新版高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題17 數(shù)列的基本運算大題、三角形的解答題 Word版含解析

1 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標全國】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90° (1)若PB=，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA A B C P 【解析】（1）利用余弦定理可以求出PA；（2）在中使用正弦定理可以得到，進而化簡，得到結論. 2.【20xx新課標全國】已知等差數(shù)列的前項和滿足，. （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和. 【答案】依題意，，，故，所以，所以，即； （2）； 【解析】（1）利用等差數(shù)列的前n項和公式構造二元一次方程組進行求解；（2）使用裂項法求和. 3.【20xx高考全國1第17題】已知數(shù)列的前項和為，，，，其中為常數(shù)， （I）證明：； （II）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由. 4.【20xx高考全國1文第17題】已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根. （I）求的通項公式； （II）求數(shù)列的前項和. 【解析】（1）方程的兩根為2,3，由題意得.設數(shù)列的公差為d，則，故，從而.所以的通項公式為. （2）設的前n項和為，由（1）知，則， .兩式相減得 所以. 5.【20xx全國2】在中，是上的點，平分，是面積的2倍． (1)求 ； (2)（理）若 ，求和的長. (2)（文）若，求. （2）理：由題意知，，所以. 又因為，所以． 在和中，由余弦定理得，， ． 故．由(1)知，所以． 即所求為，. (2)文：因為，， 所以.由(1)知，所以，即. 6.【20xx全國1理17】為數(shù)列的前項和，已知，. （1）求的通項公式； （2）設，求數(shù)列的前項和． 7.【20xx全國1文】已知分別為內角的對邊，. （1）若，求； （2）設，且，求的面積. .解析 （1由正弦定理得，.又， 所以，即.則. （2）解法一：因為，所以， 即，亦即. 又因為在中，，所以， 則，得. 所以為等腰直角三角形，得，所以. 解法二：由（1）可知，① 因為，所以，② 將②代入①得，則，所以. 【熱點深度剖析】 1.新課標高考對數(shù)列的考查重點是考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質、通項公式、前項和公式，簡單遞推數(shù)列問題、分組求和、拆項相消、錯位相減、倒序求和等常見數(shù)列求和方法．通過三年的高考試題也可以發(fā)現(xiàn)，試題的位置均為第一大題，試題難度中下，主要以等差數(shù)列等比數(shù)列為背景考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和問題，不在考查遞推數(shù)列問題. 20xx年理科考查了解三角形，文科考查等差數(shù)列定義以及數(shù)列求和的方法，考查學生對定義的理解以及邏輯思維能力，20xx年理科考查了遞推公式，數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列，文科考查了等差數(shù)列的基本量計算，數(shù)列的求和，試題難度中等偏下.20xx年問題四份試卷有3分考生解三角形，1份考查數(shù)列。 從近幾年的高考試題來看，等差數(shù)列，等比數(shù)列作為最基本的數(shù)列模型，一直是高考重點考查的對象．難度屬中低檔的題目，小題突出“小、巧、活”，主要以通項公式、前n項和公式為載體，結合等差數(shù)列的性質考查分類討論、化歸與方程等思想，要注重通性、通法；解答題“大而全”，注重題目的綜合與新穎，突出對邏輯思維能力的考查．預測20xx年高考解答題考查數(shù)列的可能性較大，重點是等差等比數(shù)列的通項、求和及錯位相減法求和、裂項求和。重點考查學生的運算能力與邏輯推理能力．理科可能與不等式恒成立巧妙結合出一大題． 2. 20xx年高考文理主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的運用，以及運用三角公式進行三角變換的能力和利用三角形面積求邊長. 20xx年理科考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，考查學生數(shù)形結合的能力以及轉化與化歸能力， 20xx年文理都沒考查.從近幾年的高考試題來看，正弦定理、余弦定理是高考的熱點，主要考查利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題，常與同角三角函數(shù)的關系、誘導公式、和差角公式，甚至三角函數(shù)的圖象和性質等交匯命題，多以解答題的形式出現(xiàn)，屬解答題中的低檔題．預測20xx年高考仍將以正弦定理、余弦定理，尤其是兩個定理的綜合應用為主要考點，可能與三角函數(shù)的圖象和性質等交匯命題，重點考查計算能力以及應用數(shù)學知識分析和解決問題的能力． 【重點知識整合】 1.等差數(shù)列的有關概念： （1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或. （2）等差數(shù)列的通項：或. （3）等差數(shù)列的前和：，. （4）等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且. 2.等差數(shù)列的性質： （1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0. （2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列. （3）當時,則有，特別地，當時，則有. (4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. （5）在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，，（這里即）；. （6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則. (7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和.法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關于的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性.上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？ 3.等比數(shù)列的有關概念： （1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或 . （2）等比數(shù)列的通項：或. （3）等比數(shù)列的前和：當時，；當時，.. 