＝，且∈， ∴當t＝時，S2＋T2取得最大值， 此時S2＋T2＝－2＋＋＝. 答案： 三、加練大題考法——少失分 1.(2019屆高三洛陽聯(lián)考)如圖，在△ABC中，點P在BC邊上，∠PAC＝60，PC＝2，AP＋AC＝4. (1)求∠ACP； (2)若△APB的面積是，求sin∠BAP. 解：(1)在△APC中，∠PAC＝60，PC＝2，AP＋AC＝4， 由余弦定理得 PC2＝AP2＋AC2－2APACcos∠PAC， 所以22＝AP2＋(4－AP)2－2AP(4－AP)cos 60， 整理得AP2－4AP＋4＝0， 解得AP＝2，所以AC＝2， 所以△APC是等邊三角形，所以∠ACP＝60. (2)由于∠APB是△APC的外角， 所以∠APB＝120， 因為△APB的面積是， 所以APPBsin∠APB＝，所以PB＝3. 在△APB中，由余弦定理得 AB2＝AP2＋PB2－2APPBcos∠APB ＝22＋32－223cos 120＝19， 所以AB＝. 在△APB中，由正弦定理得＝， 所以sin∠BAP＝＝. 2．(2018開封模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，已知3a2－4S＝3b2＋3c2. (1)求A； (2)若a＝3，求△ABC周長的取值范圍． 解：(1)∵S＝bcsin A， ∴由已知得，b2＋c2－a2＝－S＝－bcsin A， ∴cos A＝＝－sin A， ∴tan A＝－，又∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)在△ABC中，由正弦定理得， ＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin， 記△ABC周長為y， ∴y＝a＋b＋c＝2sin B＋2sin＋3 ＝2sin B＋2＋3 ＝sin B＋3cos B＋3＝2sin＋3， ∵B∈，∴sin∈， ∴y∈(6,3＋2]， ∴△ABC周長的取值范圍是(6,3＋2]． 3. (2018淄博模擬)在△ABC中，∠BAC＝，D為邊BC上一點，DA⊥AB，且AD＝. (1)若AC＝2，求BD； (2)求＋的取值范圍． 解：(1)因為∠BAC＝，∠BAD＝， 所以∠CAD＝，在△DAC中， 由余弦定理知 CD2＝AC2＋AD2－2ACADcos＝， 得CD＝， 從而cos∠ADC＝＝＝－. 所以cos∠ADB＝. 在Rt△DAB中，BD＝＝， 所以所求BD的長為. (2)設∠ADB＝α，則∠ACD＝α－， 在Rt△DAB中，＝cos α， 在△DAC中，由正弦定理知 ＝＝2sin. 于是＋＝cos α＋2sin＝sin α. 由題設知＜α＜，故＜sin α＜1， 因此所求＋的取值范圍為. 4．設函數(shù)f (x)＝sin x(cos x＋sin x)－. (1)求函數(shù)f (x)的最大值，并求此時的x值； (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f (A)＝1，且2bsin B＋2csin C＝bc＋a，求a的值． 解：(1)由題意可得f (x)＝sin xcos x＋sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin. 當2x－＝＋2kπ(k∈Z)， 即x＝＋kπ(k∈Z)時，函數(shù)f (x)取得最大值為1. (2)∵A∈(0，π)，∴2A－∈. 又f (A)＝sin＝1， ∴2A－＝， ∴A＝. 根據(jù)正弦定理＝＝， 得sin B＝，sin C＝. ∵2bsin B＋2csin C＝bc＋a， ∴2b＋2c＝bc＋a， ∴(b2＋c2－a2)＝abc， ∴2bccos ＝abc， ∴a＝.