新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七章 第八節(jié)

1 1課時(shí)提升作業(yè)(四十九)一、選擇題1.平面的一個(gè)法向量為n=(1,2,0),平面的一個(gè)法向量為m=(2,-1,0),則平面和平面的位置關(guān)系是()(A)平行(B)相交但不垂直(C)垂直(D)重合2.設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若,則k等于()(A)2(B)-4(C)4(D)-23.若直線l平面,直線l的方向向量為s,平面的法向量為n,則下列結(jié)論正確的是()(A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1)(B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2)(C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2)(D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1)4.直線l的方向向量為s=(-1,1,1),平面的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l平面,則x的值為()(A)-2(B)-2(C)2(D)±25.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是()(A)(33,33,-33)(B)(33,-33,33)(C)(-33,33,33)(D)(-33,-33,-33)6.已知非零向量a,b及平面,若向量a是平面的法向量,則a·b=0是向量b所在直線平行于平面或在平面內(nèi)的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件7.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若ABBC,BP=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為()(A)337,-157,4(B)407,-157,4(C)407,-2,4(D)4,407,-15二、填空題8.平面的一個(gè)法向量n=(0,1,-1),如果直線l平面,則直線l的單位方向向量s=.9.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點(diǎn),則直線CE與BD的位置關(guān)系是.三、解答題11.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.求證:(1)BC1AB1.(2)BC1平面CA1D.12.如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1.(1)求證:AF平面BDE.(2)求證:CF平面BDE.13.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60°,AA1=4,AB=2,點(diǎn)E在棱CC1上,點(diǎn)F是棱C1D1的中點(diǎn).(1)若點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn),求證:EF平面A1BD.(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得平面A1BD平面EBD,并說明理由.答案解析1.【解析】選C.n=(1,2,0),m=(2,-1,0),m·n=2-2+0=0,即mn,.2.【思路點(diǎn)撥】等價(jià)于其法向量平行.【解析】選C.,1-2=2-4=-2k,k=4.【變式備選】若平面,垂直,則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量的是()(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】選A.,n1n2,即n1·n2=0,經(jīng)驗(yàn)證可知,選項(xiàng)A正確.3.【解析】選C.直線l平面,直線l的方向向量s與平面的法向量n平行,即sn.經(jīng)驗(yàn)證可知選項(xiàng)C正確.4.【解析】選D.l平面,sn,即s·n=0.(-1,1,1)·(2,x2+x,-x)=0,即-2+x2+x-x=0,x=±2.5.【思路點(diǎn)撥】若n為平面ABC的一個(gè)單位法向量,則|n|=1,且n·AB=0,n·AC=0,可采用驗(yàn)證法求解.【解析】選D.A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)n=(-33,-33,-33)時(shí),n·AB=33-33+0=0,n·AC=33+0-33=0,故選D.6.【解析】選C.a,b是非零向量,且a是平面的法向量,當(dāng)a·b=0時(shí),向量b所在的直線平行于平面或在平面內(nèi),反之也成立.7.【解析】選B.ABBC,AB·BC=3+5-2z=0,即z=4.又BP平面ABC,BP·AB=x-1+5y+6=0,BP·BC=3x-3+y-3z=0,由可得x=407,y=-157.8.【解析】n=(0,1,-1)是平面的一個(gè)法向量,且l,n=(0,1,-1)是直線l的一個(gè)方向向量,s=±(0,22,-22),即s=(0,22,-22)或(0,-22,22).答案:(0,22,-22)或(0,-22,22)9.【解析】a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).ac,m+4+m+2n-4+m-n+1=0,即3m+n+1=0.bc,2(m+2n-4)-(m-n+1)=0,即m+5n-9=0,由得:m=-1,n=2.答案:-1,210.【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法解決.【解析】以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(12,12,1),CE=(-12,-12,1),BD=(-1,1,0),顯然CE·BD=12-12+0=0,CEBD,即CEBD.答案:垂直11.【證明】如圖,以C1點(diǎn)為原點(diǎn),C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于BC1=(0,-2,-2),AB1=(-2,2,-2),所以BC1·AB1=0-4+4=0,因此BC1AB1,故BC1AB1.(2)取A1C的中點(diǎn)E,連接DE,由于E(1,0,1),所以ED=(0,1,1).又BC1=(0,-2,-2),所以ED=-12BC1.又E,D,B,C1不共線,所以EDBC1.又DE平面CA1D,BC1平面CA1D,故BC1平面CA1D.【變式備選】如圖,在圓錐PO中,已知PO=2,O的直徑AB=2,C是AB的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).求證:平面POD平面PAC.【證明】如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D(-12,12,0).設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一個(gè)法向量,則由n1·OD=0,n1·OP=0,得-12x1+12y1=0,2z1=0.所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一個(gè)法向量,則由n2·PA=0,n2·PC=0,得-x2-2z2=0,y2-2z2=0.所以x2=-2z2,y2=2z2.取z2=1,得n2=(-2,2,1).因?yàn)閚1·n2=(1,1,0)·(-2,2,1)=0,所以n1n2.從而平面POD平面PAC.【一題多解】由原題知:POO,CA平面O,OPAC.AD=CD,ODAC.OPOD=O,AC平面POD.AC平面PAC,平面POD平面PAC.12.【證明】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋FAG,且EF=1,AG=12AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AFEG.因?yàn)镋G平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如圖,以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.則C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F(22,22,1).所以CF=(22,22,1),BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以CF·BE=0-1+1=0,CF·DE=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE,又BEDE=E,所以CF平面BDE.13.【解析】(1)取AB的中點(diǎn)G,連接GD,底面ABCD是菱形,DAB=60°,AB=2,ABD是正三角形,DGAB,DG=3.又ABCD,DGDC.四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱,AA1DD1,A1A平面ABCD,DD1平面ABCD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DG為x軸的正半軸,射線DC為y軸的正半軸,射線DD1為z軸的正半軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.依題意得B(3,1,0),C(0,2,0),A1(3,-1,4),E(0,2,2),F(0,1,4),則EF=(0,-1,2),DB=(3,1,0),DA1=(3,-1,4),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),n·DA1=0,n·DB=03x-y+4z=0,3x+y=0,令z=-32,則x=3,y=-3,n=(3,-3,-32).n·EF=0.又EF平面A1BD,EF平面A1BD.(2)設(shè)E(0,2,c),則DE=(0,2,c),設(shè)平面EBD的法向量為m=(x1,y1,z1),m·DE=0,m·DB=02y1+cz1=0,3x1+y1=0,則x1=-33y1,z1=-2cy1.令y1=-3,則法向量m=(3,-3,6c).平面A1BD平面EBD,m·n=3+9-9c=0,c=34.所以當(dāng)EC=34時(shí),平面A1BD平面EBD.