2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：3-3-1 幾何概型.doc

2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：3-3-1 幾何概型項目內(nèi)容課題3.3.1 幾何概型（共 1 課時）修改與創(chuàng)新教學目標1.通過師生共同探究,體會數(shù)學知識的形成,正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式：P（A）=,學會應(yīng)用數(shù)學知識來解決問題,體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力.2.本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多,學習時養(yǎng)成勤學嚴謹?shù)膶W習習慣,會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型,會進行簡單的幾何概率計算,培養(yǎng)學生從有限向無限探究的意識.教學重、難點教學重點：理解幾何概型的定義、特點,會用公式計算幾何概率.教學難點：等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別.教學準備多媒體課件教學過程導(dǎo)入新課思路1 復(fù)習古典概型的兩個基本特點：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對于有無限多個試驗結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢?為此我們學習幾何概型,教師板書本節(jié)課題幾何概型.思路2 下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少? 為解決這個問題,我們學習幾何概型.思路3 在概率論發(fā)展的早期,人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個等可能結(jié)果的隨機試驗是不夠的,還必須考慮有無限多個試驗結(jié)果的情況.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子,石子可能落在方格中的任何一點這些試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個.這就是我們要學習的幾何概型.推進新課新知探究提出問題(1)隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次,求兩次出現(xiàn)相同面的概率？(2)試驗1.取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？試驗2.射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍色,紅色,靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭.假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？(3)問題(1)(2)中的基本事件有什么特點?兩事件的本質(zhì)區(qū)別是什么?(4)什么是幾何概型?它有什么特點?(5)如何計算幾何概型的概率?有什么樣的公式?(6)古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系?活動：學生根據(jù)問題思考討論,回顧古典概型的特點,把問題轉(zhuǎn)化為學過的知識解決,教師引導(dǎo)學生比較概括.討論結(jié)果：(1)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結(jié)果：分別記作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.兩次出現(xiàn)相同面的概率為.(2)經(jīng)分析,第一個試驗,從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點. 第二個試驗中,射中靶面上每一點都是一個基本事件,這一點可以是靶面直徑為122 cm的大圓內(nèi)的任意一點. 在這兩個問題中,基本事件有無限多個,雖然類似于古典概型的“等可能性”,但是顯然不能用古典概型的方法求解. 考慮第一個問題,如右圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的, 于是事件A發(fā)生的概率P(A)=. 第二個問題,如右圖,記“射中黃心”為事件B,由于中靶心隨機地落在面積為1222 cm2的大圓內(nèi),而當中靶點落在面積為12.22 cm2的黃心內(nèi)時,事件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率P(B)=0.01.(3)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結(jié)果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,繩子從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點,也是等可能的,射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的,但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結(jié)果,是有限的;而剪斷繩子的點和射中靶面的點是無限的;即一個基本事件是有限的,而另一個基本事件是無限的.(4)幾何概型. 對于一個隨機試驗,我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型. 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability）,簡稱幾何概型. 幾何概型的基本特點：a.試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；b.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(5)幾何概型的概率公式： P（A）=.(6)古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個基本事件的發(fā)生都是等可能的;區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的,而幾何概型的基本事件是無限的,另外兩種概型的概率計算公式的含義也不同.應(yīng)用示例思路1例1 判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概率是古典概型,還是幾何概型.（1）拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個“4點”的概率;（2）如下圖所示,圖中有一個轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝,求甲獲勝的概率.活動：學生緊緊抓住古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系,然后判斷.解：（1）拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結(jié)果有66=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型;（2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量,即與區(qū)域長度有關(guān),因此屬于幾何概型.點評：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點,古典概型具有有限性和等可能性.而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果,且與事件的區(qū)域長度有關(guān).例2 某人午休醒來,發(fā)覺表停了,他打開收音機想聽電臺整點報時,求他等待的時間短于10分鐘的概率.活動：學生分析,教師引導(dǎo),假設(shè)他在060之間的任一時刻,打開收音機是等可能的,但060之間有無數(shù)個時刻,不能用古典概型的公式來計算隨機事件發(fā)生的概率,因為他在060之間的任一時刻打開收音機是等可能的,所以他在哪個時間段打開收音機的概率只與該時間段的長度有關(guān),而與該時間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件,所以可用幾何概型的概率計算公式計算.解：記“等待的時間小于10分鐘”為事件A,打開收音機的時刻位于50,60時間段內(nèi)則事件A發(fā)生.由幾何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為1/6.