2019-2020年人教A版高中數學 高三一輪（文） 第三章 3-8解三角形《教案》.doc

2019-2020年人教A版高中數學 高三一輪（文） 第三章 3-8解三角形教案1三角函數模型的簡單應用2用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等3實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等(3)方位角指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值4解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系(2)根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)仰角與俯角都是目標視線和水平線的夾角，故仰角與俯角沒有區(qū)別()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系不能確定()(3)若P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北46.()(4)如果在測量中，某渠道斜坡坡比為，設為坡角，那么cos .()(5)如圖，為了測量隧道口AB的長度，可測量數據a，b，進行計算()1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60，C點的俯角是70，則BAC_.答案130解析由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.2已知ABC，C為坐標原點O，A(1，sin )，B(cos ，1)，則當OAB的面積達到最大值時，_.答案解析S11sin 1cos (1cos )(1sin )sin cos sin 2.當時，S取到最大值3某人向正東方向走x km后，向右轉150，然后朝新方向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為_答案或2解析如圖所示，設此人從A出發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理，得x23x60，解得x或2.4如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30且相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos 等于_答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.題型一測量距離、高度問題例1(1)(xx四川)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結果精確到個位參考數據：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)(2)某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂的最大仰角為30，求塔高思維點撥(1)利用正弦定理解ABC.(2)依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD40米，此時DBF45，從C到D沿途測塔的仰角，只有B到測試點的距離最短時，仰角才最大，這是因為tanAEB，AB為定值，BE最小時，仰角最大要求塔高AB，必須先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)(1)答案60解析根據已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060(m)(2)解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD40，此時DBF45，過點B作BECD于E，則AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米思維升華這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準確的示意圖，注意綜合應用方程、平面幾何和立體幾何等知識(1)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為_m.(2)(xx江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經測量cos A，cos C.求索道AB的長；問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？(1)答案3030解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，樹的高度為PBsin 4530()(3030)m.(2)解在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故當t min時，甲、乙兩游客距離最短由正弦定理，得BCsin A500(m)乙從B出發(fā)時，甲已走了50(281)550(m)，還需走710 m才能到達C.設乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在(單位：m/min)范圍內題型二測量角度問題例2如圖，在海岸A處發(fā)現北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間思維點撥設緝私船t小時后在D處追上走私船，確定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出時間解設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD10t(海里)，BD10t(海里)，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206.BC(海里)又，sinABC，ABC45，B點在C點的正東方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船沿北偏東60的方向行駛又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小時15(分鐘)緝私船應沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘思維升華測量角度問題的一般步驟(1)在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)將解得的結果轉化為實際問題的解如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角的大小解依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0<CAD<180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.題型三利用三角函數模型求最值例3如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)將十字形的面積表示為的函數；(2)滿足何種條件時，十字形的面積最大？最大面積是多少？思維點撥由題圖可得：xcos ，ysin .列出面積函數后，利用三角函數性質求解，注意的范圍解(1)設S為十字形的面積，則S2xyx22sin cos cos2 (<<)；(2)S2sin cos cos2sin 2cos 2sin(2)，其中tan ，當sin(2)1，即2時，S最大所以，當(tan )時，S最大，最大值為.思維升華三角函數作為一類特殊的函數，可利用其本身的值域來求函數的最值如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8米，圓上最低點與地面距離為0.8米，且60秒轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動角到OB，設B點與地面間的距離為h.(1)求h與間關系的函數解析式；(2)設從OA開始轉動，經過t秒后到達OB，求h與t之間的函數關系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？解(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則以Ox為始邊，OB為終邊的角為，故點B的坐標為(4.8cos()，4.8sin()，h5.64.8sin.