2019-2020年人教版高中數學必修四教案：1-1-1 任意角.doc

2019-2020年人教版高中數學必修四教案：1-1-1 任意角項目內容課題（共 1 課時）修改與創(chuàng)新教學目標1.通過實例的展示,使學生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運動變化的觀點,并由此深刻理解推廣之后的角的概念. 2.通過自主探究、合作學習,認識集合S中k、的準確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個,它們相差360的整數倍.這對學生的終身發(fā)展,形成科學的世界觀、價值觀具有重要意義. 3.通過類比正、負數的規(guī)定,讓學生認識正角、負角并體會類比、數形結合等思想方法的運用,為今后的學習與發(fā)展打下良好的基礎. 教學重、難點教學重點:將0360范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學難點:用集合來表示終邊相同的角.教學準備多媒體課件教學過程導入新課圖1 回憶初中我們是如何定義一個角的?所學的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現實生活的一些現象,比如你原地轉體一周的角度,應怎樣修正角的定義才能解釋這些現象?由此讓學生展開討論,進而引入角的概念的推廣問題.提出問題你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調整準確?假如你的手表快了1.25小時,你應當怎樣將它調整準確?當時間調整準確后,分針轉過了多少度角?體操運動中有轉體兩周,在這個動作中,運動員轉體多少度?請兩名男生(或女生、或多名男女學生)起立,做由“面向黑板轉體背向黑板”的動作.在這個過程中,他們各轉體了多少度? 活動:讓學生到講臺利用準備好的教具鐘表,實地演示撥表的過程.讓學生站立原地做轉體動作.教師強調學生觀察旋轉方向和旋轉量,并思考怎樣表示旋轉方向.對回答正確的學生及時給予鼓勵、表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.角可以看作是平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形,設一條射線的端點是O,它從起始位置OA按逆時針方向旋轉到終止位置OB,則形成了一個角,點O是角的頂點,射線OA、OB分別是角的始邊和終邊. 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.鐘表的時針和分針在旋轉過程中所形成的角總是負角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以簡記作“”. 如果一條射線沒有作任何旋轉,我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果是零角,那么=0.討論結果:順時針方向旋轉了30;逆時針方向旋轉了450.順時針方向旋轉了720或逆時針方向旋轉了720.-180或+180或-540或+540或900或1 080提出問題能否以同一條射線為始邊作出下列角:210,-45,-150.如何在坐標系中作出這些角,象限角是什么意思? 0角又是什么意思? 活動:先讓學生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點撥,并對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生,教師提示、引導考慮問題的思路.學生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學生:如果將角放到平面直角坐標系中,問題會怎樣呢?并讓學生思考討論在直角坐標系內討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現出角的終邊“周而復始”的現象. 今后我們在坐標系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調角與直角坐標系的關系角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.討論結果:能.使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣:210角是第三象限角;-45角是第四象限角;-150角是第三象限角.特別地,終邊落在坐標軸上的角不屬于任何一個象限,比如0角.可以借此進一步設問:銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何?將角按照上述方法放在直角坐標系中,給定一個角,就有唯一一條終邊與之對應,反之,對于直角坐標系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關系?提出問題在直角坐標系中標出210,-150的角的終邊,你有什么發(fā)現?它們有怎樣的數量關系?328,-32,-392角的終邊及數量關系是怎樣的?終邊相同的角有什么關系?所有與終邊相同的角,連同角在內,怎樣用一個式子表示出來? 活動:讓學生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關系,再用所準備的教具或是多媒體給學生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時地引導:終邊相同的一系列角與0到360間的某一角有什么關系,從而為終邊相同的角的表示作好準備. 為了使學生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個32角,放在直角坐標系內,使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,形成-32角后提問學生這是第幾象限角?是多少度角?學生對后者的回答是多種多樣的. 至此,教師因勢利導,予以啟發(fā),學生對問題探究的結果已經水到渠成,本節(jié)難點得以突破.同時學生也在這一學習過程中,體會到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學習熱情,這是比學習知識本身更重要的.討論結果:210與-150角的終邊相同;328,-32,-392角的終邊相同.終邊相同的角相差360的整數倍.設S=-32+k360,kZ,則328,-392角都是S的元素,-32角也是S的元素(此時k=0).因此,所有與-32角的終邊相同的角,連同-32在內,都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個元素顯然與-32角終邊相同.所有與終邊相同的角,連同角在內,可以構成一個集合S=k360+,kZ.即任一與角終邊相同的角,都可以表示成與整數個周角的和.適時引導學生認識:kZ;是任意角;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數多個,它們相差360的整數倍.應用示例例1 在0360范圍內,找出與-95012角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-95012=12948-3360,所以在0360的范圍內,與-95012角終邊相同的角是12948,它是第二象限的角.點評:教師可引導學生先估計-95012大致是360的幾倍,然后再具體求解.例2 寫出終邊在y軸上的角的集合. 活動:終邊落在y軸上,應分y軸的正方向與y軸的負方向兩個.學生很容易分別寫出所有與90,270的終邊相同的角構成集合,這時應啟發(fā)引導學生進一步思考:能否化簡這兩個式子,用一個式子表示出來. 讓學生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強調數學的簡捷性.在數學表達式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.圖2 解:在0360范圍內,終邊在y軸上的角有兩個,即90和270角,如圖2.因此,所有與90的終邊相同的角構成集合S1=90+k360,kZ.而所有與270角的終邊相同的角構成集合S2=270+k360,kZ.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1S2=90+2k180,kZ=90+180+2k180,kZ=90+2k180,kZ=90+(2k+1)180,kZ=90+n180,nZ. 點評:本例是讓學生理解終邊在坐標軸上的角的表示.教學中,應引導學生體會用集合表示終邊相同的角時,表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓練寫出終邊在x軸上的角的集合.寫出終邊在坐標軸上的角的集合.答案:S=(2n+1)180,nZ.S=n90,nZ.例3 寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360<720的元素寫出來.圖3解:如圖3,在直角坐標系中畫出直線y=x,可以發(fā)現它與x軸夾角是45,在0360范圍內,終邊在直線y=x上的角有兩個:45和225,因此,終邊在直線y=x上的角的集合S=45+k360,kZ=225+k360,kZ.S中適合-360<720的元素是:45-2180=-315,45-1180=-135,45+0180=45,45+1180=225,45+2180=405,45+3180=585.課堂小結以提問的方式與學生一起回顧本節(jié)所學內容并簡要總結:讓學生自己回憶:本節(jié)課都學習了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你從本節(jié)課上都學到了哪些數學方法?讓學生自己得到以下結論:本節(jié)課推廣了角的概念,學習了正角、負角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉.一個角是第幾象限的角,關鍵是看這個角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內容:(1)與角終邊相同的角,這些角的集合為S=k360+,kZ;(2)在0360內找與已知角終邊相同的角,其方法是用所給的角除以360,所得的商為k,余數為(必須是正數),即為所找的角.數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.作業(yè)課本習題1.1 A組1、3、5.預習下一節(jié):弧度制.板書設計教學反思