新編五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 第六節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 理全國(guó)通用

第六節(jié)第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列1(20 xx廣東，4)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P35310110則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A.32B2C.52D3解析由已知條件可知E(X)1352310311032，故選 A.答案A2(20 xx安徽，17)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品， 檢測(cè)后不放回， 直到檢測(cè)出 2 件次品或者檢測(cè)出 3 件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用 100 元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出 2 件次品或者檢測(cè)出 3 件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.P(A)A12A13A25310.(2)X的可能取值為 200，300，400.P(X200)A22A25110，P(X300)A33C12C13A22A35310，P(X400)1P(X200)P(X300)1110310610.故X的分布列為X200300400P110310610E(X)200110300310400610350.3(20 xx福建，16)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn) 3 次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個(gè)密碼之一， 小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇 1 個(gè)進(jìn)行嘗試 若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A)56453412.(2)依題意得，X所有可能的取值是 1，2，3.又P(X1)16，P(X2)561516，P(X3)5645123.所以X的分布列為X123P161623所以E(X)11621632352.4(20 xx重慶，17)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有 10 個(gè)粽子，其中豆沙粽 2 個(gè)，肉粽 3 個(gè)，白粽 5 個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3 個(gè)(1)求三種粽子各取到 1 個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到 1 個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)C12C13C15C31014.(2)X的所有可能值為 0，1，2，且P(X0)C38C310715，P(X1)C12C28C310715，P(X2)C22C18C310115.綜上知，X的分布列為X012P715715115故E(X)07151715211535(個(gè))5(20 xx天津，16)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有 6 名男同學(xué)，4 名女同學(xué)在這 10 名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院現(xiàn)從這10 名同學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A， 則P(A)C13C27C03C37C3104960.所以，選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960.(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為 0，1，2，3.P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3)所以，隨機(jī)變量X的分布列是X0123P1612310130隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0161122310313065.6(20 xx四川，17)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得 10 分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20 分， 出現(xiàn)三次音樂獲得 100 分， 沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200 分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因解(1)X可能的取值為：10，20，100，200.根據(jù)題意，有P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以X的分布列為X1020100200P38381818(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以， “三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)118311512511512.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512.(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)10382038100182001854.這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大7(20 xx山東，18)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記 3 分，在D上記 1 分，其他情況記 0 分對(duì)落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12，在D上的概率為13；對(duì)落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15，在D上的概率為35.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響求：(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望解(1)記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i0，1，3)，則P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316；記Bi為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i0，1，3)，則P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515.記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上”由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)1215131516351615310，所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率為310.(2)由題意，隨機(jī)變量可能的取值為 0，1，2，3，4，6，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)1615130，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)1315163516，P(2)P(A1B1)133515，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)12151615215，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)123513151130，P(6)P(A3B3)1215110.可得隨機(jī)變量的分布列為：012346P13016152151130110所以數(shù)學(xué)期望E()013011621532154113061109130.8(20 xx重慶，18)一盒中裝有 9 張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中 4 張卡片上的數(shù)字是 1，3 張卡片上的數(shù)字是 2，2 張卡片上的數(shù)字是 3.從盒中任取 3 張卡片(1)求所取 3 張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取 3 張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足abc，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))解(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為pC34C33C39584.(2)X的所有可能值為 1，2，3，且P(X1)C24C15C34C391742，P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384，P(X3)C22C17C39112，故X的分布列為X123P17424384112從而E(X)117422438431124728.9(20 xx江西，21)隨機(jī)將 1，2，2n(nN N*，n2)這 2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個(gè)數(shù)A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記a2a1，b2b1.(1)當(dāng)n3 時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)令C表示事件“與的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)；(3)對(duì)(2)中的事件C，C表示C的對(duì)立事件，判斷P(C)和P(C)的大小關(guān)系，并說明理由解(1)當(dāng)n3 時(shí)，的所有可能取值為 2，3，4，5.將 6 個(gè)正整數(shù)平均分成A，B兩組，不同的分組方法共有 C3620 種，所以的分布列為2345P1531031015E()2153310431051572.(2)和恰好相等的所有可能取值為：n1，n，n1，2n2.又和恰好相等且等于n1 時(shí)，不同的分組方法有 2 種；和恰好相等且等于n時(shí)，不同的分組方法有 2 種；和恰好相等且等于nk(k1，2，n2)(n3)時(shí)，不同的分組方法有 2Ck2k種；所以當(dāng)n2 時(shí)，P(C)4623，當(dāng)n3 時(shí)，P(C)22122(2C )Cnkkknn.