新版新課標高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6篇 不等式的解法與恒成立問題學(xué)案 理

1 1 第七課時 不等式的解法與恒成立問題 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1．會從實際情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其“三個二次”間的關(guān)系問題． 3．以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問題． 基礎(chǔ)知識梳理 1. 一元一次不等式： （1） ①若，則 ；②若，則 ； （2） ①若，則 ；②若，則 ； 2. 一元二次不等式：二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零； 判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實根 x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根 x1＝x2＝－ 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 注意： (1)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數(shù)是否為零的情況； (2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏． 3. 絕對值不等式：若，則 ； ； ⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ 含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。 (5) 絕對值三角不等式： 注意： ； ； ； ； ； ； ； ． 4. 高次不等式：化成標準型，穿根法寫出解集。 5.分式不等式的解法：同解變形為整式不等式； ⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； 6. 解含有參數(shù)的不等式：一般是對含參數(shù)的不等式進行恰當(dāng)?shù)姆诸惡陀懻摚? ⑴對二次項系數(shù)含有參數(shù)的一元二次不等式，要注意二次項系數(shù)為零轉(zhuǎn)化為一元一次不等式的問題。 ⑵對含參數(shù)的一元二次不等式，還要分、、討論。 ⑶對一元二次不等式和分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后有根，且根為（或更多）但含參數(shù)，要分、、討論。 ⑷對指數(shù)、對數(shù)不等式要注意對底數(shù)分、進行討論。 7.不等式解法與恒成立問題,破解的方法主要有：分離參數(shù)法和函數(shù)性質(zhì)法. 預(yù)習(xí)自測 1．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)． A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞) 2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)． A. B. C. D．R 3．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集為，則ab＝(　　)． A．－28 B．－26 C．28 D．26 課堂探究案 考點1　一元二次不等式的解法 【典例1】【20xx高考江西文11】不等式的解集是___________。 【變式1】 函數(shù)f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定義域為______ 考點2 含參不等式 【典例2】求不等式的解集. 方法總結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟： (1)二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式． (2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系． (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式． 【變式2】 解關(guān)于x的不等式 (1－ax)2＜1. . 考點3　不等式恒成立問題 【典例3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 方法總結(jié)：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是:當(dāng)a＝0時，b＝0，c＞0； 當(dāng)a≠0時， 不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是:當(dāng)a＝0時，b＝0，c＜0；當(dāng)a≠0時， 【變式3】1【20xx高考福建文15】已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________. 2. 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 當(dāng)堂檢測 1．已知p：|2x－5|≤1，q：(x＋2)(x－3)≤0，則p是q的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．如果關(guān)于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全體實數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 A．(－∞，3]∪[5，＋∞) B．[－5，－3] C．[3,5] D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞) 3．不等式3≤|5－2x|＜9的解集為 ( ) A．(－2,1] B．[－1,1] C．[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 4．不等式ax2＋2ax＋1≥0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 5. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1，若對于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求實數(shù)a的值． 6.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1，或x>b}．(1)求a，b； (2)解不等式>0(c為常數(shù))． 課后拓展案 A組全員必做題 1．對一切實數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．[－2,2] D．[0，＋∞) 2．(20xx·陜西)若存在實數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 3．(20xx·山東)若不等式|kx－4|≤2的解集為{x1≤x≤3}，則實數(shù)k＝________. 4．對于任意的實數(shù)a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·(|x－1|＋|x－2|)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是________． 5．若不等式(m＋1)x2－(m＋1)x＋3(m－1)<0對一切實數(shù)x均成立，則m的取值范圍為________．　 6.已知則f(x)>－1的解集為_____ ___． 7. 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，則m的取值范圍是________． B組提高選做題 1．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|.若a≠b且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是________． 2．若關(guān)于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整數(shù)恰好有2個，則實數(shù)a的取值范圍是____． 3．(2012·遼寧)已知f(x)＝|ax＋1| (a∈R)，不等式f(x)≤3的解集為{x－2≤x≤1}． (1)求a的值； (2)若恒成立，求k的取值范圍． 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.D 2.B 3.C 典型例題 【典例1】 【變式1】 【典例2】解：原不等式可整理為， ， ． ①當(dāng)，即時，或； ②當(dāng)，即時，； ③當(dāng)，即時，或． 綜上可知，該不等式的解集為： 時，；時，；時，． 【變式2】解：，∴， ∴，故． ①當(dāng)時，； ②當(dāng)時，無解； ③當(dāng)時，． 綜上可知，該不等式的解集為： 時，；時，；時，． 【典例3】解：， ①，即時，不等式變?yōu)椋矗藭r不恒成立，故不符合題意； ②解得． 由①②知實數(shù)的取值范圍為． 【變式3】1. 2.解：對稱軸． ①時，． ∴，即． ∴． ②時，， ∴， 即，∴， ∴． 由①②可知的最值范圍為． 當(dāng)堂檢測 1.A 2.D 3.D 4. 5.解：． 當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，∴即可，得，與已知矛盾． 當(dāng)時，令，解得． 當(dāng)時，，函數(shù)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)遞增． ∴解得即． 6.解：（1），解得． ∴，即，解得或．∴． （2），∴． 當(dāng)時，或；當(dāng)時，；當(dāng)時，或． 綜上可知，該不等式的解集為： 時，；時，；時，． A組全員必做題 1.A 2. 3.2 4. 5. 6. 7. B組提高選做題 1. 2. 3.解：（1）解得． （2），， 而， ∴．