新編高考數(shù)學理一輪資源庫 第13章學案5

新編高考數(shù)學復習資料 學案65　隨機變量的均值和方差 導學目標： 1.理解隨機變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題． 自主梳理 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的概率分布為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 μ＝E(X)＝________________________________為隨機變量X的均值或______________，它反映了離散型隨機變量取值的____________． (2)方差 σ2＝V(X)＝_________________________________＝xpi－μ2為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的______________，其________________________為隨機變量X的標準差，即σ＝. 2．均值與方差的性質 (1)E(aX＋b)＝________. (2)V(aX＋b)＝________(a，b為實數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝____，V(X)＝____________________________________. (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝____，V(X)＝________. 自我檢測 1．若隨機變量X的分布列如下表，則E(X)＝________. X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 2.已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值分別為________和________． 3．(2010·課標全國改編)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為________． 4．(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________. 5．隨機變量ξ的概率分布如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則V(ξ)＝________. 探究點一　離散型隨機變量的期望與方差的求法 例1　袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號． (1)求ξ的概率分布、期望和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，V(η)＝11，試求a，b的值． 變式遷移1　編號1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數(shù)是X. (1)求隨機變量X的概率分布； (2)求隨機變量X的數(shù)學期望和方差． 探究點二　二項分布的期望與方差 例2　A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組．設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為. (1)求一個試驗組為甲類組的概率； (2)觀察3個試驗組，用ξ表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學期望． 變式遷移2　(2010·泰州模擬)在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是，每次命中與否互相獨立． (1)求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及ξ的數(shù)學期望． 探究點三　離散型隨機變量期望與方差的 實際應用 例3　購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內至少支付賠償金10 000元的概率為1－0.999104. (1)求一投保人在一年度內出險的概率p； (2)設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費(單位：元)． 變式遷移3　(2010·江蘇)某工廠生產甲、乙兩種產品．甲產品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產1件甲產品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設生產各件產品相互獨立． (1)記X(單位：萬元)為生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤，求X的概率分布； (2)求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率． 1．若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，V(η)＝a2V(ξ)． 2．若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)． 3．求離散型隨機變量的期望與方差的常用方法有：(1)已知隨機變量的概率分布求它的期望、方差和標準 差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量ξ的期望、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的期望、方差和標準差，可直接用ξ的期望、方差的性質求解；(3)如能分析所給隨機變量，是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·福州質檢)已知某一隨機變量ξ的概率分布如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為________. ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b 2.設ξ～B(n，p)，若有E(ξ)＝12，V(ξ)＝4，則n、p的值分別為________________． 3．隨機變量X的概率分布為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X＋4)＝________. 4．(2010·成都畢業(yè)班第一次診斷)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的對稱軸在y軸的左側，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機變量ξ為“|a－b|的取值”，則ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝________. 5．(2011·上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學計算ξ的數(shù)學期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 6．設離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝________. 7．(2010·遼寧改編)兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為________． 8．(2010·重慶)某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一次測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元．令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)．假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求X的概率分布； (2)求此員工月工資的期望． 10．(14分)(2011·山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設各盤比賽結果相互獨立． (1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學期望E(ξ)． 11．(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關，在每次調整中，價格下降的概率都是p(0<p<1)．設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整，記乙項目產品價格在一年內的下降次數(shù)為ξ，對乙項目投資十萬元，ξ取0、1、2時，一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元．隨機變量ξ1、ξ2分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤． (1)求ξ1、ξ2的概率分布和數(shù)學期望E(ξ1)、E(ξ2)； (2)當E(ξ1)<E(ξ2)時，求p的取值范圍． 學案65　隨機變量的均值和方差 答案 自主梳理 1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　數(shù)學期望　平均水平　(2)(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn　平均偏離程度　算術平方根　2.(1)aE(X)＋b (2)a2V(X)　3.(1)p　p(1－p)　(2)np　np(1－p) 自我檢測 1．　 2．6　0.4　 3．200 4． 