新版數(shù)學(xué)理一輪對點(diǎn)訓(xùn)練：612 數(shù)列的通項(xiàng)公式 Word版含解析

1 1 1．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為________． 答案　 解析　由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝， 則＝＝2，故數(shù)列前10項(xiàng)的和S10＝2＝2＝. 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 答案　an＝2·3n－1－1 解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)． ∴＝3，∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，公比q＝3. 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 答案　an＝ 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， ∴an＝ 4.Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即 2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an>0，可得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝. 5．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<. 解　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n. (2)由于an＝2n，故bn＝＝＝. Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－<×＝.