特別提醒：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解. （4）等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個. 4.等比數(shù)列的性質： （1）當時，則有，特別地，當時，則有. (2) 若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列.當，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. (3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列. (4) 當時，，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列. (5)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件. 5.數(shù)列的通項的求法： ⑴公式法： ①等差數(shù)列通項公式； ②等比數(shù)列通項公式.⑵已知（即）求，用作差法：. ⑶已知求，用作商法：. ⑷若求用累加法： . ⑸已知求，用累乘法：.⑹已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數(shù)列）.特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為的等比數(shù)列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項. 注意：（1）用求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；（2）一般地當已知條件中含有與的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解. 6.數(shù)列求和的常用方法： （1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導方法）. （4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導方法）. （5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有： ①； ②； ③，；（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內在特征，再運用分組求和法求和. 7.求角問題 （1）內角和定理：三角形三角和為.任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余. （2） 正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑). 正弦定理的變式：,； （3）余弦定理：，，； （4）利用面積公式：，，. 8.求邊問題 （1）邊與邊關系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （2）正弦定理的變式； （3）余弦定理:.變形式： ； （4）利用面積公式：; （5）射影定理：. 9.求三角形的面積問題 三角形的面積公式： （1）＝aha＝bhb＝（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）； （2）＝＝＝； （3）＝（其中為三角形內切圓半徑）,； （4）.(與向量的數(shù)量積聯(lián)系) 10.求三角形的綜合問題 （1） 求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性： ； ； ； . （2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化,達到角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一. （3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列且成等比數(shù)列. （4）銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方； 鈍角角三角形三內角一個為鈍角一個角的余弦值為負值兩銳角的和仍為銳角兩個銳角對應的兩邊的平方和小于第三邊的平方. （5）三角形內常見的不等關系 ①; ②銳角中,,; ③鈍角中，設為鈍角，則,. 【應試技巧點撥】 1.等差數(shù)列的判斷與證明的方法 (1)利用定義：或，其中為常數(shù)； (2)利用等差中項：； (3)利用通項公式：； (4)利用前項公式：. 注意證明等差數(shù)列的方法必須用定義法或等差中項的方法去證明；在選擇題和填空題中，可根據(jù)題設條件恰當?shù)倪x擇任意一種方法.有時還可以利用“歸納----猜想----證明”的方法去打開解題思路.如果證明數(shù)列不是等差數(shù)列，可采用舉反例的方法，如證明. 2.等差數(shù)列前項和的最值問題 對于等差數(shù)列前項和的最值問題，取決于首項和公差的正負即：，時，有最大值；，時，有最小值.常用下面兩個方法去解決： (1)若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）； (2)若已知，則最值時的值（）可如下確定或. 3. 如何判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列 判斷和證明是等比數(shù)列常用以下幾個方法： （1）利用定義： 或（為非零常數(shù)）； （2）利用等比中項：； （3）利用通項公式：（）； （4）利用求和公式：（，，）. 注意證明數(shù)列為等比數(shù)列只能用定義和等比中項去證明，但是在選擇題或填空題中可以用任何一種方法. 4.利用等比數(shù)列求和公式注意的問題 在利用等比數(shù)列前n項和公式求和時，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程時，一定要對公比分兩種情況進行討論. 5.如何選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的和 在數(shù)列求和問題中，由于題目的千變萬化，使得不少同學一籌莫展，方法老師也介紹過，就不清楚什么特征用什么方法.為此提供一個通法 “特征聯(lián)想法”：就是抓住數(shù)列的通項公式的特征，再去聯(lián)想常用數(shù)列的求和方法.通項公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法. 特征一：，數(shù)列的通項公式能夠分解成幾部分，一般用“分組求和法”. 特征二：，數(shù)列的通項公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯位相減法”. 特征三：，數(shù)列的通項公式是一個分式結構，一般采用“裂項相消法”. 特征四：，數(shù)列的通項公式是一個組合數(shù)和等差數(shù)列通項公式組成，一般采用“倒序相加法”. 6. 利用轉化，解決遞推公式為與的關系式. 數(shù)列{}的前項和與通項的關系：.通過紐帶：，根據(jù)題目求解特點，消掉一個.