新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第四章 第8講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例一、填空題1已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120°，則A，C兩地的距離為_解析 如圖所示，由余弦定理可得：AC21004002×10×20×cos 120°700，AC10(km)答案 10 km2如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米解析 由題圖知，連接OC，在三角形OCD中，OD100，CD150，CDO60°，由余弦定理可得OC2100215022×100×150×17 500，OC50.答案 503某人向正東方向走x km后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為_解析如圖，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30°，由余弦定理得()232x22×3x×cos 30°，即x23x60，解得x1，x22，經(jīng)檢測(cè)均合題意答案或24. 如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，則AB的長(zhǎng)為_解析在ACD中，已知CDa，ACD60°，ADC60°，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)锳CB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為ABa.答案a5一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是_解析 如圖所示，由已知條件可得，CAB30°，ABC105°，即AB40×20(海里)BCA45°.由正弦定理可得：.BC10(海里)答案 10(海里)6已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120°，則A、C兩地的距離為_km.答案 107如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為_m.答案 508如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過(guò)1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km)_解析AB1 000×1 000× (m)，BC·sin 30° (m)航線離山頂h×sin 75°11.4 (km)山高為1811.46.6 (km)答案6.6 km9已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為，則該三角形的面積的最大值是_解析如圖，設(shè)ABAC2x，則在ABD中，由余弦定理，得3x24x24x2cos A，所以cos A.所以sin A，所以SABC(2x)2sin A.故當(dāng)x2時(shí)，(SABC)max 2.答案210已知ABC中，B45°，AC4，則ABC面積的最大值為_解析法一如圖，設(shè)ABC的外接圓為圓O，其直徑2R4.取AC的中點(diǎn)M，則OMRcos 45°2，則AC4.過(guò)點(diǎn)B作BHAC于H，要使ABC的面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)BH最大而BHBOOM，所以BHRR22，所以(SABC)maxAC·BHmax×4×(22)44，當(dāng)且僅當(dāng)BABC時(shí)取等號(hào)法二如圖，同上易知，ABC的外接圓的直徑2R4.SABCAB·BC·sin B2R2sin Asin Bsin C8sin Asin C4.當(dāng)AC67.5°時(shí)，(SABC)max44.答案44二、解答題11如圖，在半徑為、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N、M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y，(1)按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：設(shè)PNx，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)POB，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值解(1)ON，OMx，MNx，yx，x.PNsin ，ONcos ，OM×sin sin ，MNONOMcos sin ，ysin (cos sin )，即y3sin cos sin2，.(2)選擇y3sin cos sin2sin，2，ymax.12如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里問(wèn)：乙船每小時(shí)航行多少海里？解：如圖所示，連接A1B2，由已知A2B210，A1A230×10，來(lái)源: A1A2A2B2.又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B2105°60°45°，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×10×200，B1B210.因此，乙船的速度為×6030(海里/小時(shí))13. 如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，接到信號(hào)后乙船朝北偏東方向沿直線前往B處救援，問(wèn)的正弦值為多少？解如題圖，在ABC中，AB20海里，AC10海里，BAC120°，由余弦定理知BC2AB2AC22AB·ACcos 120°2021022×20×10×700.BC10海里由正弦定理，sinACB·sinBAC·sin 120°.sin sin(30°ACB)sin 30°cosACBcos 30°·sinACB.乙船應(yīng)沿北偏東sin 的方向沿直線前往B處救援14某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊BA、AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，要求A和C互補(bǔ)，且ABBC.(1)設(shè)ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(2)求四邊形ABCD面積的最大值解(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22AB·AD·cos A.同理，在CBD中，BD2CB2CD22CB·CD·cos C.因?yàn)锳和C互補(bǔ)，所以AB2AD22AB·AD·cos ACB2CD22CB·CD·cos CCB2CD22CB·CD·cos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)·cos A解得cos A，即f(x)，其中x(2,5)(2)四邊形ABCD的面積S(AB·ADCB·CD)sin Ax(9x)x(5x)x(7x) .記g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得x4.函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞減因此g(x)的最大值為g(4)12×9108.所以S的最大值為6.答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6 m2.