（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第一層級(jí) 基礎(chǔ)送分 專題三 不等式講義 理（普通生含解析）.doc

基礎(chǔ)送分專題三　不等式 不等式的性質(zhì)及解法 [題組練透] 1．(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)設(shè)a>b，a，b，c∈R，則下列式子正確的是(　　) A．a(chǎn)c2>bc2　　　　　　　 B.>1 C．a(chǎn)－c>b－c D．a(chǎn)2>b2 解析：選C　若c＝0，則ac2＝bc2，故A錯(cuò)；若b<0，則<1，故B錯(cuò)；不論c取何值，都有a－c>b－c，故C正確；若a，b都小于0，則a2<b2，故D錯(cuò)．于是選C. 2．已知關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，則a＝(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 解析：選B　根據(jù)一元二次不等式與之對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系知－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的兩個(gè)根，所以－1＝－，所以a＝－2. 3．設(shè)p：x2－x－20>0，q：<0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.q：由<0?(1－x2)(|x|－2)<0，當(dāng)x≥0時(shí)，可化為(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2. 當(dāng)x<0時(shí)，可化為(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－1<x<0或x<－2，故<0的解為x<－2或－1<x<1或x>2，所以由p?q，但qp，故選A. 4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D.∪{2} 解析：選B　當(dāng)a2－4＝0時(shí)，解得a＝2或a＝－2，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式可化為4x－1≥0，解集不是空集，不符合題意；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式可化為－1≥0，此式不成立，解集為空集．當(dāng)a2－4≠0時(shí)，要使不等式的解集為空集，則有解得－2<a<.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選B. 5．若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________． 解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范圍為. 答案： [題后悟通] 快審題 1.看到有關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定，想到不等式的性質(zhì)． 2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟． 準(zhǔn)　解　題 1.明確解不等式的策略 (1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集． (2)含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解． 2.掌握不等式恒成立問(wèn)題的解題方法 (1)f(x)>a對(duì)一切x∈I恒成立?f(x)min>a； f(x)<a對(duì)一切x∈I恒成立?f(x)max<a. (2)f(x)>g(x)對(duì)一切x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方． (3)解決恒成立問(wèn)題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．利用分離參數(shù)法時(shí)，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等． 避誤區(qū) 解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論. 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 [題組練透] 1．(2019屆高三重慶調(diào)研)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值為(　　) A．3　　　　　　　　　 　B．4 C．5 D．7 解析：選B　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0并平移該直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝21＋2＝4，故選B. 2．(2018廣州測(cè)試)若x，y滿足約束條件則z＝x2＋2x＋y2的最小值為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D　畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(－1,0)的距離的最小值為，故zmin＝－1＝－. 3．(2019屆高三湖北八校聯(lián)考)已知x，y滿足約束條件若z＝x＋2y的最大值為4，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－4 B．－2 C．－1 D．1 解析：選B　作出約束條件所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知直線z＝x＋2y過(guò)A點(diǎn)時(shí)z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m＝20－2＝－2. 4．(2018合肥質(zhì)檢)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí)．A，B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為(　　) A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元 解析：選B　設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤(rùn)為z千元，則每月利潤(rùn)z＝2x＋y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(diǎn)(150,60)時(shí)，z取得最大值，為360. 5．(2018全國(guó)卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________． 解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示． 由z＝3x＋2y，得y＝－x＋. 作直線l0：y＝－x. 平移直線l0，當(dāng)直線y＝－x＋過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)， z取最大值，zmax＝32＋20＝6. 答案：6 [題后悟通] 快　審　題 1.看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解． 2.看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其幾何意義． 3.看到最優(yōu)解型的實(shí)際應(yīng)用題，想到線性規(guī)劃問(wèn)題，想到確定實(shí)際意義． 準(zhǔn)　解　題 記牢三種常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)及其求法 (1)截距型：形如z＝ax＋by，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為y＝－x＋，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值． (2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝|PM|2. (3)斜率型：形如z＝，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝kPM. 避　誤　區(qū) 1.忽視目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)，而由直線截距的最值確定目標(biāo)函數(shù)的最值． 2.求解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來(lái)，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值. 基本不等式及其應(yīng)用 [題組練透] 1．已知正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C　由正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋， 所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取“＝”， 故m＋n的最小值為5. 2．已知P(a，b)為圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，則當(dāng)＋取最小值時(shí)，a2的值為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：選C　∵P(a，b)為圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0， ∴＋＝(a2＋b2)＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)b2＝2a2＝時(shí)取等號(hào)，故a2＝，選C. 3．設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為________． 解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：0 4．(2018石家莊質(zhì)檢)已知直線l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)，則a＋b的最小值為________． 解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)， 所以2a＋3b－ab＝0， 即＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3＋，b＝2＋時(shí)等號(hào)成立． 答案：5＋2 5．(2018洛陽(yáng)統(tǒng)考)我市某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為________． 解析：由甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績(jī)按從小到大的順序排列的第4個(gè)數(shù)，故x＝1.由乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(a＋b)＝ ≥(5＋4)＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào))．故＋的最小值為. 答案： [題后悟通] 快審題 看到最值問(wèn)題，想到“積定和最小”，“和定積最大”． 準(zhǔn)　解　題 掌握基本不等式求最值的3種解題技巧 (1)湊項(xiàng)：通過(guò)調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值． (2)湊系數(shù)：若無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過(guò)湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值． (3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值． 避誤區(qū) 運(yùn)用基本不等式時(shí)，一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件．若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號(hào)成立的條件一致，否則最值取不到. 一、選擇題 1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，則a＋b＝(　　) A．1　　　 　B．0　　　　 C．－1　　　　 D．－3 解析：選D　由題意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3. 2．若x>y>0，m>n，則下列不等式正確的是(　　) A．xm>ym　　　　　 　B．x－m≥y－n C.> D．x> 解析：選D　A不正確，因?yàn)橥蛲坏仁较喑?，不等?hào)方向不變，m可能為0或負(fù)數(shù)；B不正確，因?yàn)橥虿坏仁较鄿p，不等號(hào)方向不確定；C不正確，因?yàn)閙，n的正負(fù)不確定．故選D. 3．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 解析：選D　∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3. 4．(2018成都一診)若關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1,1] D．[0，＋∞) 解析：選B　法一：當(dāng)x＝0時(shí)，不等式為1≥0恒成立； 當(dāng)x＞0時(shí)，x2＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x2＋1)?2a≥－，又－≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，所以2a≥－2?a≥－1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)． 法二：設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋1，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－a. 當(dāng)－a≤0，即a≥0時(shí)，f(0)＝1＞0，所以當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≥0恒成立； 當(dāng)－a＞0，即a＜0時(shí)，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝ －a2＋1≥0，得－1≤a＜0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)． 5．已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0) B．[－2,2] C．(－∞，2] D．[0,2] 解析：選C　由f(x)≥－1在R上恒成立，可得當(dāng)x≤0時(shí)，2x－1≥－1，即2x≥0，顯然成立；又x＞0時(shí)，x2－ax≥－1，即為a≤＝x＋，由x＋≥2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取得最小值2，可得a≤2，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]． 6．若<<0，給出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號(hào)是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 解析：選C　法一：因?yàn)?lt;<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C. 法二：由<<0，可知b<a<0. ①中，因?yàn)閍＋b<0，ab>0，所以<，故①正確； ②中，因?yàn)閎<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯(cuò)誤； ③中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，則－>－>0，所以a－>b－，故③正確； ④中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故④錯(cuò)誤． 由以上分析，知①③正確． 7．(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 解析：選B　由4x＋y＝xy，得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝3，y＝6時(shí)取“＝”，故選B. 8．如果實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)z＝kx－y的最大值為6，最小值為0，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 則A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)， 因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝kx－y的最小值為0， 所以目標(biāo)函數(shù)z＝kx－y的最小值可能在A或B處取得， 所以若在A處取得，則k－2＝0，得k＝2，此時(shí)，z＝2x－y在C點(diǎn)有最大值，z＝23－0＝6，成立； 若在B處取得，則k＋1＝0，得k＝－1，此時(shí)，z＝－x－y， 在B點(diǎn)取得最大值，故不成立，故選B. 9．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤(rùn)為(　　) 甲 乙 原料限額 A/噸 3 2 12 B/噸 1 2 8 A．15萬(wàn)元 B．16萬(wàn)元 C．17萬(wàn)元 D．18萬(wàn)元 解析：選D　設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利潤(rùn)z萬(wàn)元，由題意可知 z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示， 直線z＝3x＋4y過(guò)點(diǎn)M時(shí)取得最大值， 由得∴M(2,3)， 故z＝3x＋4y的最大值為18，故選D. 10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若y≥kx－3恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C．(－∞，0]∪ D.∪[0，＋∞) 解析：選A　由約束條件 作出可行域如圖中陰影分部所示， 則A，B(3，－3)，C(3,8)， 由題意得 解得－≤k≤0. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 11．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) D. 解析：選B　因?yàn)椴坏仁絰＋－n2－＜0有解， 所以min＜n2＋， 因?yàn)閤＞0，y＞0，且＋＝1， 所以x＋＝＝＋＋≥＋2 ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝5時(shí)取等號(hào)， 所以min＝， 故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1， 所以實(shí)數(shù)n的取值范圍是∪(1，＋∞)． 12．(2019屆高三福州四校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件其中a＞0，若的最大值為2，則a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)z＝，則y＝x，當(dāng)z＝2時(shí)，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點(diǎn)為，當(dāng)直線x＝a過(guò)點(diǎn)時(shí)，a＝，又此時(shí)直線y＝x的斜率的最小值為－，即－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為，故選C. 二、填空題 13．(2018岳陽(yáng)模擬)不等式≥1的解集為________． 解析：不等式≥1可轉(zhuǎn)化成－1≥0，即≥0， 等價(jià)于解得≤x＜2， 故不等式的解集為. 答案： 14．(2018全國(guó)卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知當(dāng)直線x＋y＝z過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取得最大值． 由得點(diǎn)A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9. 答案：9 15．已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為xx＜－1或x＞，則關(guān)于x的不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0的解集為________． 解析：由題意知－1，是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， 所以且a＜0， 所以 所以不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0化為 －a(lg x)2＋blg x＋a＜0， 即－a(lg x)2＋alg x＋a＜0. 所以(lg x)2－lg x－2＜0， 所以－1＜lg x＜2，所以＜x＜100. 答案： 16．設(shè)x＞0，y＞0，且2＝，則當(dāng)x＋取最小值時(shí)，x2＋＝________. 解析：∵x＞0，y＞0，∴當(dāng)x＋取最小值時(shí)，2取得最小值，∵2＝x2＋＋，2＝，∴x2＋＝＋，2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x＋取最小值時(shí)，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12. 答案：12