(3)由(2)知當(dāng)n2 時(shí)，P(C)13，因此P(C)P(C)而當(dāng)n3 時(shí)，P(C)P(C)，理由如下：P(C)P(C)等價(jià)于2214(2Cnnnk.1當(dāng)n=3 時(shí)，式左邊=4（2+12C）=4（2+2）=16，右邊=C36C=20，所以式成立.2假設(shè) n=m(m3)時(shí)式成立，22214(2C)CmKmKmk即成立那么，當(dāng)n=m+1 時(shí)，左邊=1 2214(2Cmkkk 21122(1)22(1)14(2C )4CC+4Cmkmmmkmmmk（2m） ！m！m！4 （2m2） ?。╩1） ！ （m1） ?。╩1）2（2m） （2m2） ！ （4m1）（m1） ！ （m1） ?。╩1）2（2m） （2m2） ！ （4m）（m1） ！ （m1） ！Cm12（m1）2（m1）m（2m1） （2m1）Cm12（m1）右邊即當(dāng)nm1 時(shí)式也成立綜合 1，2得：對(duì)于n3 的所有正整數(shù)，都有P(C)P(C)成立10(20 xx天津，16)一個(gè)盒子里裝有 7 張卡片，其中有紅色卡片 4 張，編號(hào)分別為 1，2，3，4；白色卡片 3 張，編號(hào)分別為 2，3，4.從盒子中任取 4 張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片的概率；(2)在取出的 4 張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“取出的 4 張卡片中， 含有編號(hào)為 3 的卡片”為事件A， 則P(A)C12C35C22C25C4767.所以取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片的概率為67.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為 1，2，3，4.P(X1)C33C47135，P(X2)C34C47435，P(X3)C35C4727，P(X4)C36C4747.所以隨機(jī)變量X的分布列是X1234P1354352747隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)11352435327447175.11(20 xx北京，16)下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇 3月 1 日至 3 月 13 日的某一天到達(dá)該市，并停留 2 天(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)解設(shè)Ai表示事件“此人于 3 月i日到達(dá)該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，P(Ai)113，且AiAj (ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)213.(2)由題意可知，X的所有可能取值為 0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)413，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)413，P(X0)1P(X1)P(X2)513.所以X的分布列為X012P513413413故X的期望E(X)0513141324131213.(3)從 3 月 5 日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大12(20 xx江西，18)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再?gòu)腁1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)這 8 個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X0 就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)從 8 個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有 C2828 種，X0 時(shí)，兩向量夾角為直角共有 8 種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為P(X0)82827.(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2，1，0，1，X2 時(shí)，有 2 種情形；X1 時(shí)，有 8 種情形；X1 時(shí)，有 10 種情形所以X的分布列為：X2101P1145142727E(X)(2)114(1)514027127314.13.(20 xx湖南，18)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為 4 米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過 1 米(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望解(1)所種作物總株數(shù)N1234515，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為 3，邊界上的作物株數(shù)為 12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C13C11236 種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有 3328 種故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物， 它們恰好“相近”的概率為83629.(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列因?yàn)镻(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)，所以只需求出P(Xk)(k1，2，3，4)即可記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k1，2，3，4)，則n12，n24，n36，n43.由P(Xk)nkN得P(X1)215，P(X2)415，P(X3)61525，P(X4)31515.故所求的分布列為Y51484542P2154152515所求的數(shù)學(xué)期望為E(Y)51215484154525421534649042546.14(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，19)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出 1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn) 500 元，未售出的產(chǎn)品，每 1 t 虧損 300 元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了 130 t 該農(nóng)產(chǎn)品，以X(單位：t，100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于 57 000 元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100，110)，則取X105，且X105 的概率等于需求量落入100，100)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望解(1)當(dāng)X100，130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000，當(dāng)X130，150時(shí)，T50013065 000.所以T800X39 000，100X2)0.5；X1 對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 1 分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過 1 分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 2 分鐘，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2 對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1 分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.法二X所有可能的取值為 0，1，2.X0 對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過 2 分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2 對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1 分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.考點(diǎn)二均值與方差1(20 xx浙江，9)已知甲盒中僅有 1 個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i1，2)個(gè)球放入甲盒中(a)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i1，2)；(b)放入i個(gè)球后，從甲盒中取 1 個(gè)球是紅球的概率記為pi(i1，2)則()Ap1p2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)p2，E(1)E(2)，故選 A.答案A2(20 xx湖北，9)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為 125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()A.126125B.65C.168125D.75解析由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為 0，1，2，3.由于P(X0)27125，P(X1)54125，P(X2)36125，P(X3)8125，故E(X)0271251541252361253812515012565.答案B3(20 xx上海，9)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.解析令“？”為a， “！”為b，則 2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2.答案24(20 xx浙江，15)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為23，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)若P(X0)112，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.解析P(X0)13(1p)2112，p12.則P(X1)231212131212213，P(X2)2312122131212512，P(X3)23121216.則E(X)0112113251231653.答案535(20 xx天津，16)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員 3 名，其中種子選手 2 名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員 5 名，其中種子選手 3 名從這 8 名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇 4 人參加比賽(1)設(shè)A為事件“選出的 4 人中恰有 2 名種子選手， 且這 2 名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635.