新版五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 第四節(jié) 雙曲線 理全國(guó)通用

11第四節(jié)第四節(jié)雙曲線雙曲線考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1(20 xx福建，3)若雙曲線E：x29y2161 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11B9C5D3解析由雙曲線定義|PF2|PF1|2a，|PF1|3，P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9，故選 B.答案B2(20 xx安徽，4)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y2x的是()Ax2y241B.x24y21C.y24x21Dy2x241解析由雙曲線性質(zhì)知 A、B 項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意；C、D 項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上，但 D 項(xiàng)漸近線為y12x，只有 C 符合，故選 C.答案C3(20 xx廣東，7)已知雙曲線C：x2a2y2b21 的離心率e54，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為()A.x24y231B.x216y291C.x29y2161D.x23y241解析因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2(5，0)且離心率為eca54，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求雙曲線方程為x216y291，故選 B.答案B4(20 xx天津，5)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近線平行于直線l：y2x10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()A.x25y2201B.x220y251C.3x2253y21001D.3x21003y2251解析由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線ybax與直線y2x10 平行，所以ba2且左焦點(diǎn)為(5，0)，所以a2b2c225，解得a25，b220，故雙曲線方程為x25y2201.選 A.答案A5(20 xx廣東，7)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，離心率等于32，則C的方程是()A.x24y251B.x24y251C.x22y251D.x22y251解析由曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，知c3.由離心率e32，知ca32，則a2，故b2c2a2945，所以雙曲線C的方程為x24y251.答案B考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)1(20 xx四川，5)過雙曲線x2y231 的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|()A.4 33B2 3C6D4 3解析焦點(diǎn)F(2，0)，過F與x軸垂直的直線為x2，漸近線方程為x2y230，將x2代入漸近線方程得y212，y2 3，|AB|2 3(2 3)4 3.選 D.答案D2(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為 120，則E的離心率為()A. 5B2C. 3D. 2解析如圖，設(shè)雙曲線E的方程為x2a2y2b21(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點(diǎn)N(x1，0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60 3a，x1|OB|BN|a2acos 602a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入x2a2y2b21，可得a2b2，ecaa2b2a2 2，選 D.答案D3(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，5)已知M(x0，y0)是雙曲線C：x22y21 上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1MF20，則y0的取值范圍是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 33解析由題意知M在雙曲線C：x22y21 上，又在x2y23 內(nèi)部，由x22y21，x2y23，得y33，所以33y033.答案A4 (20 xx廣東， 4)若實(shí)數(shù)k滿足 0k9， 則曲線x225y29k1 與曲線x225ky291 的()A離心率相等B實(shí)半軸長(zhǎng)相等C虛半軸長(zhǎng)相等D焦距相等解析由 0k0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A. 3B3C. 3mD3m解析雙曲線的方程為x23my231，焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為 3.答案A6(20 xx重慶，8)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，則該雙曲線的離心率為()A.43B.53C.94D3解析由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即 4|PF1|PF2|9b24a2，又 4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即 9ba29ba40，則3ba13ba40，解得ba43ba13舍去，則雙曲線的離心率e1ba253.答案B7(20 xx山東，10)已知ab0，橢圓C1的方程為x2a2y2b21，雙曲線C2的方程為x2a2y2b21，C1與C2的離心率之積為32，則C2的漸近線方程為()Ax 2y0B. 2xy0Cx2y0D2xy0解析橢圓C1的離心率為a2b2a，雙曲線C2的離心率為a2b2a，所以a2b2aa2b2a32， 所以a4b434a4， 即a44b4， 所以a 2b， 所以雙曲線C2的漸近線方程是y12x，即x 2y0.答案A8(20 xx大綱全國(guó)，9)已知雙曲線C的離心率為 2，焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則 cosAF2F1()A.14B.13C.24D.23解析由雙曲線的定義知|AF1|AF2|2a， 又|AF1|2|AF2|， |AF1|4a， |AF2|2a.eca2，c2a，|F1F2|4a.cosAF2F1|AF2|2|F1F2|2|AF1|22|AF2|F1F2|（2a）2（4a）2（4a）222a4a14，故選 A.答案A9(20 xx四川，6)拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x2y231 的漸近線的距離是()A.12B.32C1D. 3解析由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，雙曲線的漸近線方程為y 3x，即 3xy0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離d| 30|232.答案B10(20 xx湖北，5)已知 04，則雙曲線C1：x2cos2y2sin21 與C2：y2sin2x2sin2tan21 的()A實(shí)軸長(zhǎng)相等B虛軸長(zhǎng)相等C焦距相等D離心率相等解析對(duì)于雙曲線C1：x2cos2y2sin21，a21cos2，b21sin2，c211；對(duì)于雙曲線C2：y2sin2x2sin2tan21，a22sin2，b22sin2tan2，c22sin2sin2tan2sin2(1tan2)sin2(1sin2cos2)sin2cos2tan2.只有當(dāng)k4(kZ Z)時(shí)，a21a22或b21b22或c21c22，而 00，b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m，0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是_解析聯(lián)立直線方程與雙曲線漸近線方程ybax可解得交點(diǎn)為am3ba，bm3ba，am3ba，bm3ba，而kAB13，由|PA|PB|，可得AB的中點(diǎn)與點(diǎn)P連線的斜率為3，即bm3babm3ba20am3baam3ba2m3，化簡(jiǎn)得 4b2a2，所以e52.答案5216(20 xx江蘇，8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2my2m241 的離心率為 5，則m的值為_解析由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程x2my2m241 知a2m0，b2m24，c2a2b2mm24，由e 5，得c2a25，m0 且mm24m5，m2.答案217(20 xx江西，20)如圖，已知雙曲線C：x2a2y21(a0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：x0 xa2y0y1 與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x32相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，|MF|NF|恒為定值，并求此定值(1)解設(shè)F(c，0)，因?yàn)閎1，所以ca21，直線OB的方程為y1ax，直線BF的方程為y1a(xc)，解得Bc2，c2a.又直線OA的方程為y1ax，則Ac，ca，kABcac2acc23a.又因?yàn)锳BOB，所以3a1a1，解得a23，故雙曲線C的方程為x23y21.(2)證明由(1)知a 3，則直線l的方程為x0 x3y0y1(y00)，即yx0 x33y0.因?yàn)橹本€AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)為M2，2x033y0；直線l與直線x32的交點(diǎn)為N32，32x033y0.則|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2，因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則x203y201，代入上式得|MF|2|NF|243（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所求定值為|MF|NF|232 33.18(20 xx大綱全國(guó)，21)已知雙曲線C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為 3，直線y2 與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 6.(1)求a，b；(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列(1)解由題設(shè)知ca3，即a2b2a29，故b28a2.所以C的方程為 8x2y28a2.將y2 代入上式，求得xa212.由題設(shè)知，2a212 6，解得a21.所以a1，b2 2.(2)證明由(1)知，F(xiàn)1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，C的方程為 8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3)，|k|2 2，代入并化簡(jiǎn)得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x11，x21，x1x26k2k28，x1x29k28k28.于是|AF1| （x13）2y21 （x13）28x218(3x11)，|BF1| （x23）2y22 （x23）28x2283x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x223.故6k2k2823，解得k245，從而x1x2199.由于|AF2| （x13）2y21 （x13）28x21813x1，|BF2| （x23）2y22 （x23）28x2283x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列