(2)點A在圓上轉動的角速度是弧度/秒，故t秒轉過的弧度數為t，h5.64.8sin，t0，)到達最高點時，h10.4米由sin1，得t，t30秒，纜車到達最高點時，用的最少時間為30秒函數思想在解三角形中的應用典例：(14分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由規(guī)范解答解(1)設相遇時小艇的航行距離為S海里，則S .4分故當t時，Smin10，v30.6分即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇小艇的航行距離最小7分(2)設小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.9分0<v30，900900，即0，解得t.10分又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.12分此時，在OAB中，有OAOBAB20.故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時14分溫馨提醒在解決數學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段，就是通過引入變量，尋找已知與未知之間的等量關系，構造函數，然后借助函數的變化趨勢來分析或預測未知量的變化情況，這就是函數思想在解三角形應用舉例中，借助函數思想可以解決以下兩類問題：(1)距離最短的追緝問題(2)仰角(或視角)最大問題求解此類問題時可先借助三角形中的正(余)弦定理建立等量關系，然后借助函數的知識(如二次函數最值的求法，導數等)探求最優(yōu)解.方法與技巧1合理應用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數模型2把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數求值3合理運用換元法、代入法解決實際問題失誤與防范在解實際問題時，應正確理解如下角的含義1方向角從指定方向線到目標方向線的水平角2方位角從正北方向線順時針到目標方向線的水平角3坡度坡面與水平面所成的二面角的正切值4仰角與俯角與目標視線在同一鉛直平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時稱為仰角，目標視線在水平視線下方時稱為俯角.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設為坡角，那么cos _.答案解析因為tan ，所以cos .2有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為_(可用正弦、余弦值表示)答案2cos 10解析如圖，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.3一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是_m.答案50解析設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4.如圖所示，B，C，D三點在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為和(<)，則A點距地面的高AB為_答案解析ABACsin ，解得AB.5已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現測得ABC120，則A、C兩地的距離為_km.答案10解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020()700，AC10.6.如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在點A的同側的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點的距離為_m.答案50解析在ABC中，ACB45，CAB105，B1801054530，由正弦定理得，所以AB50.7兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的_方向答案北偏西10解析燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得ACB80，CABCBA50，則605010，即北偏西10.8在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30，60，如圖所示，則塔高CB為_m.答案解析由已知：在RtOAC中，OA200，OAC30，則OCOAtanOAC200tan 30.在RtABD中，AD，BAD30，BDADtanBADtan 30，又DCOA200，CBDCBD200.9.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個觀測點C與D，測得BCD15，BDC30，CD30 m，并在點C處測得塔頂A的仰角為60，求塔高AB.解在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理，得，所以BC15 (m)在RtABC中，ABBCtanACB15tan 6015 (m)所以塔高AB為15 m.10.如圖所示，摩天輪的半徑為40 m，點O距地面的高度為50 m，摩天輪做勻速轉動，每3 min轉一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處(1)已知在時刻t(min)時點P距離地面的高度f(t)Asin(t)h，求2 013 min時點P距離地面的高度；(2)求證：不論t為何值，f(t)f(t1)f(t2)是定值(1)解依題意，A40 m，h50 m，T3 min，則.又f(0)10，故，f(t)40sin50 (t0)則f(2 013)40sin5010.即2 013 min時點P距離地面的高度為10 m.(2)證明由(1)知f(t)40sin505040cos (t0)f(t)f(t1)f(t2)15040cos40cos40cos15040cos40coscos15040cos40(2)coscos 150，是定值，即得證B組專項能力提升(時間：30分鐘)1如圖為一半徑是3 m的水輪，水輪的圓心O距離水面2 m已知水輪每分鐘旋轉4圈，水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數關系yAsin(x)2(>0，A>0)，則_，A_.答案3解析每分鐘轉4圈，每圈所需時間T15.又T15，A3.2某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方C處有生命跡象，已知廢墟一側地面上的A，B探測點相距4米，探測線與地面的夾角分別為30和75(如圖所示)，則生命所在點C的深度為_米答案1解析在ABC中，由正弦定理得，BC2.點C的深度為BCsin 7521.3甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30，則甲、乙兩樓的高分別是_答案20米、米解析如圖，依題意有甲樓的高度為AB20tan 6020(米)，又CMDB20(米)，CAM60，所以AMCM(米)，故乙樓的高度為CD20(米)4某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以10 n mile/h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間解如圖所示，設所需時間為t小時，則AB10 t，CB10 t.在ABC中，根據余弦定理，則有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得：(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得：2t2t10，解得t1或t(舍去)所以艦艇需1小時靠近漁船，此時AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得：，所以sinCAB.所以CAB30.所以艦艇航行的方位角為75.5某運輸裝置如圖所示，其中鋼結構ABD是ABBDl，B的固定裝置，AB上可滑動的點C使CD垂直于地面(C不與A，B重合)，且CD可伸縮(當CD伸縮時，裝置ABD隨之繞D在同一平面內旋轉)，利用該運輸裝置可以將貨物從地面D處沿DCA運送至A處，貨物從D處至C處運行速度為v，從C處至A處運行速度為3v.為了使運送貨物的時間t最短，需在運送前調整運輸裝置中DCB的大小(1)當變化時，試將貨物運行的時間t表示成的函數(用含有v和l的式子表示)；(2)當t最小時，C點應設計在AB的什么位置？解(1)在BCD中，BCD，B，BDl，BC，CD，ACABBCl，則t(<<)(2)t(1).令m()，(，)，則m().令m()0，得cos ，設cos 0，0(，)，則(，0)時，m()<0；當(0，)時，m()>0，當cos 時，m()取得最小值2，此時BCl.故當BCl時貨物運行時間最短.