（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（二十一）“選填”壓軸小題的4大搶分策略 理（普通生含解析）.doc

專題檢測（二十一） “選填”壓軸小題的4大搶分策略 A組——選擇題解題技法專練 1．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，則α－β的值為(　　) A．－　　　　　　　　 　B．－ C. D. 解析：選D　令β＝，則有sin α＝－cos α?tan α＝－，α∈(0，π)， 所以α＝，從而α－β＝. 2．已知0<a<b<1，則ab，logba，－logab的大小關(guān)系是(　　) A．－logab<ab<logba B．－logab<logba<ab C．logba<－logab<ab D．a(chǎn)b<－logab<logba 解析：選A　顯然，直接找這三個數(shù)的大小關(guān)系不容易，但對a，b取某些特殊的值，其大小關(guān)系就非常明顯了．如令a＝，b＝，則有－logab＝－log42<0，logba＝log24＝2，ab＝＝，由此可得選A. 3．若不等式x2－logax<0在內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因為x∈，當(dāng)a＝時，顯然x2<logax恒成立． 又當(dāng)x→時，由<loga?a>；當(dāng)x→0時，可推得a<1，故選A. 4．雙曲線x2－y2＝1的左焦點為F，點P為左支下半支異于頂點A的任意一點，則直線PF斜率的變化范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：選C　如圖所示，當(dāng)P→A時，PF的斜率k→0. 當(dāng)PF⊥x軸時，PF的斜率不存在，即k→∞. 當(dāng)P在無窮遠處時，PF的斜率k→1. 結(jié)合四個備選項得C項正確． 5．已知θ∈[0，π)，若對任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，則θ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　令x＝－1，不等式化為cos θ>0； 令x＝0，不等式化為sin θ>0. 又0≤θ<π，所以0<θ<. 當(dāng)－1<x<0時， 不等式化為2cos θ＋＋sin θ>0. 設(shè)＝t(t<0)， 則t2cos θ＋t＋sin θ>0對t<0恒成立． 設(shè)f(t)＝t2cos θ＋t＋sin θ＝cos θ2＋sin θ－， 則f(t)min＝sin θ－>0，即sin 2θ>. 又0<2θ<π，所以<2θ<，故<θ<. 6．在對角線AC1＝6的正方體ABCDA1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面內(nèi)的動點P到直線D1C1，DC的距離之和為4，則的取值范圍是(　　) A．[－2,1] B．[0,1] C．[－1,1] D. 解析：選A　法一：依題意可知CC1＝2， 點P到點C1與C的距離之和為4， 從而可得點P在以C1C為y軸，C1C的中點為原點的橢圓4x2＋y2＝4上．設(shè)P(x0，y0)， 則＝(x0，y0－)(x0，y0＋)＝x＋y－3＝ y－2(－2≤y0≤2)． 由此可得－2≤≤1，故選A. 法二：由四個備選項可知，B、C、D都是A的子集． 于是，由“若A則B把A拋，A，B同真都去掉”可知，應(yīng)著重考查“－2”與“1”的值能否取到． 又由條件易知，點P在以C1C為y軸，C1C的中點為原點的橢圓4x2＋y2＝4上． 由此可得，當(dāng)y＝0時，可取到－2， 當(dāng)x＝0時，可取到1.故選A. 7.如圖所示，A是函數(shù)f(x)＝2x的圖象上的動點，過點A作直線平行于x軸，交函數(shù)g(x)＝2x＋2的圖象于點B，若函數(shù)f(x)＝2x的圖象上存在點C使得△ABC為等邊三角形，則稱A為函數(shù)f(x)＝2x的圖象上的“好位置點”，則函數(shù)f(x)＝2x的圖象上的“好位置點”的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　設(shè)A(x,2x)，B(x－2,2x)，若△ABC為等邊三角形，則C(x－1,2x－1)，且AC＝AB＝2，即＝2，即22x－2＝3，又y＝22x－2單調(diào)遞增，所以方程有唯一解x＝＋1，即函數(shù)f(x)＝2x的圖象上的“好位置點”的個數(shù)為1. 8．函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則(　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù) C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數(shù) 解析：選D　法一：因為f(x＋1)是奇函數(shù)， 所以f(x)＝f(x－1＋1)＝－f[－(x－1)＋1]＝－f(－x＋2)， 又因為f(x－1)是奇函數(shù)，則－f(－x＋2)＝－f[(－x＋3)－1]＝f(x－3－1)＝f(x－4)， 所以f(x)＝f(x－4)． 所以f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)是奇函數(shù)，因而選D. 法二：令f(x)＝sin πx， 則f(x＋1)＝sin[π(x＋1)]＝－sin πx， f(x－1)＝sin[π(x－1)]＝－sin πx. 所以，當(dāng)f(x＋1)，f(x－1)都是奇函數(shù)時，f(x)不是偶函數(shù)，排除A. 令f(x)＝cos x，則 f(x＋1)＝cos＝－sinx， f(x－1)＝cos＝sin x， 且f(x＋2)＝cos＝－cosx， 所以，當(dāng)f(x＋1)，f(x－1)都是奇函數(shù)時，f(x)不是奇函數(shù)，且f(x)≠f(x＋2)，排除B、C，故選D. 9．已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|)，若關(guān)于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集為A，且?A，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D. 