新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題訓(xùn)練：第1部分 專(zhuān)題六 第2講 排列、組合與二項(xiàng)式定理選擇、填空題型

考 點(diǎn) 考 情 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1.對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列、組合的考查主要有兩種形式：一是直接利用計(jì)數(shù)原理、排列、組合知識(shí)進(jìn)行計(jì)數(shù)，如福建T5,北京T12；二是與概率問(wèn)題結(jié)合起來(lái)綜合考查2對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要是求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)，某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，各項(xiàng)系數(shù)和等，考查賦值技巧，難度不大，如江西T5,新課標(biāo)全國(guó)卷T5,安徽T11.排列、組合問(wèn)題二項(xiàng)式定理1(20xx·福建高考)滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A14B13C12D10解析：選B因?yàn)閍，b1,0,1,2，可分為兩類(lèi)：當(dāng)a0時(shí)，b可能為1或1或0或2，即b有4種不同的選法；當(dāng)a0時(shí)，依題意得44ab0，所以ab1.當(dāng)a1時(shí)，b有4種不同的選法；當(dāng)a1時(shí)，b可能為1或0或1，即b有3種不同的選法；當(dāng)a2時(shí)，b可能為1或0，即b有2種不同的選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，(a，b)的個(gè)數(shù)為443213.2(20xx·江西高考)5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A80 B80C40 D40解析：選CTr1C·(x2)5r·rC·(2)r·x105r，令105r0，得r2，故常數(shù)項(xiàng)為C×(2)240.3(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知(1x)(1x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則()A4 B3C2 D1解析：選D展開(kāi)式中含x2的系數(shù)為CaC5，解得a1.4(20xx·安徽高考)若8的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a_.解析：二項(xiàng)式8展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1Carx，令8r4，可得r3，故Ca37，易得a.答案：5(20xx·北京高考)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_解析：按照要求要把序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券分成4組，然后再分配給4人，連號(hào)的情況是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法數(shù)是4A96.答案：961兩個(gè)重要公式(1)排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且mn)(2)組合數(shù)公式C (n，mN*，且mn)2三個(gè)重要性質(zhì)和定理(1)組合數(shù)性質(zhì)C(n，mN*，且mn)；C(n，mN*，且mn)；C1.(2)二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1b1Can2b2Cank·bkCbn，其中通項(xiàng)Tr1Canrbr.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)CC，CC，CC；CCCC2n；CCCCCC2n1.熱點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1(1)某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長(zhǎng)為3個(gè)單位)的頂點(diǎn)A處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝?，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i(i1,2，6)，則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位，一直循環(huán)下去則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有()A22種B24種C25種 D36種(2)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A60條 B62條C71條 D80條自主解答(1)設(shè)拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，c，根據(jù)分析，若a1，則bc11，只能是(5,6)，(6,5)，2種情況；若a2，則bc10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3種情況；若a3，則bc9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4種情況；若a4，則bc8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5種情況；若a5，則bc7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6種情況；若a6，則bc6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5種情況故總計(jì)23456525種可能(2)當(dāng)a1時(shí)，若c0，則b2有4,9兩個(gè)取值，共2條拋物線，若c0，則c有4種取值，b2有兩種，共有2×48條拋物線；當(dāng)a2時(shí)，若c0，b2取1,4,9三種取值，共有3條拋物線，若c0，c取1時(shí)，b2有2個(gè)取值，共有2條拋物線，c取2時(shí)，b2有2個(gè)取值，共有2條拋物線，c取3時(shí)，b2有3個(gè)取值，共有3條拋物線，c取3時(shí)，b2有3個(gè)取值，共有3條拋物線所以共有3223313條拋物線同理，a2，3,3時(shí)，共有拋物線3×1339條由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有拋物線39138262條答案(1)C(2)B規(guī)律·總結(jié)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的方法(1)在應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類(lèi)再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直觀化1.