新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù)

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù) 一、選擇題 1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(2)＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．4 C. D. 解析 設(shè)f(x)＝xα，因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝. 答案 C 2．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿(mǎn)足＝3，則f()的值為(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析 設(shè)f(x)＝xα，則由＝3，得＝3. ∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝. 答案 D 3．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為 (　　)． A．[2－，2＋] B．(2－，2＋) C．[1,3] D．(1,3) 解析　f(a)＝g(b)?ea－1＝－b2＋4b－3?ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－<b<2＋. 答案　B 4．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于 (　　)． A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　f(a)＋f(1)＝0?f(a)＋2＝0?或解得a＝ －3. 答案　A 5 .函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱(chēng)．據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是(　　)． A．{1,2} B．{1,4} C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64} 解析　設(shè)關(guān)于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有兩根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2. 而f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱(chēng)，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的兩根也關(guān)于x＝－對(duì)稱(chēng)．而選項(xiàng)D中≠. 答案　D 6．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，a為正整數(shù)，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)小于1的不等正根，則a的最小值是 (　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由題意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.當(dāng)a越大，y＝f(x)的開(kāi)口越小，當(dāng)a越小，y＝f(x)的開(kāi)口越大，而y＝f(x)的開(kāi)口最大時(shí)，y＝f(x)過(guò)(0,1)，(1,1)，則c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a為正整數(shù)，即a的最小值為5. 答案　C 二、填空題 7．對(duì)于函數(shù)y＝x2，y＝x有下列說(shuō)法：①兩個(gè)函數(shù)都是冪函數(shù)；②兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；③它們的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)；④兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)；⑤兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,1)；⑥兩個(gè)函數(shù)的圖像都是拋物線型． 其中正確的有________． 解析 從兩個(gè)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)去進(jìn)行比較． 答案 ①②⑤⑥ 8．若二次函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋c的值域?yàn)閇0，＋∞)，則a，c滿(mǎn)足的條件是________． 解析　由已知得? 答案　a>0，ac＝4 9．方程x2－mx＋1＝0的兩根為α、β，且α＞0,1＜β＜2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　∵∴m＝β＋. ∵β∈(1,2)且函數(shù)m＝β＋在(1,2)上是增函數(shù)， ∴1＋1＜m＜2＋，即m∈. 答案　 10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同時(shí)滿(mǎn)足條件： ①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0； ②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0， 則m的取值范圍是________． 解析　當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝0，m＝0不符合要求；當(dāng)m>0時(shí)，根據(jù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的單調(diào)性，一定存在區(qū)間[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0時(shí)不符合第①條的要求；當(dāng)m<0時(shí)，如圖所示，如果符合①的要求，則函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都得小于1，如果符合第②條要求，則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)小于－4，問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，其中較大的零點(diǎn)小于1，較小的零點(diǎn)小于－4，函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是2m，－(m＋3)，故m滿(mǎn)足或解第一個(gè)不等式組得－4<m<－2，第二個(gè)不等式組無(wú)解，故所求m的取值范圍是(－4，－2)． 答案　(－4，－2) 三、解答題 11．設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當(dāng)－1≤x<1時(shí)，y＝f(x)的表達(dá)式是冪函數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達(dá)式． 解　設(shè)在[－1,1)上，f(x)＝xn，由點(diǎn)在函數(shù)圖象上，求得n＝3. 令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期為2， ∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)． 12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4, 6]． (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)[理]當(dāng)a＝1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間． 解 (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1， 又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6 或a≥4. (3)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時(shí)定義域?yàn)閤∈[－6,6]， 且f(x)＝ ∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]，單調(diào)遞減區(qū)間是[－6,0]． 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿(mǎn)足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　不等式ax2－2x＋2>0等價(jià)于a>， 設(shè)g(x)＝，x∈(1,4)，則 g′(x)＝ ＝＝， 當(dāng)1<x<2時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)2<x<4時(shí)，g′(x)<0， g(x)≤g(2)＝， 由已知條件a>， 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 14．已知函數(shù)f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)滿(mǎn)足f(2)<f(3)． (1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式； (2)對(duì)于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試判斷是否存在q>0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域?yàn)椋咳舸嬖?，求出q；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)∵f(2)<f(3)，∴f(x)在第一象限是增函數(shù)． 故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2. 又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1. 當(dāng)k＝0或k＝1時(shí)，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2. (2)假設(shè)存在q>0滿(mǎn)足題設(shè)，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]． ∵g(2)＝－1，∴兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(－1，g(－1))和頂點(diǎn)處取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝， g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2，∴存在q＝2滿(mǎn)足題意．