2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末檢測(cè) 湘教版選修2-2.doc

第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末檢測(cè) 一、選擇題 1．(2013廣東改編)若曲線y＝2x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則切線l的方程為 (　　) A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0 C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0 答案　D 解析　y′＝4x，設(shè)切點(diǎn)M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率 k1＝－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切點(diǎn)為M(1,2)，k＝4.故切線l的方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故選D. 2．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)減區(qū)間為 (　　) A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 答案　A 解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范圍為(－∞，－1)∪(0,1)，故選A. 3．一物體在變力F(x)＝5－x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30方向作直線運(yùn)動(dòng)，則由x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝2時(shí)F(x)作的功為 (　　) A. J B. J C. J D．2 J 答案　C 解析　由于F(x)與位移方向成30角．如圖：F在位移方向上的分力F′＝Fcos 30，W＝ (5－x2)cos 30dx＝(5－x2)dx＝ ＝＝ (J)． 4. (2012重慶改編)已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x) (　　) A．在(－∞，0)上為減函數(shù) B．在x＝0處取極小值 C．在(4，＋∞)上為減函數(shù) D．在x＝2處取極大值 答案　C 解析　使f′(x)＞0的x的取值范圍為增區(qū)間；使f′(x)＜0的x的取值范圍為減區(qū)間． 5．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．(－∞，－) B．[－，] C．(，＋∞) D．(－，) 答案　B 解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤. 6．設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0＝ (　　) A．e2 B．ln 2 C. D．e 答案　D 解析　f′(x)＝x(ln x)′＋(x)′ln x＝1＋ln x， ∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2， ∴l(xiāng)n x0＝1，∴x0＝e. 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x(x＞0)，則y＝f(x) (　　) A．在區(qū)間(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B．在區(qū)間(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn) C．在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn) D．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn) 答案　C 解析　由題意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3； f′(x)＝0得x＝3，故知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3，＋∞)為增函數(shù)，在點(diǎn)x＝3處有極小值1－ln 3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0， f＝＋1＞0. 8．曲線y＝sin x，y＝cos x與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為 (　　) A． (sin x－cos x)dx B． (sin x－cos x)dx C． (cos x－sin x)dx D． (cos x－sin x)dx 答案　D 解析　如圖所示，兩陰影部分面積相等，所示兩陰影面積之和等于0<x<陰影部分面積的2倍．故選D. 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是 (　　) A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2] 答案　D 解析　∵f′(x)＝x2sin θ＋xcos θ， ∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2＝ 2sin. ∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤， ∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2. 10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)有 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　令f(x)＝2x3－6x2＋7， ∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2；又f(0)＝7＞0， f(2)＝－1＜0， f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減， ∴方程在(0,2)內(nèi)只有一實(shí)根． 二、填空題 11．(2013廣東)若曲線y＝kx＋lnx在點(diǎn)(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________. 答案?。? 解析　求導(dǎo)得y′＝k＋，依題意k＋1＝0，所以k＝－1. 12．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　a≥3 解析　由題意應(yīng)有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在區(qū)間(－1,1)上恒成立，則a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3. 13.已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，給出以下說(shuō)法： ①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)； ②函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上無(wú)單調(diào)性； ③函數(shù)f(x)在x＝－處取得極大值； ④函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值．其中正確的說(shuō)法有________． 答案?、佗? 解析　從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，故①正確； 當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)，②錯(cuò)誤，③也錯(cuò)誤； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)，而在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值，故④正確． 14．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　∵y′|x＝1＝n＋1， ∴切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝. 所以log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 015 ＝log2 014(x1x2…x2 013) ＝log2 014＝log2 014＝－1. 三、解答題 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3處取得極值． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在點(diǎn)A(1,16)處的切線方程． 解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. ∵f(x)在x＝3處取得極值， ∴f′(3)＝69－6(a＋1)3＋6a＝0， 解得a＝3. ∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)A點(diǎn)在f(x)上， 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切線方程為y＝16. 16．設(shè)<a<1，函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋b (－1≤x≤1)的最大值為1，最小值為－，求常數(shù)a，b. 解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0， 得x1＝0，x2＝a. f(0)＝b ，f(a)＝－＋b, f(－1)＝－1－a＋b， f(1)＝1－a＋b. 因?yàn)?lt;a<1，所以1－a<0， 故最大值為f(0)＝b＝1， 所以f(x)的最小值為f(－1)＝－1－a＋b＝－a， 所以－a＝－，所以a＝. 故a＝，b＝1. 17．若函數(shù)f(x)＝4x3－ax＋3在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為多少？ 解　若f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)，則f′(x)≥0在上恒成立， 即12x2－a≥0在上恒成立， ∴a≤12x2在上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0. 當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0時(shí)f′(x)＝0)． ∴a＝0符合題意． 若f(x)在上為單調(diào)減函數(shù)， 則f′(x)≤0在上恒成立， 即12x2－a≤0在上恒成立， ∴a≥12x2在上恒成立， ∴a≥(12x2)max＝3. 當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝時(shí)f′(x)＝0)．因此，a的取值范圍為a≤0或a≥3. 18．如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為200 m2的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16 m，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋)． (1)寫(xiě)出總造價(jià)y(元)與污水處理池長(zhǎng)x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域． (2)污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)． 解　(1)設(shè)長(zhǎng)為x m， 則寬為 m. 據(jù)題意 解得≤x≤16. y＝400＋248＋16 000 ＝800x＋＋16 000， (2)y′＝800－＝0， 解得x＝18. 當(dāng)x∈(0,18)時(shí)，函數(shù)y為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(18，＋∞)時(shí)，函數(shù)y為增函數(shù)． 又∵≤x≤16， ∴當(dāng)x＝16時(shí)，ymin＝45 000. 當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)為16 m、寬為12.5 m時(shí)，總造價(jià)y最低為45 000元．