（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題六 數(shù)列講義 理（普通生含解析）.doc

重點增分專題六數(shù)列全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018等差數(shù)列的基本運算T4等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及最值T17等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式T17Sn與an的關(guān)系、等比數(shù)列求和T142017等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式T4數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概念、前n項和公式T3等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及等比中項T9等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、裂項相消法求和T15等比數(shù)列的通項公式T142016等差數(shù)列的基本運算T3等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、創(chuàng)新問題T17數(shù)列的遞推關(guān)系及通項公式、前n項和公式T17等比數(shù)列的運算及二次函數(shù)最值問題T15(1)高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運算，兩類數(shù)列求和方法(裂項相消法、錯位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合)，主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用(2)若以解答題形式考查，數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多 大穩(wěn)定1.(2018全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3S2S4，a12，則a5()A12B10C10 D12解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得3(3a13d)2a1d4a16d，即3a12d0.將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.2.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，則數(shù)列an的公比q為()A4 B2C. D.解析：選C因為2，所以q1.所以1q5，所以1q5，所以q.3.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2b23.(1)若a3b37，求bn的通項公式；(2)若T313，求Sn.解：(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，由a3b37，得2dq28，聯(lián)立，解得q2或q0(舍去)，因此bn的通項公式為bn2n1.(2)T31qq2，1qq213，解得q3或q4，由a2b23，得d4q，d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.解題方略等差(比)數(shù)列基本運算的解題思路(1)設(shè)基本量：首項a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量小創(chuàng)新1.設(shè)數(shù)列an滿足a2a410，點Pn(n，an)對任意的nN*，都有向量(1,2)，則數(shù)列an的前n項和Sn_.解析：Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，(1，an1an)(1,2)，an1an2，數(shù)列an是公差d為2的等差數(shù)列又由a2a42a14d2a14210，解得a11，Snn2n2.答案：n22.設(shè)某數(shù)列的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”若一個首項為1，公差為d(d0)的等差數(shù)列an為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d_.解析：由k(k為常數(shù))，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，對任意正整數(shù)n，上式恒成立，得數(shù)列an的公差為2.答案：23.(2017全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13. 大穩(wěn)定1.在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的根，則的值為()ABC. D或解析：選B設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a3<0，a15<0，則a9，所以a9，故選B.2.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S40，且S83S4，設(shè)S12S8，則()A. B.C2 D3解析：選C因為Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S40，且S83S4，S12S8，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得：S4，S8S4，S12S8成等差數(shù)列，所以2(S8S4)S4(S12S8)，所以2(3S4S4)S4(3S43S4)，解得2.3.在等差數(shù)列an中，已知a113,3a211a6，則數(shù)列an的前n項和Sn的最大值為_解析：設(shè)an的公差為d.法一：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，所以an13(n1)(2)2n15.由得解得6.5n7.5.因為nN*，所以當(dāng)n7時，數(shù)列an的前n項和Sn最大，最大值為S749.法二：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，所以an13(n1)(2)2n15.所以Snn214n(n7)249，所以當(dāng)n7時，數(shù)列an的前n項和Sn最大，最大值為S749.答案：494.已知數(shù)列an滿足an若對于任意的nN*都有an>an1，則實數(shù)的取值范圍是_解析：法一：因為an>an1，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以解得<<.所以實數(shù)的取值范圍是.法二：因為an>an1恒成立，所以0<<1.若0<，則當(dāng)n<6時，數(shù)列an為遞增數(shù)列或常數(shù)列，不滿足對任意的nN*都有an>an1；若<<1，則當(dāng)n<6時，數(shù)列an為遞減數(shù)列，當(dāng)n6時，數(shù)列an為遞減數(shù)列，又對任意的nN*都有an>an1，所以a6<a5，即<51，解得<，所以<<.綜上，實數(shù)的取值范圍為.答案：解題方略等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略抓關(guān)系抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解用性質(zhì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題小創(chuàng)新1.在等差數(shù)列an中，公差d0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差數(shù)列，且a510，則an的前5項和S5()A40 B35C30 D25解析：選C因為lg a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列，所以2lg a2lg a1lg a4lg alg a1a4aa1a4d2a1d，因為d0，所以a1d，又a5a14d10，所以a12，d2，S55a1d30.選C.2.