打開收音機的時刻X是隨機的,可以是060之間的任何時刻,且是等可能的.我們稱X服從0,60上的均勻分布,X稱為0,60上的均勻隨機數(shù).變式訓練 某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站,求任一人在該車站等車時間少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）.解：可以認為人在任一時刻到站是等可能的.設(shè)上一班車離站時刻為a,則某人到站的一切可能時刻為=(a,a+5),記Ag=等車時間少于3分鐘,則他到站的時刻只能為g=(a+2,a+5)中的任一時刻,故P(Ag)=.點評：通過實例初步體會幾何概型的意義.思路2例1 某人欲從某車站乘車出差,已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班,求此人等車時間不多于20分鐘的概率.活動：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關(guān),而與該時間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件.解：設(shè)A=等待的時間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時刻位于40,60這一時間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P（A）=（60-40）/60=1/3.即此人等車時間不多于10分鐘的概率為1/3.點評：在本例中,到站等車的時刻X是隨機的,可以是0到60之間的任何一刻,并且是等可能的,我們稱X服從0,60上的均勻分布,X為0,60上的均勻隨機數(shù).變式訓練 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,假設(shè)在海域中任意一點鉆探,鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的，而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積,由幾何概型公式可以求得概率.解：記“鉆到油層面”為事件A,則P(A)=0.004.答：鉆到油層面的概率是0.004.例2 小明家的晚報在下午5：306：30之間任何一個時間隨機地被送到,小明一家人在下午6：007：00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.則晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？活動：學生讀題,設(shè)法利用幾何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐標系,如右圖中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5圍成一個正方形區(qū)域G.設(shè)晚餐在x（6x7）時開始,晚報在y（5.5y6.5）時被送到,這個結(jié)果與平面上的點（x,y）對應(yīng).于是試驗的所有可能結(jié)果就與G中的所有點一一對應(yīng). 由題意知,每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,因此,試驗屬于幾何概型.晚報在晚餐開始之前被送到,當且僅當y<x,因此圖中的陰影區(qū)域g就表示“晚報在晚餐開始之前被送到”.容易求得g的面積為,G的面積為1.由幾何概型的概率公式,“晚報在晚餐開始之前被送到”的概率為P（A）=.變式訓練 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子,從中隨機取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少？分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的,取得的10毫升種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域,1升種子可視作試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,可用“體積比”公式計算其概率.解：取出10毫升種子,其中“含有病種子”這一事件記為A,則P(A)=0.01.所以取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是0.01.知能訓練1.已知地鐵列車每10 min一班,在車站停1 min,求乘客到達站臺立即乘上車的概率.解：由幾何概型知,所求事件A的概率為P(A)=.2.兩根相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于2 m的概率.解：記“燈與兩端距離都大于2 m”為事件A,則P(A)=.3.在500 mL的水中有一個草履蟲,現(xiàn)從中隨機取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是（ ）A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能確定解析：由于取水樣的隨機性,所求事件A：“在取出2 mL的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比=0.004.答案：C4.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線,把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A,為了確定硬幣的位置,由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM,垂足為M,如右圖所示,這樣線段OM長度（記作OM）的取值范圍就是0,a,只有當rOMa時硬幣不與平行線相碰,所以所求事件A的概率就是P（A）=.拓展提升1.約會問題 兩人相約8點到9點在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就可離去,試求這兩人能會面的概率.解：因為兩人誰也沒有講好確切的時間,故樣本點由兩個數(shù)（甲、乙兩人各自到達的時刻）組成.以8點鐘作為計算時間的起點,設(shè)甲、乙各在第x分鐘和第y分鐘到達,則樣本空間為：(x,y)|0x60,0y60,畫成圖為一正方形.以x,y分別表示兩人的到達時刻,則兩人能會面的充要條件為|x-y|20. 這是一個幾何概率問題,可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形里的點,能會面的點的區(qū)域用陰影標出（如下圖）.所求概率為P=. 2.（蒲豐(Buffon)投針問題）平面上畫很多平行線,間距為a.向此平面投擲長為l(l<a)的針,求此針與任一平行線相交的概率.解：以針的任一位置為樣本點,它可以由兩個數(shù)決定：針的中點與最接近的平行線之間的距離x,針與平行線的交角（見下圖左）.樣本空間為:(,x),0,0xa/2,為一矩形.針與平行線相交的充要條件是g：xsin（見下圖右).所求概率是P=. 注：因為概率P可以用多次重復(fù)試驗的頻率來近似,由此可以得到的近似值.方法是重復(fù)投針N次,（或一次投針若干枚,總計N枚）,統(tǒng)計與平行線相交的次數(shù)n,則Pn/N.又因a與l都可精確測量,故從2l/an/N,可解得2lN/an.歷史上有不少人做過這個試驗.做得最好的一位投擲了3 408次,算得3.141 592 9,其精確度已經(jīng)達到小數(shù)點后第六位.設(shè)計一個隨機試驗,通過大量重復(fù)試驗得到某種結(jié)果,以確定我們感興趣的某個量,由此而發(fā)展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法為這種計算提供了一種途徑.課堂小結(jié) 幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型,使用幾何概型的概率計算公式時,一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度成比例.作業(yè) 課本習題3.3A組1、2、3.板書設(shè)計教學反思本節(jié)課首先對古典概型進行了復(fù)習,使學生掌握古典概型的適用條件,鞏固了古典概型的概率計算公式,接著設(shè)計了多個試驗,從課題的引入,到問題的提出都非常有針對性,引人入勝,接著從求概率不能問題引出幾何概型這一不同于古典概型的又一概率模型,并通過探究,歸納出幾何概型的概率計算公式,同時比較了古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系,通過思路1和思路2兩種不同的例題類型和層次,加深理解和運用,由于它們與實際生活聯(lián)系密切,所以要反復(fù)練習,達到為我們的工作與生活服務(wù),然而這部分內(nèi)容高考是新內(nèi)容,因此同學們要高度重視,全面把握,爭取好成績.