《隨機(jī)過程》第6章習(xí)題及參考答案

湖南大學(xué)本科課程隨機(jī)過程第6章習(xí)題及參考答案主講教師：何松華 教授1. 給定實(shí)數(shù)和一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，定義理想門限系統(tǒng)的特性為試證：(1) ；(2) 證：(1) 在任意時刻為只有兩種取值1,0的隨機(jī)變量，則(2)根據(jù)相關(guān)函數(shù)定義，有2設(shè)平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機(jī)過程，其概率密度函數(shù)為在檢波器后聯(lián)接一個理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過程的一維概率密度和均值；當(dāng)時結(jié)果有何變化。解：根據(jù)題意，為非零均值的中頻窄帶隨機(jī)過程，可以表示為：其中、為零均值窄帶隨機(jī)過程的同向分量以及正交分量，都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，且在同一時刻互不相關(guān)，則檢波器輸出信號通過理想低通濾波后，濾波器輸出信號為由于隨機(jī)變量、為互不相關(guān)(正態(tài)分布情況與獨(dú)立等價)的正態(tài)隨機(jī)變量，則服從自由度為2的卡方分布，即，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度關(guān)系，的一維概率密度分布函數(shù)為當(dāng)時，。3設(shè)對稱限幅器的特性為(1)已知輸入隨機(jī)過程的一維概率密度，求輸出隨機(jī)過程的一維概率密度。(2)當(dāng)輸入隨機(jī)過程為零均值平穩(wěn)高斯過程、自相關(guān)函數(shù)為時，求輸出過程的相關(guān)函數(shù)。解：的概率分布函數(shù)為顯然，在處不連續(xù)，從0跳變到，其導(dǎo)數(shù)在該處將產(chǎn)生一個強(qiáng)度為的沖激，在處也不連續(xù)，從跳變到，其導(dǎo)數(shù)在該處將產(chǎn)生一個強(qiáng)度為的沖激，則有(2)根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義以及多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望特性，有：式中，根據(jù)的定義以及聯(lián)合概率密度函數(shù)的對稱性得到4設(shè)有理想限幅器假定輸入為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。(1)求的一維概率密度和均值；(2)用Price定理證明：。解：(1) 顯然，對任意時刻t，只有兩種可能的取值1,-1，且概率各為0.5，則(2) 令為零均值、單位方差高斯噪聲，則，根據(jù)Price定理上式中，令，并利用沖激函數(shù)的積分特性，得到根據(jù)以及得到：。5設(shè)有零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為，它的一維概率分布函數(shù)為，定義一個無記憶非線性系統(tǒng)，試用Price定理證明的相關(guān)函數(shù)為證：根據(jù)Price定理其中，取，得到式中，、，；上式中的積分為一個均值為0、方差為、歸一化相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程的二維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)的全積分，積分值為1，于是有：顯然隨機(jī)變量的取值范圍為-1/2,1/2，當(dāng)在-1/2,1/2范圍內(nèi)變化時，其概率分布函數(shù)為式中，為的反函數(shù)。因此，在任意時刻的概率密度分布為-1/2,1/2上的均勻分布，其均值為0，方差為1/12，代入或并利用或求得：，于是有：6平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值及相關(guān)函數(shù)。解：，存在兩個反函數(shù)，則在任意時刻的概率密度函數(shù)為根據(jù)聯(lián)合正態(tài)分布隨機(jī)變量的聯(lián)合矩函數(shù)特性得到7全波線性檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關(guān)函數(shù)及方差。解：(1) ，存在兩個反函數(shù)，則在任意時刻的概率密度函數(shù)為(2)設(shè)為零均值、單位方差、自相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，則有，對應(yīng)的函數(shù)為，其二階導(dǎo)數(shù)在處產(chǎn)生一個強(qiáng)度為的沖激，其余處的二階導(dǎo)數(shù)值為0，則根據(jù)Price定理得到：根據(jù)分部積分性質(zhì)，得到顯然，的均方值與的均方值相同，代入、以及、得到：，于是有：8半波線性檢波器的傳輸特性為在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關(guān)函數(shù)及方差。