新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第10篇 第3節(jié) 二項(xiàng)式定理

第十篇　第3節(jié) 一、選擇題 1．(20xx山西康杰中學(xué)二模)若(－)n的展開式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n等于(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：展開式中的第四項(xiàng)為T4＝C()n－3(－1)3· ，由題意得＝0，解得n＝5.故選B. 答案：B 2．在5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為(　　) A．10 B．－10 C．40 D．－40 解析：因?yàn)?的展開式的通項(xiàng)為 Tk＋1＝C(2x2)5－kk＝C25－k(－1)kx10－3k， 令10－3k＝1得k＝3， 所以x的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40.故選D. 答案：D 3．(20xx黑龍江省哈師大附中三模)二項(xiàng)式(x＋a)n(a是常數(shù))展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式的系數(shù)和為32，各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中的第4項(xiàng)為(　　) A．80x2 B．80x C．10x4 D．40x3 解析：(x＋a)n展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2n＝32，解得n＝5，令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋a)5＝243，故a＝2，所以展開式的第4項(xiàng)為Cx2a3＝Cx2·23＝80x2.故選A. 答案：A 4．(高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知： 二項(xiàng)式(x＋y)2m的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大有一項(xiàng)C＝a， 二項(xiàng)式(x＋y)2m＋1的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大有兩項(xiàng) C＝C＝b， 因此13C＝7C， ∴13·＝7·， 即13＝， ∴m＝6.故選B. 答案：B 5．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，則a0和a1的值分別為(　　) A．32,80 B．32,40 C．16,20 D．16,10 解析：由于x＋1＝x－1＋2， 因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展開式中(x－1)的系數(shù)為C24＝80.令x＝1，得a0＝32，故選A. 答案：A 6．若5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 解析：令x＝1，即可得到5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1＋a＝2，所以a＝1，5＝5，要找其展開式中的常數(shù)項(xiàng)，需要找5的展開式中的x和，由通項(xiàng)公式得Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－rCx5－2r，令5－2r＝±1，得到r＝2或r＝3，所以有80x和－項(xiàng)，分別與和x相乘，再相加，即得該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為80－40＝40. 答案：D 二、填空題 7．(20xx黑龍江省大慶市二模)二項(xiàng)式x3－5的常數(shù)項(xiàng)為________(用數(shù)字作答)． 解析：由通項(xiàng)公式得Tr＋1＝C(x3)5－r·(－1)r·r＝(－1)rCx15－5r. 令15－5r＝0，解得r＝3. 故常數(shù)項(xiàng)為T4＝C(－1)3＝－10. 答案：－10 8．(高考安徽卷)若x＋8的展開式中，x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx8－r·r＝C·ar·x8－r，令8－r＝4，解得r＝3，故x4的系數(shù)為C·a3＝7，解得a＝. 答案： 9．(20xx甘肅省蘭州一中高三高考沖刺)設(shè)a＝sin xdx，則二項(xiàng)式a－6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于________． 解析：a＝sin xdx＝－cos x＝2， C(2)6－r－r＝(－1)r26－rCx3－r， 由3－r＝0得r＝3， 所以(－1)323C＝－160， 所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于－160. 答案：－160 10．20xx玉溪一中檢測)在(1－x)5＋(1－x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是________． 解析：(1－x)5的展開式的通項(xiàng)為C(－1)kxk，(1－x)6的展開式的通項(xiàng)為C(－1)kxk，所以x3項(xiàng)為C(－1)3x3＋C(－1)3x3＝－30x3，所以x3的系數(shù)為－30. 答案：－30 三、解答題 11．設(shè)(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，求： (1)a8＋a7＋…＋a1； (2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0. 解：令x＝0得a0＝1. (1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0， ① ∴a8＋a7＋…＋a1＝28－a0＝256－1＝255. (2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0， ② 由①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)， ∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32896. 12．已知n， (1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)； (2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14， 當(dāng)n＝7時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423＝， T5的系數(shù)為C324＝70. 當(dāng)n＝14時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8， ∴T8的系數(shù)為C727＝3432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0， ∴n＝12或n＝－13(舍去)． 設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大， ∵12＝()12(1＋4x)12， ∴ 解得≤k≤. ∵k∈N， ∴k＝10， ∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11， T11＝C·2·210·x10＝16896x10.