新編三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學復習 第七章 第五節(jié) 推理與證明 理全國通用

第五節(jié)第五節(jié)推理與證明推理與證明A 組專項基礎(chǔ)測試三年模擬精選一、選擇題1(20 xx上海閘北二模)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為()An1B2nC.n2n22Dn2n1解析1 條直線將平面分成 11 個區(qū)域；2 條直線最多可將平面分成 1(12)4 個區(qū)域；3 條直線最多可將平面分成 1(123)7 個區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成 1(123n)1n（n1）2n2n22個區(qū)域，選 C.答案C2 (20 xx四平二模)設a，b是兩個實數(shù)， 給出下列條件： ab1； ab2； ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于 1”的條件是()ABCD解析若a12，b23，則ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對于，即ab2，則a，b中至少有一個大于 1，反證法：假設a1 且b1，則ab2 與ab2 矛盾，因此假設不成立，a，b中至少有一個大于 1.答案C二、填空題3(20 xx廣東模擬)已知n，kN N*，且kn，kCknnCk1n1，則可推出 C1n2C2n3C3nkCknnCnnn(C0n1C1n1Ck1n1Cn1n1)n2n1， 由此， 可推出 C1n22C2n32C3nk2Cknn2Cnn_.解析C1n22C2n32C3nk2Cknn2Cnnn(C0n12C1n1kCk1n1nCn1n1)n(C0n1C1n1Ck1n1Cn1n1)(C1n12C2n1(k1)Ck1n1(n1)Cn1n1)答案n(n1)2n24(20 xx杭州二模)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，T16T12成等比數(shù)列解析對于等比數(shù)列， 通過類比等差數(shù)列， 有等比數(shù)列bn的前n項積為Tn， 則T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，所以T8T4a5a6a7a8，T12T8a9a10a11a12，T16T12a13a14a15a16，所以T4，T8T4，T12T8，T16T12的后一項與前一項的比均為q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比數(shù)列答案T8T4T12T85(20 xx揚州質(zhì)檢)設f(n)112131413n1(nN N*)，則f(n1)f(n)_.解析f(n)112131413n1，f(n1)1121313n113n13n113n2.f(n1)f(n)13n13n113n2.答案13n13n113n26(20 xx福建廈門 3 月)已知等差數(shù)列an中，有a11a12a2010a1a2a3030，則在等比數(shù)列bn中，會有類似的結(jié)論：_解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30b2b29b11b20，10b11b12b2030b1b2b30.答案10b11b12b2030b1b2b30一年創(chuàng)新演練7在下面的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么xyz的值為()cos 02sin6tan4xyzA.1B2C3D4解析先算出三角函數(shù)值，然后根據(jù)每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，填表可得，1322523121543214x1218y516116z316所以選 A.答案A8已知223223，338338，44154415，若7ab7ab，(a、b均為正實數(shù))，則類比以上等式，可推測a、b的值，進而可得ab_解析觀察下列等式223223，338338，44154415，照此規(guī)律，第 7 個等式中：a7，b72148，ab55，故答案為：55.答案55B 組專項提升測試三年模擬精選一、選擇題9(20 xx大連二模)已知f1(x)sinxcosx，記f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN N* *，且n2)，則f12 f22 f2 0122 ()A503B1 006C0D2 012解析f1(x)sinxcosx，f2(x)cosxsinx，f3(x)sinxcosx，f4(x)cosxsinx，f5(x)sinxcosx，fn(x)是以 4 為周期的函數(shù)，f12 f22 f2 0122 f12 f22 f32 f425030.答案C二、填空題10(20 xx西安師大附中模擬)觀察下列等式：13231，738310311312，16317319320322323339，則當nm且m，nN N 時，3n133n233m233m13_(最后結(jié)果用m，n表示)解析當n0，m1 時，為第一個式子13231，此時 1120m2n2，當n2，m4 時，為第二個式子738310311312；此時 124222m2n2，當n5，m8 時，為第三個式子16317319320322323339，此時 398252m2n2，由歸納推理可知觀察下列等式：3n133n233m233m13m2n2.故答案為：m2n2.