解析：選A　由題意得(x＋a)(1＋a|x＋a|)<x(1＋a|x|)．當(dāng)a＝－2，x＝0時， 有(0－2)(1－2|0－2|)＝6<0(1－20)不成立，故D錯． 當(dāng)a＝，x＝時， 有＝1<不成立．故C錯． 當(dāng)a＝，x＝時， 有<， 即<，顯然，此式成立，故B不對．所以選A. 10．已知函數(shù)f(x)＝ex＋e2－x，若關(guān)于x的不等式[f(x)]2－af(x)≤0恰有3個整數(shù)解，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．1 B．2e C．e2＋1 D．e3＋ 解析：選C　因為f(x)＝ex＋e2－x＞0，所以由[f(x)]2－af(x)≤0可得0＜f(x)≤a.令t＝ex，則g(t)＝t＋(t＞0)，畫出函數(shù)g(t)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象分析易知原不等式有3個整數(shù)解可轉(zhuǎn)化為0＜g(t)≤a的3個解分別為1，e，e2.又當(dāng)t＝ex的值分別為1，e，e2時，x＝0,1,2.畫出直線y＝e2＋1，故結(jié)合函數(shù)圖象可知a的最小值為e2＋1.故選C. 11．設(shè)F為雙曲線－y2＝1的左焦點，在點F右側(cè)的x軸上有一點A，以FA為直徑的圓與雙曲線左、右兩支在x軸上方的交點分別為M，N，則 的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　法一：如圖，取點A為右焦點F′， 則|FA|＝|FF′|. 由對稱性知|FM|＝|F′N|， 所以＝＝＝. 法二：由已知得F(－2,0)，如圖，設(shè)A(m，0)(m>)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則以AF為直徑的圓的方程為(x－m)(x＋2)＋y2＝0. 由 消去y，得 x2－(m－2)x－2m－1＝0. 所以x1＋x2＝(m－2)． 所以＝ ＝＝＝. 12．在我們學(xué)過的函數(shù)中有這樣一類函數(shù)：“對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有函數(shù)值f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長”．下面四個函數(shù)： ①f(x)＝(x>0)；②f(x)＝x2(x>0)； ③f(x)＝sin x(0<x<π)；④f(x)＝cos x. 屬于這一類函數(shù)的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：選B?、僭O(shè)0<a≤b≤c，∵a＋b>c， ∴a＋b＋2＞c，∴(＋)2>c，∴＋>， 即f(a)＋f(b)>f(c)， ∴f(x)＝(x>0)屬于這一類函數(shù)； ②舉反例：若a＝3，b＝3，c＝5，則a2＋b2<c2， 即f(a)＋f(b)<f(c)，∴f(x)＝x2(x>0)不屬于這一類函數(shù)； ③舉反例：若a＝，b＝，c＝，則sin a＝sin b＋sin c， 即f(a)＝f(b)＋f(c)＝＋＝1， ∴f(x)＝sin x(0<x<π)不屬于這一類函數(shù)； ④設(shè)0<a≤b≤c<，∴cos a≥cos b≥cos c>， ∴f(b)＋f(c)＝cos b＋cos c>，而cos a<1， 即f(b)＋f(c)>f(a)，∴f(x)＝cos x屬于這一類函數(shù)． 綜上，屬于這一類函數(shù)的有2個，故選B. B組——填空題解題技法專練 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b－c＝acos C，且4(b＋c)＝3bc，a＝2，則△ABC的面積S＝________. 解析：由正弦定理得sin B－ sin C＝sin Acos C，∵sin B＝sin(A＋C)， ∴sin(A＋C)－sin C＝sin Acos C， 即cos Asin C＝sin C. 又sin C≠0，∴cos A＝， 又A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝60， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， ∴(b＋c)2－4(b＋c)＝12， 得b＋c＝6，∴bc＝8， ∴S＝bcsin A＝8＝2. 答案：2 2．已知函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0且x≠1時，>0，若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為－，則f(1)＝________. 解析：因為當(dāng)x>0且x≠1時，>0， 所以當(dāng)x>1時，2f(x)＋xf′(x)>0； 當(dāng)0<x<1時，2f(x)＋xf′(x)<0. 令g(x)＝x2f(x)，x∈(0，＋∞)， 則g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]， 所以當(dāng)x>1時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)＝x2f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)0<x<1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)＝x2f(x)單調(diào)遞減， 所以函數(shù)g(x)＝x2f(x)在x＝1處取得極值， 所以g′(1)＝2f(1)＋f′(1)＝0. 因為曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為－， 所以f′(1)＝－，所以f(1)＝＝. 答案： 3．已知函數(shù)f(x)＝當(dāng)1<a<2時，關(guān)于x的方程f[f(x)]＝a實數(shù)解的個數(shù)為________． 