然后再進行構造成等差或者等比數(shù)列進行求解.如需消掉，利用已知遞推式，把n換成（n+1）得到遞推式，兩式相減即可.若消掉，只需把帶入遞推式即可.不論哪種形式，需要注意公式成立的條件 7.由遞推關系求數(shù)列的通項公式 （1）利用“累加法”和“累乘法”求通項公式 此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項的方法，遞推關系為用累加法；遞推關系為用累乘法.解題時需要分析給定的遞推式，使之變形為結構，然后求解.要特別注意累加或累乘時，應該為個式子，不要誤認為個. (2)利用待定系數(shù)法，構造等差、等比數(shù)列求通項公式 求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高.通?？蓪f推式變換，轉化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉化方法.遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）.把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解. ８.余弦定理的重要應用 三角形的余弦定理作為解決三角形問題的利劍，必須熟練掌握應用.為此，就其常見的幾種變形形式，介紹如下. ①聯(lián)系完全平方式巧過渡: 由則. ②聯(lián)系重要不等式求范圍： 由，則當且僅當?shù)忍柍闪? ③聯(lián)系數(shù)量積的定義式妙轉化： 在中，由. ９.如何恰當選擇正弦定理與余弦定理解題 利用正弦定理解三角形時，可將正弦定理視為方程或方程組，利用方程思想處理已知量與未知量的關系.熟記正弦定理同三角形外接圓半徑、三角形面積之間的關系等結論，對于相關問題是十分有益的.利用正弦定理可解決以下兩類問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊角；二是已知兩邊和一邊對應的角，求其他邊角，由于此時的三角形不能確定，應對它進行分類討論.利用正弦定理解題一般適應的特點（1）如果所給的等式兩邊有齊次的邊的形式或齊次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理進行邊角互換，這是高考中常見的形式；（2）根據(jù)所給條件構造（1）的形式，便于利用正弦定理進行邊角互換，體現(xiàn)的是轉化思想的靈活應用. 余弦定理與平面幾何知識、向量、三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，常解決一下兩類問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊角；二是已知三邊求三角.由于這兩種情形下三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一. 【考場經(jīng)驗分享】 1．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 2．由求時，注意驗證a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要單獨列出，一般已知條件含an與Sn的關系的數(shù)列題均可考慮上述公式． 3．如果，，則，一般地，，必須是兩項相加，當然可以是． 4．等差數(shù)列的通項公式通常是的一次函數(shù)，除非公差. 5．公差不為0的等差數(shù)列的前項和公式是的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前項和公式是的常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列． 6．特別注意時，這一特殊情況． 7．由，，并不能立即斷言為等比數(shù)列，還要驗證. 8.因試題難度與位置的調整，數(shù)列問題已經(jīng)變?yōu)閷W生得全分的題目，故需要學生值得花費時間和精力去攻克，在考試過程中，計算出錯極易出現(xiàn)，故不論求通項公式還是數(shù)列求和問題均可以利用進行驗證，此法切記！ 9．對三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性進行適當“放縮”． 10．在解實際問題時，需注意的兩個問題 (1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準確地找出這些角； (2)要注意將平面幾何中的性質、定理與正、余弦定理結合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決． 11.利用正弦定理與余弦定理解題時，經(jīng)常用到轉化思想一個是把邊轉化為角，另一個是把角轉化為邊，，具體情況應根據(jù)題目給定的表達式進行確定，不管哪個途徑，最終轉化為角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一，也是我們利用正弦定理與余弦定理化簡式子的最終目標，對于兩個定理都能用的題目，應優(yōu)先考慮利用正弦定理，會給計算帶來相對的簡便，根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，此時利用正弦定理去計算較小邊所對的角，可避免分類討論，利用余弦定理的推論，可根據(jù)角的余弦值的正負直接確定所求角是有銳角還是鈍角，但計算麻煩. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆江蘇省清江中學高三上學期】設是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列和數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式及其前項和的表達式； （3）是否存在正整數(shù)，使得是中的項？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. （2）由? 故，? ?-?得，即 又，不符合上式， 所以 于是 ， 即 2．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】已知數(shù)列的前項和為，，且滿足. （1）證明數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求. 【解析】 （1） 證明：由條件可知，，即， 整理得， 所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列. （2） 由（1）可知，，即， 令 ① ② ①②，， 整理得. 3．【20xx屆湖北省沙市中學高三下第三次測試】已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為；等差數(shù)列中，，且的前項和 為，. （1）求與的通項公式； （2）設數(shù)列滿足，求的前項和. 【解析】 4．【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學校高三上二?！繉⒑瘮?shù)在區(qū)間內的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，其中，求數(shù)列的前項和． 