如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通今發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有()A9種 B11種C13種 D15種解析：選C按照焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)若脫落1個(gè)，有(1)，(4)，共2種；若脫落2個(gè)，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6種；若脫落3個(gè)，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4種；若脫落4個(gè)，有(1,2,3,4)，共1種綜上，共有264113種焊接點(diǎn)脫落的情況2某次活動(dòng)中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)解析：其中最先選出的一個(gè)有30種方法，此時(shí)這個(gè)人所在的行和列共10個(gè)位置不能再選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)該人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是1 200.答案：1 200熱點(diǎn)二排列與組合問(wèn)題例2(1)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A232B252C472 D484(2)(20xx·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)自主解答(1)法一：從16張不同的卡片中任取3張，共有C560種，其中有兩張紅色的有C×C種，其中三張卡片顏色相同的有C×4種，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為CC×CC×4472.法二：若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有C×C×C64種，若2張顏色相同，則有CCCC144種；若紅色卡片有1張，則剩余2張若不同色，有C×C×C×C192種，若同色，則有CCC72種，所以共有6414419272472(種)(2)直接法分類(lèi)，3名骨科，內(nèi)科、腦外科各1名；3名腦外科，骨科、內(nèi)科各1名；3名內(nèi)科，骨科、腦外科各1名；內(nèi)科、腦外科各2名，骨科1名；骨科、內(nèi)科各2名，腦外科1名；骨科、腦外科各2名，內(nèi)科1名所以選派種數(shù)為C·C·CC·C·CC·C·CC·C·CC·C·CC·C·C590.答案(1)C(2)590若本例(1)中增加條件“且黃色卡片至多1張”，則有多少種不同的取法？解：可分類(lèi)完成：若取三張卡片，且三張卡片顏色均不同，則有CCCC256種；若取三張卡片只有兩種顏色，則可為藍(lán)綠一種中選兩張，紅黃一種選一張，共有2CCCCCC144種因此，所有取法種數(shù)為256144400. 規(guī)律·總結(jié)1解決排列組合問(wèn)題應(yīng)遵循的原則先特殊后一般，先選后排，先分類(lèi)后分步2解決排列組合問(wèn)題的11個(gè)策略(1)相鄰問(wèn)題捆綁法；(2)不相鄰問(wèn)題插空法；(3)多排問(wèn)題單排法；(4)定序問(wèn)題倍縮法；(5)多元問(wèn)題分類(lèi)法；(6)有序分配問(wèn)題分步法；(7)交叉問(wèn)題集合法；(8)至少或至多問(wèn)題間接法；(9)選排問(wèn)題先選后排法；(10)局部與整體問(wèn)題排除法；(11)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化法3解決排列組合問(wèn)題的四個(gè)角度解答排列組合應(yīng)用題要從“分析”“分辨”“分類(lèi)”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有無(wú)限制等；(3)“分類(lèi)”就是對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互斥的幾類(lèi)，然后逐類(lèi)解決；(4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，然后逐步解決3我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲­15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰先后著艦，而丙、丁不能相鄰先后著艦，那么不同的著艦方法有()A12種 B18種C24種 D48種解析：選C將甲、乙捆綁，與除丙、丁外的另外一架飛機(jī)進(jìn)行全排列，有A·A種方法，而后將丙、丁進(jìn)行插空，有3個(gè)空，則有A種排法，故共有A·A·A24種方法4某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙2人至少有一人參加，若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為()A720 B520 C600 D360解析：選C根據(jù)題意，分2種情況討論：若甲、乙其中一人參加，有C·C·A480種；若甲、乙2人都參加，共有C·C·A240種發(fā)言順序，其中甲、乙相鄰的情況有C·C·A·A120種，故有240120120種則不同的發(fā)言順序種數(shù)為480120600.熱點(diǎn)三二項(xiàng)式定理例3(1)(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m()A5B6C7D8(2)(20xx·陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x>0時(shí)，f(f(x)表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A20 B20C15 D15(3)若將函數(shù)f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實(shí)數(shù)，則a3_.自主解答(1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：(xy)2m的二項(xiàng)式系數(shù)最大有一項(xiàng)，Ca，(xy)2m1的二項(xiàng)式系數(shù)最大有兩項(xiàng)，CCb.又13a7b，所以13C7C，即，解得m6.(2)依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得f(f(x)f()6，Tr1C(1)rxr3.令r30，則r3，故常數(shù)項(xiàng)為C(1)320.(3)f(x)x5(1x1)5，它的通項(xiàng)為T(mén)r1C(1x)5r·(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，所以a310.答案(1)B(2)A(3)10規(guī)律·總結(jié)應(yīng)用通項(xiàng)公式要注意五點(diǎn)(1)它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定；(2)Tr1是展開(kāi)式中的第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；(3)公式中a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置；(4)要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開(kāi)，以便于解決問(wèn)題；(5)對(duì)二項(xiàng)式(ab)n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題5若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，則的值為()A2 B0C1 D2解析：選C(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，令x0，則a01.令x，則2 013a00，其中a01，所以1.6若8的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)解析：8的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1Cx8r(a2)rxrC(a2)rx82r，令82r0，解得r4，所以C(a2)41 120，所以a22，故88.令x1，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(12)81.答案：1