2018年秋高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修1 -2.doc

2.2.2　反證法 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解反證法是間接證明的一種基本方法．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2. 理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 反證法的定義及證題的關(guān)鍵 思考1：反證法的實(shí)質(zhì)是什么？ [提示]反證法的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，推出矛盾，從而證明原結(jié)論是正確的． 思考2：有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理，這種說法對(duì)嗎？為什么？ [提示]反證法是間接證明中的一種方法，其證明過程是邏輯非常嚴(yán)密的演繹推理． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)反證法屬于間接證明問題的方法． (　　) (2) 反證法就是通過證明逆否命題來(lái)證明原命題． (　　) (3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾． (　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)√ 2．“a<b”的反面應(yīng)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662082】 A．a(chǎn)≠b　　　　 B．a(chǎn)>b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b或a>b [答案]　D 3．用反證法證明“如果a＞b，那么> ”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________． [答案]　≤ 4．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，下列選項(xiàng)中可以作為條件使用的有________．(填序號(hào)) ①結(jié)論的反設(shè)；②已知條件；③定義、公理、定理等；④原結(jié)論． ①②③　[反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果．] [合 作 探 究攻 重 難] 用反證法證明否定性命題 　已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列．求證：，，不成等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662083】 [證明]　假設(shè)，，成等差數(shù)列，則＋＝2，即a＋c＋2＝4b. ∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，即b＝， ∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝. 從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾， 故，，不成等差數(shù)列． [規(guī)律方法]　 1．用反證法證明否定性命題的適用類型 結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法． 2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 1．設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)，求證：AC與平面SOB不垂直． [證明]　假設(shè)AC⊥平面SOB，如圖 ∵直線SO在平面SOB內(nèi)， ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圓O. 這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直． 用反證法證明唯一性命題 　求證方程2x＝3有且只有一個(gè)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662084】 [證明]　∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的：假設(shè)方程2x＝3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1≠b2)， 則2b1＝3,2b2＝3， 兩式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，則2b1－b2<1，這也與2b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，則b1＝b2. ∴假設(shè)不成立，從而原命題得證． [規(guī)律方法]　巧用反證法證明唯一性命題 (1)當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)”“唯一存在”“只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明. (2)用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立. (3)證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性. [跟蹤訓(xùn)練] 2．求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)． [證明]　假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn)． 若直線a，b無(wú)交點(diǎn)，則a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾． 若直線a，b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾． 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 用反證法證明“至多”“至少”問題 [探究問題] 1．你能闡述一下“至少有一個(gè)、至多有一個(gè)、至少有n個(gè)”等量詞的含義嗎？ 提示： 量詞 含義 至少有一個(gè) 有n個(gè)，其中n≥1 至多有一個(gè) 有0或1個(gè) 至少有n個(gè) 大于等于n個(gè) 2.在反證法證明中，你能說出 “至少有一個(gè)、至多有一個(gè)、至少有n個(gè)”等量詞的反設(shè)詞嗎？ 提示： 量詞 反設(shè)詞 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 至少有n個(gè) 至多有n－1個(gè) 　已知a≥－1，求證三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解． [證明]　假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于0，即： ? 這與已知a≥－1矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解． 母題探究：1.(變條件)將本題改為：已知下列三個(gè)方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？ [解]　若方程沒有一個(gè)有實(shí)根， 則解得 故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2．(變條件)將本題條件改為三個(gè)方程中至多有2個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則 即 解得即a∈?. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為實(shí)數(shù)R. [規(guī)律方法]　當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、 “都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語(yǔ)時(shí)，宜用反證法. 提醒：對(duì)于此類問題，需仔細(xì)體會(huì)“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯(cuò)誤. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是(　　) A．有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角 B．有三個(gè)內(nèi)角是鈍角 C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角 D．沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角 C　[“最多只有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，故選C.] 2．如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662085】 A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B．兩個(gè)都是正數(shù) C．至少有一個(gè)正數(shù) D．兩個(gè)都是負(fù)數(shù) C　[假設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x1、x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個(gè)實(shí)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù)，故應(yīng)選C.] 3．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)________． b與c平行或相交　[∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，∴應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交．] 4．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則∠A＝∠B＝90不成立； ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角； ③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90. 正確順序的序號(hào)排列為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662086】 ③①②　[根據(jù)反證法證題的三步驟：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論．] 5. 設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． [證明]　假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)， 因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾． 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．