5．【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】已知數(shù)列與，若且對任意整數(shù)滿足，數(shù)列的前項和. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 【解析】（1）由題意知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列， 又因為，所以，當時，； 當時，， 對不成立. 所以，數(shù)列的通項公式：. （2）時，， 當時，, 所以 仍然適合上式. 綜上，. 6．【20xx屆河北省衡水中學高三下學期一?！吭O數(shù)列的前項和為，且首項． （1）求證：是等比數(shù)列； （2）若為遞增數(shù)列，求的取值范圍. 7．20xx屆江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三下期初考試 設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=btanA，且B為鈍角． (Ⅰ)證明：B-A=； (Ⅱ)求sinA+sinC的取值范圍． 8．【20xx屆湖北省龍泉中學等校高三9月聯(lián)考】設函數(shù)． （Ⅰ）求的最大值，并寫出使取最大值時x的集合； （Ⅱ）已知中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，求的面積的最大值． 【解析】（Ⅰ） 所以的最大值為 此時 故的集合為 （Ⅱ）由題意，，即 化簡得 ，，只有， 在中，由余弦定理， 即，當且僅當取等號， 9．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】如圖，在中，，，是邊上一點． （1）求的面積的最大值； （2）若的面積為4，為銳角，求的長． 由余弦定理，得， 所以， 由正弦定理，得，所以，所以， 此時，所以． 所以的長為 10．【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應性考試】已知函數(shù)，． （1）求函數(shù)的圖像的對稱軸方程； （2）求函數(shù)的最小正周期和值域． 11. 【山東省濟南市20xx屆高三上學期期末考試】已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足. （I）求p的值及數(shù)列的通項公式； （II）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和. 【解析】（Ⅰ）由 ，由成等比得； （Ⅱ）由可得，，， ，，. 12. 【四川省資陽市20xx屆高三第二次診斷】等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，， ，． (Ⅰ)求數(shù)列和的通項公式； (Ⅱ)令n為奇數(shù)， n為偶數(shù)， 設數(shù)列的前n項和，求． 13. 【陜西省寶雞市九校20xx屆高三聯(lián)合檢測】已知是一個單調遞增的等差數(shù)列，且滿足,，數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列的前項和. 【解析】 (Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為,則依題知.由,又可得. 由,得,可得. 所以.可得 ； (Ⅱ)由(Ⅰ)得，當時, 當時,滿足上式，所以，所以，即, 因為，，所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列. 所以前項和. 14. 【山東省青島市20xx屆高三上學期期末】已知直線兩直線中，內角A，B，C對邊分別為時，兩直線恰好相互垂直； （I）求A值； （II）求b和的面積 15. 【山東省濟南市20xx屆高三上學期期末】在中，角A，B，C的對邊分別為，且成等差數(shù)列. （I）若的值； （II）設，求t的最大值. 【解析】（Ⅰ）因為，，成等差數(shù)列，， 因為， 所以. ∵，，， （Ⅱ）∵， ， ∵， .所以當即時，有最大值. 16. 【吉林省實驗中學20xx屆高三上學期第三次模擬】已知，其中，，． （Ⅰ）求的單調遞減區(qū)間； （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，且向量與共線，求邊長b和c的值． . 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．已知{}是公差≠0的等差數(shù)列，,,成等比數(shù)列，=26,數(shù)列{}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且=, =. （Ⅰ）求數(shù)列{},{}的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列{}的前項和. 【解析】（Ⅰ）∵{}是公差≠0的等差數(shù)列, ,,成等比數(shù)列,∴，∴，即=，即=，① 由=26得，=26，② 由①②解得，=3，=1，∴=，∴==4，即=4，==，即=16，∴=4，∵為正數(shù)，∴=2，∴=1,∴=, ∴數(shù)列{},{}的通項公式分別為=，=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，=，∴=，∴=+++…+，=++…++；∴=++++…+-==，∴=. 2. 設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足 且構成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）證明：對一切正整數(shù)，有. （Ⅱ） 3. 已知向量，設函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間； （Ⅱ）在中，角A、B、C所對的邊分別是,若，，，求邊的長. 4. 在中，內角、、所對的邊分別為，，，，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若點是中角的外角內的一點，且,過點，，垂足分別為，．求的最大值． 【命題意圖】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變形等基礎知識，意在考查基本運算能力． 【解析】（Ⅰ）因為，由余弦定理知,所以，又因為，則由正弦定理得，所以，因為， 所以. （Ⅱ）設，則，，所以 ，因為，故，所以當，即時，取到最大值． 5.已知數(shù)列的前項和為，且；數(shù)列滿足，.. （Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式； （Ⅱ）記，．求數(shù)列的前項和． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ∴ ? ④ 由?④得 ∴， ∴， ∴數(shù)列的前項和. 6. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體20xx屆高三下學期開學聯(lián)考】已知數(shù)列滿足,，. （1）求證：是等差數(shù)列； （2）證明：.