解析：當(dāng)1<a<2時，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，令u＝f(x)，則f(u)＝a，由f(x)的圖象可知，若u滿足u<0，此時f(x)＝u無解，若u>0，解得<u<<1或2<e<u<e2，顯然，當(dāng)x<0時，不可能使得f(x)＝u有解，當(dāng)x>0，<u<<1時，f(x)＝u有2個解，當(dāng)x>0,2<e<u<e2時，f(x)＝u也有2個解．因此f[f(x)]＝a有4個實數(shù)解． 答案：4 4．(2019屆高三武漢調(diào)研)過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，與準(zhǔn)線交于點M，且＝3，則||＝________. 解析：過點P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1， 由＝3，得|PM|＝2|PF|， 又由拋物線的定義知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|. 由三角形相似得＝＝， 所以|PP1|＝，所以||＝. 答案： 5．已知函數(shù)f(x)＝x＋3＋mx3＋nx(m<0，n<0)，且f(x)在[0,1]上的最小值為－，則f(x)在[－1,0]上的最大值為________． 解析：令g(x)＝mx3＋nx(m<0，n<0)，則g′(x)＝3mx2＋n，因為m<0，n<0，所以g′(x)<0，所以g(x)為減函數(shù)．又y＝x＋3為減函數(shù)，所以f(x)為減函數(shù)．當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)min＝f(1)＝m＋n＋＝－，得m＋n＝－2，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)max＝f(－1)＝－m－n＋＝. 答案： 6．已知向量a，b，c滿足|a|＝，|b|＝ab＝3，若(c－2a)(2b－3c)＝0, 則|b－c|的最大值是________． 解析：設(shè)a與b的夾角為θ，則ab＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 設(shè)＝a，＝b，c＝(x，y)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． 則A(1,1)，B(3,0)， ∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)， ∵(c－2a)(2b－3c)＝0， ∴(x－2)(6－3x)＋(y－2)(－3y)＝0. 即(x－2)2＋(y－1)2＝1. ∵b－c＝(3－x，－y)， ∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，即|b－c|的最大值為＋1. 答案：＋1 7．(2018開封高三定位考試)已知正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD的外接球的表面積為________． 解析：如圖①，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，則BD＝DC＝1，AD＝，在翻折后所得的幾何體中，如圖②，AD⊥BD，AD⊥CD，則AD⊥平面BCD，三棱錐ABCD的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距離d＝AD＝.在△BCD中，BC＝，則由余弦定理，得cos∠BDC＝＝＝－，所以∠BDC＝120.設(shè)球的半徑為R，△BCD的外接圓半徑為r，則由正弦定理，得2r＝＝＝2，解得r＝1，則球的半徑R＝＝＝，故球的表面積S＝4πR2＝4π2＝7π. 答案：7π 8.(2018湘中名校聯(lián)考)一塊邊長為a cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則容器的容積的最大值是________． 解析：如圖，設(shè)AB＝x，OF＝， EF＝(0<x<a)， 所以EO＝＝. 所以V(x)＝S正方形ABCDEO＝x2＝(0<x<a)． 令y＝a2x4－x6(0<x<a)， 則y′＝4a2x3－6x5＝2x3(2a2－3x2)． 當(dāng)y′＝0時，x＝a. 當(dāng)y′<0時，a<x<a， 當(dāng)y′>0時，0<x<a. 所以y＝a2x4－x6(0<x<a)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 所以當(dāng)x＝a時，ymax＝a24－6＝a6， 即V(x)max＝ ＝a3. 答案：a3 9．已知函數(shù)f(x)＝sin與函數(shù)g(x)＝cos在區(qū)間上的圖象交于A，B，C三點，則△ABC的周長為________． 解析：因為函數(shù)f(x)＝sin與函數(shù)g(x)＝cos在區(qū)間上的圖象交于A，B，C三點，所以由sin ＝cos，x∈，解得x＝－1,0,1， 不妨設(shè)A，B，C， 所以AB＝＝，AC＝2，BC＝＝， 所以△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝2＋2. 答案：2＋2 10．(2019屆高三昆明調(diào)研)將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多1項的規(guī)則排成如下數(shù)陣： 記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1，a2，a4，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．若Sn＝2bn－1，則a56＝________. 解析：當(dāng)n≥2時，∵Sn＝2bn－1，∴Sn－1＝2bn－1－1， ∴bn＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)， ∵b1＝2b1－1，∴b1＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， ∴bn＝2n－1. 