解：(1) 在任意時刻的概率分布函數(shù)為(2)設(shè)為零均值、單位方差、自相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，則有，對應(yīng)的函數(shù)為，其二階導(dǎo)數(shù)在處產(chǎn)生一個強(qiáng)度為的沖激，其余處的二階導(dǎo)數(shù)值為0，則根據(jù)Price定理得到：根據(jù)分部積分性質(zhì)，得到代入、以及、得到：、，于是有：9圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為的高斯白噪聲，求輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：根據(jù)電路方程容易得到RC低通濾波器的傳遞函數(shù)為式中，則根據(jù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)理論，低通濾波器輸出過程的功率譜密度函數(shù)為根據(jù)典型傅立葉變換對關(guān)系得到低通濾波器輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為由于為零均值平穩(wěn)高斯過程，則也為零均值平穩(wěn)高斯過程，方差，則根據(jù)題6給出的平方律檢波器的輸入輸出過程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系(證明過程省略)得到：根據(jù)典型傅立葉變換關(guān)系得到檢波器輸出過程的功率譜密度函數(shù)為10設(shè)隨機(jī)變量和是零均值、方差為的聯(lián)合高斯隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為和，且，證明：證：根據(jù)高斯分布以及聯(lián)合高斯分布隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)特性以及多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，并令，有令、，則有(參見題5)，證畢。11設(shè)功率譜密度為的白噪聲通過一個物理帶寬為的理想低通濾波器，在低通濾波器后接一個傳輸特性為的平方律檢波器，求檢波器輸出隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，并將功率譜密度函數(shù)用圖表示。解：理想低通濾波器輸出信號的功率譜密度函數(shù)為根據(jù)相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間傅立葉變換關(guān)系，得到理想低通濾波器輸出信號的自相關(guān)函數(shù)為根據(jù)題6給出的平方律檢波器的輸入輸出過程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系(證明過程省略)得到：根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)，有：根據(jù)卷積原理，寬度為、高度為1的矩形函數(shù)的卷積為寬度為、高度為的三角函數(shù)，則寬度為、高度為的矩形函數(shù)的卷積為寬度為、高度為的三角函數(shù)，則輸出過程的功率譜密度函數(shù)如下圖所示。12設(shè)為均值為、相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯過程，將其加入到模型為的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。解：令為零均值、單位方差高斯噪聲，則，令，根據(jù)Price定理，有：上式中，令，并利用沖激函數(shù)的積分特性，得到令式中，為函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)的值，則有式中13平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機(jī)信號，其中包絡(luò)服從瑞利分布求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值和方差。解：根據(jù)窄帶隨機(jī)過程理論，當(dāng)包絡(luò)服從參數(shù)為的瑞利分布、相位服從-p,p上的均勻分布，且、相互獨(dú)立時，窄帶隨機(jī)過程服從均值為0、方差為的正態(tài)分布證明過程參見第2章15題，或構(gòu)造兩外一個隨機(jī)變量，根據(jù)多維隨機(jī)變量的多維函數(shù)的聯(lián)合概率密度特性得到根據(jù)函數(shù)關(guān)系得到檢波器輸出過程的一維概率密度為的均值、方差分別為14同步檢波器如下圖所示，設(shè)為窄帶平穩(wěn)隨機(jī)信號，其相關(guān)函數(shù)為求檢波器輸出端的相關(guān)函數(shù)及平均功率。解：(由相關(guān)函數(shù)知該窄帶隨機(jī)過程的物理功率譜密度不是關(guān)于對稱的，但不改變窄帶信號的希爾伯特特性)將窄帶隨機(jī)過程表示為忽略符號特性(不改變相關(guān)函數(shù)及功率特性)，則理想低通濾波器輸出信號可以表示為式中，為窄帶隨機(jī)過程的包絡(luò)，為窄帶隨機(jī)過程的正交分量。根據(jù)窄帶隨機(jī)過程理論，的相關(guān)函數(shù)為式中，表示表示Hilbert變換。的平均功率對于窄帶隨機(jī)過程，可以進(jìn)行近似計(jì)算。令，則有則功率譜的基帶部分(非對稱) 所對應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為根據(jù)希爾伯特變換原理以及傅立葉變換性質(zhì)可知15設(shè)全波線性檢波器的傳輸特性為，檢波器的輸入為，其中為直流電平信號，為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，求檢波器輸入、輸出端的信噪比(考慮高信噪比情況)。解：輸入端的信號平均功率以及噪聲平均功率分別為、，則檢波器輸入端信噪比為在高信噪比情況下，全波線性檢波器的輸出信號可以近似表示為式中，第1項(xiàng)為輸出信號，平均功率為，第2項(xiàng)為輸出噪聲，其平均功率為，第3項(xiàng)為信號與噪聲的耦合項(xiàng)，平均功率為，一般將其作為噪聲功率看待，則輸出信噪比為