新編高三數(shù)學(xué) 第56練 向量法求解立體幾何問題練習(xí)

第56練 向量法求解立體幾何問題訓(xùn)練目標(biāo)會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題訓(xùn)練題型(1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離解題策略(1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關(guān)系設(shè)變量，引入?yún)?shù)，列方程求解.1.(20xx·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn)，求證：EM平面ABCD；(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由2(20xx·上饒?jiān)驴?如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求證：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.3.(20xx·南昌月考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90°，D為AC的中點(diǎn)，ABB1D.(1)求證：平面ABB1A1平面ABC；(2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上，是否存在點(diǎn)E，使得二面角EB1DB的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由4(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD組合而成的，ADAF，AEAD2.(1)證明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱錐PABCD的高h(yuǎn)，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析1(1)證明因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABPE，且BCAB，所以BC平面ABPE，所以BA，BP，BC兩兩垂直以B為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以.易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，所以·n·(0,1,0)0，所以n.又EM平面ABCD，所以EM平面ABCD.(2)解當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.理由如下：因?yàn)?2，2,1)，(2,0,0)，設(shè)平面PCD的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面PCD的一個(gè)法向量為n1(0,1,2)假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.設(shè)(01)，則(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin |cos，n1|.所以92845，解得1或(舍去)因此，線段PD上存在一點(diǎn)N，當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.2證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連接NE，則點(diǎn)N，E的坐標(biāo)分別為(，0)，(0,0,1)所以(，1)又點(diǎn)A，M的坐標(biāo)分別是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且NE與AM不共線所以NEAM.又因?yàn)镹E平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，因?yàn)镈(，0,0)，F(xiàn)(，1)，所以(0，1)所以·0，所以，所以AMDF，同理AMBF，又DFBFF，DF平面BDF，BF平面BDF，所以AM平面BDF.3(1)證明取AB的中點(diǎn)O，連接OD，OB1.因?yàn)锽1BB1A，所以O(shè)B1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因?yàn)镺D平面B1OD，所以ABOD.由已知條件知，BCBB1，又ODBC，所以O(shè)DBB1.因?yàn)锳BBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以O(shè)D平面ABB1A1.因?yàn)镺D平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接B1C.由題設(shè)知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，設(shè)(0<<1)，由(1，2，(1)，設(shè)平面BB1D的法向量為m(x1，y1，z1)，則得令z11，則x1y1，所以平面BB1D的法向量為m(，1)設(shè)平面B1DE的法向量為n(x2，y2，z2)，則得令z21，則x2，y2，所以平面B1DE的一個(gè)法向量n(，1)設(shè)二面角EB1DB的大小為，則cos.解得.所以在線段CC1上存在點(diǎn)E，使得二面角EB1DB的余弦值為，此時(shí).4(1)證明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，ADAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因?yàn)锳D平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A為原點(diǎn)，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)h為點(diǎn)P到平面ABCD的距離則A(0,0,0)，F(xiàn)(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，則取x11，則y1z11，所以m(1，1，1)設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量為n(x2，y2，z2)，則取x21，則y21，z21h，所以n(1，1，1h)因?yàn)槎娼荂AFP的余弦值為，所以|cosm，n|，解得h1.