新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第9章學(xué)案45

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第九章解析幾何學(xué)案45直線與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系自主梳理1直線的傾斜角與斜率(1)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按_方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的_稱為這條直線的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為_(2)傾斜角的范圍為_(3)傾斜角與斜率的關(guān)系：90°時(shí)，k_，傾斜角是90°的直線斜率_(4)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直線的斜率公式為k_.2直線方程的五種基本形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含直線xx0斜截式不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用自我檢測(cè)1若A(2,3)，B(3，2)，C三點(diǎn)共線，則m的值為_2直線l與兩條直線xy70，y1分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為(1，1)，則直線l的斜率為_3下列四個(gè)命題中，假命題是_(填序號(hào))經(jīng)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示；經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)來表示；與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程1表示；經(jīng)過點(diǎn)Q(0，b)的直線都可以表示為ykxb.4如果A·C<0，且B·C<0，那么直線AxByC0不通過第_象限5已知直線l的方向向量與向量a(1,2)垂直，且直線l過點(diǎn)A(1,1)，則直線l的方程為_探究點(diǎn)一傾斜角與斜率例1已知兩點(diǎn)A(1，5)、B(3，2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率變式遷移1直線xsin y10的傾斜角的變化范圍是_探究點(diǎn)二直線的方程例2過點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x3y100，l2：2xy80所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程變式遷移2求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍探究點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用例3過點(diǎn)P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：(1)AOB面積最小時(shí)l的方程；(2)PA·PB最小時(shí)l的方程變式遷移3為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？數(shù)形結(jié)合思想例(14分)已知實(shí)數(shù)x，y滿足yx22x2(1x1)試求的最大值與最小值【答題模板】解由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P(2，3)與曲線段AB上任一點(diǎn)(x，y)的直線的斜率k，4分由圖可知：kPAkkPB，由已知可得：A(1,1)，B(1,5)，k8，10分故的最大值為8，最小值為.14分【突破思維障礙】解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，收到事半功倍的效果1要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍為0°<180°，熟記斜率公式k，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1x2)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，而x1x2，y1y2時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.2當(dāng)直線沒有斜率(x1x2)或斜率為0(y1y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求直線方程，但都可以寫成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都可以化成一般式，但是有些直線的一般式方程不能化成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式或截距式3使用直線方程時(shí)，一定要注意限制條件以免解題過程中丟解，如點(diǎn)斜式的使用條件是直線必須有斜率，截距式的使用條件是截距存在且不為零，兩點(diǎn)式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1，m2) (mR)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是_2若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是_3點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，那么2x4y的最小值是_4(2011·淮安期末)點(diǎn)A(ab，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bxayab0一定不經(jīng)過第_象限5經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為_6過兩點(diǎn)A(m22，m23)，B(3mm2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m_.7過點(diǎn)P(1,2)，且方向向量為a(1,2)的直線方程為_8設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且PAPB，若直線PA的方程為xy10，則直線PB的方程是_二、解答題(共42分)9(14分)已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)，求：(1)直線AB的斜率k；(2)求直線AB的方程；(3)已知實(shí)數(shù)m，求直線AB的傾斜角的范圍10(14分)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,1)、(2,2)，若直線l：xmym0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的范圍11(14分)已知直線l：kxy12k0 (kR)(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程學(xué)案45直線與方程答案自主梳理1(1)逆時(shí)針最小正角0°(2)0°<180°(3)tan 不存在(4)2.yy0k(xx0)ykxb1AxByC0(A、B不全為0)自我檢測(cè)1.2.3.4.