所以，事件A發(fā)生的概率為635.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為 1，2，3，4.P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4)所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1143737114隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)1114237337411452.6(20 xx山東，19)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如 137，359，567 等)在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取 1 個(gè)數(shù)， 且只能抽取一次 得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被 5 整除，參加者得 0 分；若能被 5整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是 5 的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)個(gè)位數(shù)是 5 的“三位遞增數(shù)”有 125，135，145，235，245，345；(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為 C3984，隨機(jī)變量X的取值為：0，1，1，因此P(X0)C38C3923，P(X1)C24C39114，P(X1)1114231142，所以X的分布列為X011P231141142則E(X)023(1)11411142421.7(20 xx湖南，18)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有 4 個(gè)紅球、6 個(gè)白球的甲箱和裝有 5 個(gè)紅球、5 個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，在摸出的 2 個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有 1 個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)(1)求顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有 3 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在 3 次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記事件A1從甲箱中摸出的 1 個(gè)球是紅球，A2從乙箱中摸出的 1 個(gè)球是紅球，B1顧客抽獎(jiǎng) 1 次獲一等獎(jiǎng)，B2顧客抽獎(jiǎng) 1 次獲二等獎(jiǎng)，C顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng)由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2.因?yàn)镻(A1)41025，P(A2)51012，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215，P(B2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2)25112 125 1212.故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512710.(2)顧客抽獎(jiǎng) 3 次可視為 3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 由(1)知， 顧客抽獎(jiǎng) 1 次獲一等獎(jiǎng)的概率為15，所以XB3，15 .于是P(X0)C0315045364125，P(X1)C1315145248125，P(X2)C2315245112125，P(X3)C331534501125.故X的分布列為X0123P6412548125121251125X的數(shù)學(xué)期望為E(X)31535.8(20 xx安徽，17)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解用A表示“甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2321323223132325681.(2)X的可能取值為 2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)1081，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881.故X的分布列為X2345P59291081881E(X)25932941081588122481.9(20 xx福建，18)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì) 1 000 位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定： 每位顧客從一個(gè)裝有 4 個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出 2 個(gè)球， 球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額(1)若袋中所裝的 4 個(gè)球中有 1 個(gè)所標(biāo)的面值為 50 元，其余 3 個(gè)均為 10 元，求：()顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元的概率；()顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個(gè)球只能由標(biāo)有面值 10 元和 50元的兩種球組成， 或標(biāo)有面值 20 元和 40 元的兩種球組成 為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡， 請(qǐng)對(duì)袋中的 4 個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.()依題意，得P(X60)C11C13C2412，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元的概率為12.()依題意，得X的所有可能取值為 20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即X的分布列為X2060P1212所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)2012601240(元)(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元所以，先尋找期望為 60 元的可能方案對(duì)于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0 元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1.對(duì)于面值由 20 元和 40 元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100P162316X1的期望為E(X1)201660231001660，X1的方差為D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003.對(duì)于方案 2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080P162316X2的期望為E(X2)40166023801660，X2的方差為D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求， 但方案 2 獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案 1 的小， 所以應(yīng)該選擇方案 2.10(20 xx遼寧，18)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立(1)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個(gè)且另 1 天的日銷售量低于 50 個(gè)的概率；(2)用X表示在未來 3 天里日銷售量不低于 100 個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于 100 個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于 50 個(gè)” ，B表示事件“在未來連續(xù) 3 天里， 有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個(gè)且另 1 天的日銷售量低于 50 個(gè)”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值為 0，1，2，3，相應(yīng)的概率為P(X0)C03(10.6)30.064，P(X1)C130.6(10.6)20.288，P(X2)C230.62(10.6)0.432，P(X3)C330.630.216.分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3， 0.6)， 所以期望E(X)30.61.8， 方差D(X)30.6(10.6)0.72.11(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，19)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗(yàn)，這 4 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取 4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取 1 件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為12，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為 100 元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)第一次取出的 4 件產(chǎn)品中恰有 3 件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的 4 件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的 4 件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的 1 件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)41611611612364.(2)X可能的取值為 400，500，800，并且P(X400)14161161116，P(X500)116，P(X800)14.所以X的分布列為X400500800P111611614E(X)400111650011680014506.25.