設(shè)a1，a2，a4，a7，a11，…的下標(biāo)1,2,4,7,11，…構(gòu)成數(shù)列{cn}，則c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，∴cn＝＋1，由cn＝＋1＝56，得n＝11，∴a56＝b11＝210＝1 024. 答案：1 024 11．(2018鄭州第一次質(zhì)量測試)已知雙曲線C：－＝1的右焦點為F，過點F向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為M，交另一條漸近線于N，若2＝，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析：由題意得雙曲線的漸近線方程為y＝x，F(xiàn)(c,0)，則|MF|＝b， 由2＝，可得＝，所以|FN|＝2b. 在Rt△OMF中，由勾股定理， 得|OM|＝＝a， 因為∠MOF＝∠FON，所以由角平分線定理可得＝＝，|ON|＝2a， 在Rt△OMN中，由|OM|2＋|MN|2＝|ON|2，可得a2＋(3b)2＝(2a)2,9b2＝3a2，即＝， 所以＝，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝x. 答案：x 12．已知O是△ABC的外心，取∠C＝45，若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是________． 解析：因為∠C＝45，所以∠AOB＝90.由已知，不妨設(shè)△ABC的外接圓半徑為1，并設(shè)＝i，＝j(luò)，則C(m，n)，點C的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓弧(不含端點)，如圖所示．設(shè)m＋n＝t，則直線x＋y＝t與此圓弧有公共點，故－≤t<1，即m＋n的取值范圍是[－，1)． 注：也可設(shè)m＝cos θ，n＝sin θ，則m＋n＝sin.因為<θ＋<， 所以－1≤sin<，所以－≤m＋n<1. 答案：[－，1) 13．設(shè)點(1,2)在拋物線y＝ax2上，直線l與拋物線交于A，B兩點，直線l1是線段AB的垂直平分線．若直線l1的斜率為2，則l1在y軸上截距的取值范圍為________． 解析：由點(1,2)在拋物線y＝ax2上，得a＝2，即拋物線方程為y＝2x2.設(shè)直線l1在y軸上的截距為t，依題意得l1的方程為y＝2x＋t.直線l的方程可設(shè)為y＝－x＋b，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y可得2x2＋x－b＝0，則x1＋x2＝－，Δ＝＋8b＞0，即b>－.設(shè)AB的中點P(x0，y0)，則x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝－x0＋b＝＋b.由點P在直線l1上，得＋b＝－＋t，于是t＝＋b>－＝.故l1在y軸上截距的取值范圍為. 答案： 14．(2019屆高三廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋y－2＝0與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相切，且橢圓C的右焦點F(c,0)關(guān)于直線l：y＝x的對稱點E在橢圓C上，則△OEF的面積為________． 解析：聯(lián)立消去x，化簡得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0， 由Δ＝0，得2b2＋a2－8＝0.設(shè)F′為橢圓C的左焦點， 連接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF， 又點F到直線l的距離d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝， 在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化簡得2b2＝a2， 代入2b2＋a2－8＝0，得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2， 所以S△OEF＝S△F′EF＝1. 答案：1 15.(2019屆高三山西四校聯(lián)考)如圖，等邊△ABC的邊長為2，頂點B，C分別在x軸的非負半軸，y軸的非負半軸上移動，M為AB的中點，則的最大值為________． 解析：設(shè)∠OBC＝θ，因為BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)， 則＝(－2cos θ，2sin θ)，設(shè)＝(x，y)，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形， 所以解得 即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)， 則＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)， 因為M為AB的中點， 所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ， 所以＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ＝， 所以的最大值為＋. 答案：＋ 16．已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為3，則 (1)m＝________； (2)對任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零點個數(shù)為________． 解析：(1)因為f(x)＝2sin＋1＋m， 當(dāng)x∈時，≤2x＋≤， 所以當(dāng)x＝時，f(x)取最大值3＋m，所以m＝0. (2)易知函數(shù)f(x)是周期為π的周期函數(shù)，由圖可知，在每個周期內(nèi)只有2個零點，而[a，a＋20π]有20個周期，故有40個零點，特別地，當(dāng)a為零點時，a＋20π也是零點，由此可得，此時可有41個零點．所以填40或41. 答案：(1)0　(2)40或41