新版高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓練課件： 第6章 不等式、推理與證明 重點強化課3 不等式及其應(yīng)用學案 文 北師大版

1 1 重點強化課(三)　不等式及其應(yīng)用 (對應(yīng)學生用書第86頁) [復(fù)習導讀]　本章的主要內(nèi)容是不等式的性質(zhì)，一元二次不等式及其解法，簡單的線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應(yīng)用，針對不等式具有很強的工具性，應(yīng)用廣泛，解法靈活的特點，應(yīng)加強不等式基礎(chǔ)知識的復(fù)習，要弄清不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論；一元二次不等式是解決問題的重要工具，如利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往歸結(jié)為解一元二次不等式問題；函數(shù)、方程、不等式三者密不可分，相互轉(zhuǎn)化，因此應(yīng)加強函數(shù)與方程思想在不等式中應(yīng)用的訓練． 重點1　一元二次不等式的綜合應(yīng)用 　(1)(20xx·煙臺模擬)函數(shù)y＝的定義域為(　　) A．(－∞，1] B．[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞) D．∪ (2)已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是__________． (1)D　(2)(－1，－1)　[(1)由題意得解得即－1≤x≤1且x≠－，所以函數(shù)的定義域為，故選D． (2)由題意得或 解得－1<x<0或0≤x<－1. 所以x的取值范圍為(－1，－1)．] [規(guī)律方法]　 一元二次不等式綜合應(yīng)用問題的常見類型及求解方法 (1)與函數(shù)的定義域、集合的綜合，此類問題的本質(zhì)就是求一元二次不等式的解集． (2)與分段函數(shù)問題的綜合．解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)分段函數(shù)解析式，將問題轉(zhuǎn)化為不同區(qū)間上的不等式，然后根據(jù)一元二次不等式或其他不等式的解法求解． (3)與函數(shù)的奇偶性等的綜合．解決此類問題可先根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的解析式，然后求解，也可直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解． [對點訓練1]　已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為__________. 【導學號：00090202】 (－5,0)∪(5，＋∞)　[由于f(x)為R上的奇函數(shù)， 所以當x＝0時，f(0)＝0；當x<0時，－x>0， 所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x， 所以f(x)＝ 由f(x)>x，可得 或 解得x>5或－5<x<0， 所以原不等式的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)．] 重點2　線性規(guī)劃問題 　(1)(20xx·全國卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] (2)當實數(shù)x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________． (1)B　(2)　[(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 由題意可知，當直線y＝x－z過點A(2,0)時，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；當直線y＝x－z過點B(0,3)時，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3. 所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]． 故選B．] (2)作出題中線性規(guī)劃條件滿足的可行域如圖陰影部分所示， 令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直線l0：y＝－ax，平移l0， 最優(yōu)解可在A(1,0)，B(2,1)，C處取得． 故由1≤z≤4恒成立，可得 解得1≤a≤.] [規(guī)律方法]　本題(2)是線性規(guī)劃的逆問題，這類問題的特點是在目標函數(shù)或約束條件中含有參數(shù)，當在約束條件中含有參數(shù)時，那么隨著參數(shù)的變化，可行域的形狀可能就要發(fā)生變化，因此在求解時也要根據(jù)參數(shù)的取值對可行域的各種情況進行分類討論，以免出現(xiàn)漏解． [對點訓練2]　已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A． B． C．1 D．2 B　[作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)． 易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值， 由得 ∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.] 重點3　基本不等式的綜合應(yīng)用 　(20xx·江蘇高考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．設(shè)a＝2，b＝. (1)求方程f(x)＝2的根； (2)若對于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求實數(shù)m的最大值. 【導學號：00090203】 [解]　因為a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x. 2分 (1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0. 5分 (2)由條件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. 因為f(2x)≥mf(x)－6對于x∈R恒成立，且f(x)>0， 所以m≤對于x∈R恒成立. 8分 而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，所以m≤4，故實數(shù)m的最大值為4. 12分 [規(guī)律方法]　基本不等式綜合應(yīng)用中的常見類型及求解方法： (1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大?。鉀Q此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解． (2)條件不等式問題．通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求參數(shù)的值或范圍．觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍． [對點訓練3]　(1)(20xx·南昌模擬)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________． (2)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝2，則的最小值為__________． (1)6　(2)9　[(1)法一：(消元法) 因為x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 所以x＋3y＝＋3y ＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6， 當且僅當＝3(y＋1)， 即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6. 法二：(不等式法) ∵x＞0，y＞0， 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2， 當且僅當x＝3y時等號成立． 設(shè)x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0， 解得t≥6或t≤－18(舍去) 故當x＝3，y＝1時，x＋3y的最小值為6. (2)由已知得＝1. 則＝＋＝ ＝≥(10＋2 )＝9， 當且僅當x＝，y＝時取等號．]