解析　由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 隨機變量X的概率分布為： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 5． 解析　由　得， 故V(ξ)＝(－1－)2·＋(0－)2×＋(1－)2×＝. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　要求期望，需先求出概率分布，要求概率分布，需先求隨機變量取每個值的概率，而求概率離不開常見事件概率的計算方法．第(2)小題注意性質E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，V(aξ＋b)＝a2V(ξ)的應用． 解　(1)ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. V(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由V(η)＝a2V(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(ξ)＋b， 所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或 變式遷移1　解　(1)P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；P(X＝3)＝＝. ∴隨機變量X的概率分布為 X 0 1 3 P (2)E(X)＝0×＋1×＋3×＝1. V(X)＝(1－0)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1. 例2　解題導引　(1)準確理解事件“甲類組”的含義，把“甲類組”這一復雜事件用幾個互斥的基本事件的和來表示； (2)第(2)小題首先判斷隨機變量ξ服從二項分布，再求其概率分布和均值． 解　(1)設Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2， Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2. 依題意有 P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝. P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝. 所求的概率為 P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2) ＝×＋×＋×＝. (2)ξ的可能值為0,1,2,3，且ξ～B. P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝C××2＝， P(ξ＝2)＝C×2×＝， P(ξ＝3)＝3＝. ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 變式遷移2　解　(1)記“油罐被引爆”為事件A，其對立事件為， 則P()＝C()()4＋()5， ∴P(A)＝1－[C()()4＋()5]＝. 故油罐被引爆的概率為. (2)射擊次數(shù)ξ的可能取值為2,3,4,5， P(ξ＝2)＝()2＝， P(ξ＝3)＝C×××＝， P(ξ＝4)＝C××()2×＝， P(ξ＝5)＝C×()()3＋()4＝. 故ξ的概率分布為 ξ 2 3 4 5 P E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 例3　解題導引　各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，投保人中出險人數(shù)ξ～B(104，p)，進而利用二項分布的有關性質求解． 解　各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為ξ，則ξ～B(104，p)． (1)記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當且僅當ξ＝0， P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104， 又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001. (2)該險種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和． 支出10 000ξ＋50 000. 盈利η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)， 盈利的期望為E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000， 由ξ～B(104,10－3)知， E(ξ)＝10 000×10－3， E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104 ＝104a－104×104×10－3－5×104. E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0 ?a－10－5≥0?a≥15(元)． 故每位投保人應交納的最低保費為15元． 變式遷移3　解　(1)由題意知，X的可能取值為10,5,2，－3. P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02， 所以X的概率分布為 X 10 5 2 －3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)設生產的4件甲產品中一等品有n(n≤4且n∈N*)件，則二等品有(4－n)件． 由題設知4n－(4－n)≥10，解得n≥. 又n∈N*，得n＝3或n＝4. 所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2. 故所求概率為0.819 2. 課后練習區(qū) 1．7　 2．18，　 3．15　 4． 5．2 解析　設“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則 E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. 6. 7． 解析　設事件A：“一個實習生加工一等品”， 事件B：“另一個實習生加工一等品”，由于A、B相互獨立，則恰有一個一等品的概率P＝P(A)＋P(B) ＝P(A)·P()＋P()·P(B) ＝×＋×＝. 8． 解析　設此隊員每次罰球的命中率為p，則1－p2＝， ∴p＝. 9．解　(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4. (2分) P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)． (4分) 即 X 0 1 2 3 4 P (7分) (2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500. (9分) 則P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝. E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280. (12分) 所以此員工月工資的期望為2 280元． (14分) 10．解　(1)設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件． 因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由對立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5， P()＝0.5.(2分) 紅隊至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立， (4分) 因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (7分) (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.(9分) 又由(1)知 F，E，D 是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，(11分) 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D ) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由對立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. (12分) 所以ξ的概率分布為： ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.(14分) 11．解　(1)ξ1的概率分布為 ξ1 1.2 1.18 1.17 P E(ξ1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18. (3分) 由題設得ξ～B(2，p)，即ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 (5分) 故ξ2的概率分布為 ξ2 1.3 1.25 0.2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 所以ξ2的數(shù)學期望是E(ξ2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3. (8分) (2)由E(ξ1)<E(ξ2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0， 解得－0.4<p<0.3. 因為0<p<1，所以， 當E(ξ1)<E(ξ2)時， p的取值范圍是0<p<0.3. (14分)