新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第四章 第5講　兩角和與差的正弦、余弦和正切

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第5講　兩角和與差的正弦、余弦和正切 一、填空題 1．已知tan＝，則tan α＝________. 解析　tan α＝tan＝＝＝－. 答案?。? 2．已知cos α＝－，且α∈，則tan＝________. 解析　由條件得sin α＝，所以tan α＝－，tan＝＝. 答案　 3．已知α，β∈，且tan α＝4，cos(α＋β)＝－，則角β度數(shù)為________． 解析 由α，β∈，tan α＝4，cos(α＋β)＝－， 得sin α＝，cos α＝，sin(α＋β)＝ ＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. 所以β＝. 答案 4．若sin α＝，α∈，則cos＝________. 解析　因?yàn)棣痢?，sin α＝，所以cos α＝， 所以cos＝－(cos α－sin α)＝－. 答案?。? 5．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin＝________. 解析　a·b＝4sin＋4cos α－ ＝2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－. 答案?。? 6．函數(shù)f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos在上的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析　f(x)＝cos，當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，于是由2x－∈[－π，0]， 得f(x)在上的單調(diào)增區(qū)間為. 答案　 7．已知tan α＝，tan β＝，且α，β∈(0，π)，則α＋2β＝________. 解析　tan 2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.∵tan α＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈，所以α＋2β＝. 答案　 8．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，則cos(α－β)的值為________． 解析　由sin α－sin β＝1－得： sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1－＋＝－.① 由cos α－cos β＝得：cos2 α－2cos αcos β＋cos2β＝.② ①＋②得1＋1－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－， 即2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝. 答案　 9．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝－，則sin C＝________. 解析 在△ABC中，由cos B＝－<0，知角B為鈍角，角A為銳角， 所以cos A＝，sin B＝.[來源:] 所以sin C＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋×＝. 答案 10．已知銳角α滿足cos 2α＝cos，則sin 2α等于________． 解析 由cos 2α＝cos得 (cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)[來 由α為銳角知cos α＋sin α≠0.[來源:] ∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝. ∴sin 2α＝. 答案 [來源:數(shù)理化網(wǎng)] 二、解答題 11．函數(shù)f(x)＝cos＋sin，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(α)＝，α∈，求tan的值． 解 (1)f(x)＝cos＋sin ＝sin＋cos ＝sin ∴f(x)的最小正周期T＝＝4π. (2)由f(α)＝， 得sin＋cos＝， ∴1＋sin α＝.∴sin α＝. 又α∈. ∴cos α＝＝ ＝.[來源:] ∴tan α＝＝. ∴tan＝ ＝＝7. 12．已知向量a＝(m，sin 2x)，b＝(cos 2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和. (1)求m，n的值； (2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值； (3)若f＝，α∈時(shí)，求tan的值． 解　(1)f(x)＝mcos 2x＋nsin 2x，因?yàn)閒(0)＝1，所以m＝1.又f＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1. (2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期為π. 因?yàn)閤∈， 所以2x＋∈，所以當(dāng)x＝0或x＝時(shí)，f(x)取最小值1. (3)因?yàn)閒＝，所以cos α＋sin α＝， 即sin＝，又α∈， 故α＋∈，所以cos＝， 所以tan＝＝. 13．(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 解　(1)∵0<β<<α<π， ∴－<－β<，<α－<π， ∴cos＝＝， sin＝＝， ∴cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝>0，∴0<α<， 又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－. 14．在△ABC中，A、B、C為三個(gè)內(nèi)角，f(B)＝4cos B·sin2＋cos 2B－2cos B. (1)若f(B)＝2，求角B； (2)若f(B)－m＞2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)f(B)＝4cos B×＋cos 2B－2cos B ＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B ＝2cos Bsin B＋cos 2B ＝sin 2B＋cos 2B＝2sin. ∵f(B)＝2，∴2sin＝2， ∵0＜B＜π，∴2B＋＝.∴B＝. (2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立． ∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4.