答案m2n211(20 xx山東威海模擬)對大于 1 的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”2335， 337911， 4313151719， 仿此， 若m3的“分裂”數(shù)中有一個是 2 015， 則m的值為_解析由題意，從 23到m3，正好用去從 3 開始的連續(xù)奇數(shù)共 234m（m2） （m1）2個，2 015 是從 3 開始的第 1 007 個奇數(shù)，當m44 時，從 23到 443，用去從 3 開始的連續(xù)奇數(shù)共46432989 個當m45 時，從 23到 453，用去從 3 開始的連續(xù)奇數(shù)共474421 034 個答案4512.(20 xx天津和平二模)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：根據(jù)右面排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n3)行從左至右的第 3 個數(shù)是_解析前n1 行共有正整數(shù) 12(n1)n（n1）2個，即n2n2個，因此第n行從左至右的第 3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第n2n23 個，即為n2n62.答案n2n62三、解答題13 (20 xx黃岡二模)設f(x)sin(2x)(0)，f(x)圖象的一條對稱軸是x8.(1)求的值；(2)求yf(x)的遞增區(qū)間；(3)證明：直線 5x2yc0 與函數(shù)yf(x)的圖象不相切(1)解由對稱軸是x8得sin41，4k2(kZ Z)，即k4(kZ Z)，而2，即直線 5x2yc0 與函數(shù)yf(x)的圖象不相切14(20 xx湖南常德 4 月)設a0，f(x)axax，令a11，an1f(an)，nN N* *.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論(1)解a11，a2f(a1)f(1)a1a；a3f(a2)a2a；a4f(a3)a3a.猜想ana（n1）a(nN N* *)(2)證明()易知，n1 時，猜想正確()假設nk時猜想正確，即aka（k1）a，則ak1f(ak)aakaakaa（k1）aaa（k1）aa（k1）a1a（k1）1a.這說明，nk1 時猜想正確由()()知，對于任何nN N* *，都有ana（n1）a.一年創(chuàng)新演練15設函數(shù)f(x)xlnx(x0)(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)設F(x)ax2f(x)(aR R)，討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性；(3)斜率為k的直線與曲線yf(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點， 求證：1x2k0)，令f(x)0，得x1e，當x0，1e ，f(x)0.當x1e時，f(x)min1eln1e1e.(2)解F(x)ax2lnx1(x0)，F(xiàn)(x)2ax1x2ax21x(x0)，當a0 時，恒有F(x)0，F(xiàn)(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a0，得2ax210，解得 0 x12a；令F(x)0，得 2ax2112a.綜上，當a0 時，F(xiàn)(x)在(0，)上單調(diào)遞增當a0 時，F(xiàn)(x)在0，12a上單調(diào)遞增，在12a，上單調(diào)遞減(3)證明由題意kf（x2）f（x1）x2x1lnx2lnx1x2x1.要證明不等式1x2k1x1成立，即證x11kx2成立，也就是證明x1x2x1lnx2lnx1x2成立，等價于證明不等式 1x2x11lnx2x11)，則只要證明 1t1lnt1，知 lnt0，故等價于證明不等式 lntt11)恒成立(*)令函數(shù)g(t)t1lnt(t1)，則g(t)11t0(t1)，故g(t)在1，)上是增函數(shù)，當t1 時，g(t)t1lntg(1)0，即t1lnt(t1)成立令函數(shù)h(t)tlnt(t1)(t1)，則h(t)lnt0(t1)，故h(t)在1，)上是增函數(shù)，當t1 時，h(t)tlnt(t1)h(1)0，即t11)由知(*)成立，得證16已知數(shù)列an中，a11，an114an3，數(shù)列bn滿足bn1an1(nN N*)(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)證明：1b211b221b2n7.(1)解an1124an32an2an3，bn11an11an32an2（an1）22（an1）1an112bn12，又b112，所以數(shù)列bn是首項為12，公差為12的等差數(shù)列，bnn2(也可以求出b112，b222，b332，b442猜想并用數(shù)學歸納法證明，數(shù)學歸納法證明過程如下： 當n1 時，b112符合通項公式bnn2； 假設當nk時猜想成立，即bk1ak1k2，ak2k1，那么當nk1 時ak1ak1ak32k112k131k1k，bk11ak1111k1k1k12，即nk1 時猜想也能成立，綜合可知，對任意的nN N*都有bnn2)(2) 證明當n1 時，左邊1b2147 不等式成立；當n2 時，左邊1b211b224157 不等式成立；當n3 時，1b2n4n24n（n1）41n11n，左邊1b211b221b2n414121313141n11n54121n 74n7，不等式成立.