已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列an是等差數(shù)列，a3>0，則f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒為正數(shù)B恒為負(fù)數(shù)C恒為0D可以為正數(shù)也可以為負(fù)數(shù)解析：選A因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，又f(x)是R上的增函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，有f(x)>f(0)0，當(dāng)x<0時，有f(x)<f(0)0，因為a3>0，所以f(a3)>0.因為數(shù)列an是等差數(shù)列，所以a3>0a1a5>0a1>a5f(a1)>f(a5)，又f(a5) f(a5)，所以f(a1)f(a5)>0，故f(a1)f(a3)f(a5)f(a1)f(a5)f(a3)>0.3.已知數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*，且a5，若函數(shù)f(x)sin 2x2cos2 ，記ynf(an)，則數(shù)列yn的前9項和為()A0 B9C9 D1解析：選C由已知可得，數(shù)列an為等差數(shù)列，f(x)sin 2xcos x1，f1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2419，即數(shù)列yn的前9項和為9.4.數(shù)列an是首項a1m，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足2bn(n1)an，若對任意nN*都有bnb5成立，則m的取值范圍是_解析：由題意得，anm2(n1)，從而bnanm2(n1)又對任意nN*都有bnb5成立，結(jié)合數(shù)列bn的函數(shù)特性可知b4b5，b6b5，故解得22m18.答案：22，18 典例設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，對任意的nN*，都有Sn2an，數(shù)列bn滿足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式解(1)當(dāng)n1時，a1S12a1，解得a11；當(dāng)n2時，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列an的通項公式為ann1.(2)因為a11，所以b12a12.因為bn，所以1，即1(n2)所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列所以(n1)1，故數(shù)列bn的通項公式為bn.解題方略數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用等差中項，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2)多練強(qiáng)化已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值(2)設(shè)bnan3，證明數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求通項公式an.解：(1)因為數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n(nN*)所以n1時，由a1S12a131，解得a13，n2時，由S22a232，得a29，n3時，由S32a333，得a321.(2)因為Sn2an3n，所以Sn12an13(n1)，兩式相減，得an12an3，把bnan3及bn1an13，代入式，得bn12bn(nN*)，且b16，所以數(shù)列bn是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以bn62n1，所以anbn362n133(2n1). 增分考點深度精研析母題典例已知數(shù)列an滿足a14a242a34n1an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bnbn1的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n1時，a1.因為a14a242a34n2an14n1an，所以a14a242a34n2an1(n2)，得4n1an(n2)，所以an(n2)由于a1，故an.(2)由(1)得bn，所以bnbn1，故Tn.練子題1在本例條件下，若設(shè)bnanlogan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：an，bn，Tn，Tn，兩式相減得，Tn22，Tn.2在本例條件下，若數(shù)列的前n項和為Sn，記bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：an，4n，Sn4n，則bn42n4n，Tnb1b2bn(424442n)(4424n)42n4n.3在本例條件下，設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：an，bn.Tnb1b2b3bn.解題方略1分組求和中分組的策略(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負(fù)號分組2裂項相消求和的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多3錯位相減法求和的關(guān)注點(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項相乘(anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個和式錯位相減；整理結(jié)果形式多練強(qiáng)化1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，S3a5.令bn(1)n1an，則數(shù)列bn的前2n項和T2n為()AnB2nCn D2n解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S3a5，得3a2a5，3(1d)14d，解得d2，an2n1，bn(1)n1(2n1)，T2n1357(4n3)(4n1)2n，選B.2(2017天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*)解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.由，解得a11，d3，所以an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.(2)由(1)知a2n6n2，b2n124n1，則a2nb2n1(3n1)4n，設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述兩式相減，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.故Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項和為4n1.3已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，nN*，且a23，S525.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，記數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：Tn<1.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為所以解得所以an2n1.(2)證明：由(1)知，an2n1，所以Snn2.所以bn.所以Tnb1b2b3bn1<1.數(shù)學(xué)運算數(shù)列的通項公式及求和問題典例設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知S37，a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnanln an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>1)由已知，得即由q>1，解得故數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)由(1)得bn2n1(n1)ln 2，所以Tn(12222n1)012(n1)ln 2ln 22n1ln 2.素養(yǎng)通路數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等本題通過列出關(guān)于首項與公比的方程組，并解此方程組得出首項與公比，從而得出通項公式；通過分組分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式求和考查了數(shù)學(xué)運算這一核心素養(yǎng)