新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第10章學(xué)案

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案49橢圓導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義，幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)自主梳理1橢圓的概念平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做_這兩定點(diǎn)叫做橢圓的_，兩焦點(diǎn)間的距離叫_集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若_，則集合P為橢圓；(2)若_，則集合P為線段；(3)若_，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距F1F22c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2自我檢測(cè)1已知兩定點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，點(diǎn)M滿足MAMB2，則點(diǎn)M的軌跡是_2“m>n>0”是方程“mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的_條件3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是_4橢圓1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么PF1_，PF2_.5橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，那么k_.探究點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用例1一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程變式遷移1求過(guò)點(diǎn)A(2,0)且與圓x24xy2320內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程探究點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)和B.變式遷移2(1)已知橢圓過(guò)(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(，1)、P2(，)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)例3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260°.(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)變式遷移3已知橢圓1(a>b>0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，ABOM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求F1QF2的取值范圍方程思想例4(14分)(2010·北京朝陽(yáng)一模)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，)，過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線l，滿足·2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答題模板】解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得解得a24，b23.故橢圓C的方程為1.4分(2)若存在直線l滿足條件，由題意可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1，由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.6分因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k(2k1)24·(34k2)·(16k216k8)>0.整理得32(6k3)>0，解得k>.9分又x1x2，x1x2，且·2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k2)，即x1x22(x1x2)4(1k2).11分所以2×4(1k2)，解得k±.所以k.于是存在直線l滿足條件，其方程為yx.14分【突破思維障礙】直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點(diǎn)問(wèn)題、相交弦問(wèn)題及其他綜合問(wèn)題反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過(guò)該不等式來(lái)求參數(shù)的范圍對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，與向量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān)，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更容易實(shí)現(xiàn)解題功能，所以在復(fù)習(xí)過(guò)程中要格外重視1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定參)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為1 (m>0，n>0且mn)，可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)為Ax2By21 (A>0，B>0且AB)，這種形式在解題中更簡(jiǎn)便2橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率等；另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)等第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標(biāo)系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng)改變3直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題它是高考的熱點(diǎn)，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎(chǔ)知識(shí)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問(wèn)題等，分析此類問(wèn)題時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(4,0)，ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_2已知橢圓1，長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m_.3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率為_4已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_5(2011·無(wú)錫模擬)橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則ON_.6已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_7橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上若PF14，則PF2_；F1PF2的大小為_8(2011·徐州模擬)如圖，已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1 (a>b>0)上一點(diǎn)，若PF1PF2，tanPF1F2，則此橢圓的離心率是_二、解答題(共42分)9(14分)(2011·常州模擬)已知方向向量為v(1，)的直線l過(guò)點(diǎn)(0，2)和橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若已知點(diǎn)D(3,0)，點(diǎn)M，N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍10(14分)橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程11(14分)(2010·福建)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由學(xué)案49橢圓答案自主梳理1橢圓焦點(diǎn)焦距(1)a>c(2)ac(3)a<c自我檢測(cè)1線段AB2.充要3.4.5.1課堂活動(dòng)區(qū)例1解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，半徑為r.則由圓相切的性質(zhì)知，CO11r，CO29r，CO1CO210，而O1O26，點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a10,2c6，b4.動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.變式遷移1解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：(x2)2y262，圓心B(2,0)，r6.設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，動(dòng)圓與已知圓的切點(diǎn)為C.則BCMCBM，而BC6，BMCM6.又CMAM，BMAM6>AB4.點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)、A(2,0)為焦點(diǎn)、線段AB中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓a3，c2，b.所求軌跡方程為1.例2解題導(dǎo)引確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個(gè)定位條件(即確定焦點(diǎn)的位置)和兩個(gè)定形條件(即確定a，b的大小)當(dāng)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)，應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)或1 (a>b>0)，或者不必考慮焦點(diǎn)位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2ny21 (m>0，n>0，且mn)解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1 (a>b>0)橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，a3，又2a3·2b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1 (a>b>0)橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，b3，又2a3·2b，a9，方程為1.綜上可知橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)，B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2ny21，將A，B坐標(biāo)代入方程得，所求橢圓方程為x21.變式遷移2解(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a3，c，從而b2a2c2963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b3，a227.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21 (m>0，n>0且mn)橢圓經(jīng)過(guò)P1、P2點(diǎn)，P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.例3解題導(dǎo)引(1)橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、PF1PF22a，得到a、c的關(guān)系(2)對(duì)F1PF2的處理方法(1)解設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，PF1m，PF2n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60°.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))，4a24c23a2.，即e.e的取值范圍是.(2)證明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60°b2，即PF1F2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)變式遷移3解(1)F1(c,0)，則xMc，yM，kOM.kAB，OMAB，bc，故e.(2)設(shè)F1Qr1，F(xiàn)2Qr2，F(xiàn)1QF2，r1r22a，F(xiàn)1F22c，cos 110，當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時(shí)，cos 0，0，課后練習(xí)區(qū)1.1 (y0)2.83.14.橢圓54解析連結(jié)MF2，已知MF12，又MF1MF210，故MF210MF18，如圖，ONMF24.6.1解析由已知得，2a12，a6，c3，b2a2c29.故橢圓方程為1.72120°解析由PF1PF26，且PF14，知PF22，在PF1F2中，cosF1PF2.F1PF2120°.8.解析由題得PF1F2為直角三角形，設(shè)PF1m，tanPF1F2，PF2，F(xiàn)1F2m，e.9解(1)直線l的方向向量為v(1，)，直線l的斜率為k.又直線l過(guò)點(diǎn)(0，2)，直線l的方程為y2x.a>b，橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)c2.又e，a.b2a2c22.橢圓方程為1.(6分)(2)若直線MNy軸，則M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，或，即52或52.若MN與y軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為xmy3(m0)由得(m23)y26my30.設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1y2，y1y2，36m212(m23)24m236>0，m2>.(x13，y1)，(x23，y2)，顯然>0，且1，(x13，y1)(x23，y2)y1y2.代入，得210.m2>，得2<<10，即解得52<<52且1.綜上所述，的取值范圍是5252，且1.(14分)10解方法一設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kOC，代入上式可得ba.(4分)由方程組，得(ab)x22bxb10，x1x2，x1x2，再由AB |x2x1|x2x1|2，得24·4，(10分)將ba代入得a，b.所求橢圓的方程是1.(14分)方法二由得(ab)x22bxb10.(2分)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則AB·.AB2，1.(6分)設(shè)C(x，y)，則x，y1x，OC的斜率為，.(10分)代入，得a，b.橢圓方程為1.(14分)11解方法一(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(5分)(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.(7分)因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以(3t)24×3×(t212)0，解得4t4.(9分)另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t±2.(12分)由于±24，4，所以符合題意的直線l不存在(14分)方法二(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，且有解得b212或b23(舍去)從而a216.(3分)所以橢圓C的方程為1.(5分)(2)同方法一