三5.x2y30課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型解設(shè)直線l的傾斜角為，則直線AB的傾斜角為2，由題意可知：tan 2，.整理得3tan28tan 30.解得tan 或tan 3，tan 2>0，0°<2<90°，0°<<45°，tan >0，故直線l的斜率為.變式遷移1解析直線xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1.當(dāng)0k1時(shí)，傾斜角的范圍是，當(dāng)1k<0時(shí)，傾斜角的范圍是.例2解題導(dǎo)引(1)對(duì)直線問題，要特別注意斜率不存在的情況(2)求直線方程常用方法待定系數(shù)法待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)解方法一過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點(diǎn)分別是和(0,8)，顯然不滿足中點(diǎn)是點(diǎn)M(0,1)的條件故可設(shè)所求直線方程為ykx1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組由解得xA，由解得xB.點(diǎn)M平分線段AB，xAxB2xM，即0，解得k.故所求直線方程為x4y40.方法二設(shè)所求直線與已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)B在直線l2：2xy80上，故可設(shè)B(t,82t)又M(0,1)是AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得A(t,2t6)A點(diǎn)在直線l1：x3y100上，(t)3(2t6)100，解得t4.B(4,0)，A(4,2)，故所求直線方程為x4y40.變式遷移2解(1)方法一設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，l的方程為yx，即2x3y0.若a0，則設(shè)l的方程為1，l過點(diǎn)(3,2)，1，a5，l的方程為xy50，綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且k0，設(shè)直線方程為y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直線l的方程為：y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)由已知：設(shè)直線y3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.tan 3，tan 2.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.例3解題導(dǎo)引先設(shè)出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值確定直線方程可分為兩個(gè)類型：一是根據(jù)題目條件確定點(diǎn)和斜率或確定兩點(diǎn)，進(jìn)而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù))，再確定參數(shù)值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法解設(shè)直線的方程為1 (a>2，b>1)，由已知可得1.(1)2 1，ab8.SAOBab4.當(dāng)且僅當(dāng)，即a4，b2時(shí)，SAOB取最小值4，此時(shí)直線l的方程為1，即x2y40.(2)由1，得aba2b0，變形得(a2)(b1)2，PA·PB·.當(dāng)且僅當(dāng)a21，b12，即a3，b3時(shí)，PA·PB取最小值4.此時(shí)直線l的方程為xy30.變式遷移3解如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，線段EF的方程為1(0x30)在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQBC于點(diǎn)Q，PRCD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則SPQ·PR(100m)(80n)又1(0m30)，n20(1)S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)當(dāng)m5時(shí)，S有最大值，這時(shí)5.所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成51時(shí)，草坪面積最大課后練習(xí)區(qū)1.2.3.44三解析由已知得即a>0，b>0.由bxayab0知yxb.該直線的斜率k<0且在y軸上的截距b>0，故該直線一定不經(jīng)過第三象限52xy30或x2y0解析當(dāng)截距不等于零時(shí)，設(shè)l的方程1，點(diǎn)P在l上，1，則a.l的方程為2xy3.當(dāng)截距等于零時(shí)，設(shè)l的方程為ykx，又點(diǎn)P在l上，k.x2y0.綜上，所求直線l的方程為2xy3或x2y0.62解析由題意得：1，解得：m2或m1.又m223mm2，m1且m，m2.72xy0解析由已知方向向量得直線斜率k2，由點(diǎn)斜式方程得2xy0.8xy50解析易知A(1,0)，PAPB，P在AB的中垂線即x2上B(5,0)PA、PB關(guān)于直線x2對(duì)稱，kPB1.lPBy0(x5)xy50.9解(1)當(dāng)m1時(shí)，直線AB的斜率不存在；(1分)當(dāng)m1時(shí)，k.(3分)(2)當(dāng)m1時(shí)，AB的方程為x1，(5分)當(dāng)m1時(shí)，AB的方程為y2(x1)，即y.(7分)直線AB的方程為x1或y.(8分)(3)當(dāng)m1時(shí)，；(10分)當(dāng)m1時(shí)，k(，.(13分)綜合，知直線AB的傾斜角.(14分)10.解方法一直線xmym0恒過A(0，1)點(diǎn)(4分)kAP2，kAQ，(8分)則或2，m且m0.(12分)又m0時(shí)直線xmym0與線段PQ有交點(diǎn)，(13分)所求m的范圍是m.(14分)方法二過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y1(x1)(5分)即yx，代入xmym0，整理得：x，由已知12，(12分)解得：m.(14分)11(1)證明直線l的方程是：k(x2)(1y)0，令，解之得，無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(2,1)(4分)(2)解由方程知，當(dāng)k0時(shí)直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有，解之得k>0；(7分)當(dāng)k0時(shí)，直線為y1，符合題意，故k0.(9分)(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依題意得解得k>0.(11分)S·OA·OB··|12k|·×(2×24)4，“”成立的條件是k>0且4k，即k，Smin4，此時(shí)l：x2y40.(14分)